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Full text of "Dernières pensées .."

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in  2010  witii  funding  from 

University  of  Ottawa 


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H 


Bibliothèque  de    Philosoptiie    scientifique 
HENRI  POINCARÉ 

de   l'Institut. 


Dernières 


Pensées 


L'Évolution  des  Lois.  —  L'Espace  et  le  Temps 

Pourquoi  l'Espace  a  trois  dimensions. 

La  Logique  de  l'Infini. 

Les  rapports  de  la  Matière  et  de  l'Éther. 

La  Morale  et  la  Science,  etc. 


PARIS 

ERNEST    FLAMMARION,    ÉDITEUR 

26,    RUE    RACINE,    26 


Dixième  mille 


DON 


de 


M*  Amédée  Langlois, 
175,  rue  Wilbrod, 
Ottawa»  Ont* 


Octobre  1938 


Dernières   Pensées 


Pholo  Henri    Manuel. 


Bibliothèque  de   Philosopliie  scientifique 


HENRI     POINCARE 

DK     l'institut 


Dernières  Pensées 


L'Évolution  des  Lois.  —  L'Espace  et   le  Temps. 

Pourquoi  l'Espace  a  trois  dimensions. 

La  Logique  de  llnfîni. 

Les  rapports  de  la  Matière  et  de  l'Éther. 

La  Morale  et  la  Science,  etc. 


PARIS 

ERNEST    FLAxMMARIOX,    ÉDITEUR 

26,     RUE    RACINE,     26 

1917 

Tous  droils   de  tradutiion,  d'aJaptalion   ei  de  leproJuction   réservés 
pour  tous  les  pays. 


Q 

"1  \^' 


Droits  de  traduction  ot  de  reproduction  réservés 
pour  tous  les  pays. 

Copyright   1913, 
b\    Ernest  Flammarion 


AVERTISSEMENT 


Sous  ce  titre  Dernières  pensées,  nous  réunissons 
ici  divers  articles  et  conférences  que  M.  Henri 
Poincaré  destinait  lui-même  à  former  le  quatrième 
volume  de  ses  ouvrages  de  philosophie  scientifique. 
Tou3  les  précédents  avaient  déjà  paru  dans  cette 
collection. 

Il  serait  inutile  de  rappeler  leur  prodigieux 
succès.  Le  plus  illustre  des  mathématiciens  mo- 
dernes s'y  est  révélé  éminent  philosophe,  un  de 
ceux  dont  les  livres  influencent  profondément  la 
pensée  humaine. 

Il  est  probable  que  si  Henri  Poincaré  lui-même 
avait  publié  ce  volume,  il  eût  modifié  certains 
détails,  fait  disparaître  quelques  répétitions.  Mais 
il  nous  a  paru  que  le  respect  dû  à  la  mémoire  de 
ce  grand  mort  interdisait  aucune  retouche  à  son 
texte. 

t 


a  AVERTISSEMENT 

Il  nous  a  paru  également  inutile  de  faire  pré- 
céder ce  volume  d'aucune  étude  surl'œuvre  de  Henri 
Poincaré.  Elle  a  été  jugée  par  tous  les  savants  et 
aucun  commentaire  ne  pourrait  augmenter  la 
gloire  de  ce  puissant  génie. 

G.  L.  B 


:hapitre  I 

L'EVOLUTION  DES   LOIS 


DERNIÈRES  PENSÉES 


CHAPITRE   I 
L'ÉVOLUTION    DES   LOIS 


M.  Boutroux,  dans  ses  travaux  sur  la  contingence 
des  lois  de  la  nature,  s'est  demandé  si  les  lois  natu- 
relles ne  sont  pas  susceptibles  de  changer,  si  alors 
que  le  monde  évolue  continuellement,  les  lois  elles- 
mêmes,  c'est-à-dire  les  règles  suivant  lesquelles  se 
fait  cette  évolution,  seront  seules  exemptes  de  toute 
variation.  Une  pareille  conception  n'a  aucune 
chance  d'être  jamais  adoptée  par  les  savants;  au 
sens  où  ils  l'entendraient,  ils  ne  sauraient  y  adhérer 
sans  nier  la  légitimité  et  la  possibilité  même  de  la 
Science.  Mais  le  philosophe  conserve  le  droit  de  se 
poser  la  question,  d'envisager  les  diverses  solutions 
qu'elle  comporte,  d'en  examiner  les  conséquences, 
et  de  chercher  à  les  concilier  avec  les  légitimes  exi- 
gences des  savants.  Je  voudrais  considérer  quel- 
ques-uns des  aspects  que  le  problème  peut  revêtir  ; 

1. 


6 


DERNIERES    PENSEES 


je  serai  ainsi  amené  non  à  des  conclusions  propre- 
ment dites,  mais  à  diverses  réflexions  qui  ne  seront 
peut-être  pas  dénuées  d'intérêt.  Si,  chemin  faisant, 
je  me  laisse  aller  à  parler  un  peu  longuement  de 
certaines  questions  connexes,  on  voudra  bien  me  le 
pardonner. 


Plaçons-nous  d'abord  au  point  de  vue  du  mathé- 
maticien. Admettons  pour  un  instant  que  les  lois 
physiques  aient  subi  des  variations  dans  le  cours 
des  âges,  et  demandons-nous  si  nous  aurions  un 
moyen  de  nous  en  apercevoir.  N'oublions  pas  d'abord 
que  les  quelques  siècles  pendant  lesquels  l'huma- 
nité a  vécu  et  pensé,  ont  été  précédés  de  périodes 
incomparablement  plus  longues  où  l'homme  ne 
vivait  pas  encore  ;  ils  seront  sans  doute  suivis 
d'autres  périodes  où  notre  espèce  aura  disparu. 
Si  l'on  veut  croire  à  une  évolution  des  lois,  elle  ne 
peut  sans  contredit  être  que  très  lente,  de  sorte  que, 
pendant  le  peu  d'années  où  l'on  a  pensé,  les  lois 
de  la  nature  n'ont  pu  subir  que  des  changements 
insignifiants.  Si  elles  ont  évolué  dans  le  passé,  il 
faut  comprendre  par  là  le  passé  géologique.  Les 
lois  d'autrefois  étaient-elles  celles  d'aujourd'hui, 
les  lois  de  demam  seront-elles  encore  les  mêmes  ^ 


L  EVOLUTION    DES    LOIS  I 

Quand  on  pose  une  pareille  question,  quel  sens 
doit-on  attacher  aux  mots  autrefois,  aujourd'hui  et 
demain?  aujourd'hui  ce  sont  les  temps  dont  l'histoire 
a  conservé  le  souvenir  ;  autrefois  ce  sont  les  millions 
d'années  qui  ont  précédé  l'histoire  et  où  les  ichthyo- 
saures  vivaient  tranquillement  sans  philosopher; 
demain,  ce  sont  les  millions  d'années  qui  viendront 
ensuite,  où  la  Terre  sera  refroidie  et  où  l'homme 
n'aura  plus  d'yeux  pour  voir  ni  de  cerveau  pour 
penser. 

Cela  posé,  qu'est-ce  qu'une  loi?  C'est  un  lien 
constant  entre  l'antécédent  et  le  conséquent,  entre 
l'état  actuel  du  monde  et  son  état  immédiatement 
postérieur.  Connaissant  l'état  actuel  de  chaque 
partie  de  l'univers,  le  savant  idéal  qui  connaîtrait 
toutes  les  lois  de  la  nature  posséderait  des  règles 
fixes  pour  en  déduire  l'état  que  ces  mêmes  parties 
auront  le  lendemain  ;  on  conçoit  que  ce  processus 
puisse  être  poursuivi  indéfiniment.  De  l'état  du 
monde  du  lundi,  on  déduira  celui  du  mardi  ;  con- 
naissant celui  du  mardi,  on  en  déduira  par  les 
mêmes  procédés  celui  du  mercredi  ;  et  ainsi  de 
suite.  Mais  ce  n'est  pas  tout;  s'il  y  a  un  lien  cons- 
tant entre  l'état  du  lundi  et  celui  du  mardi,  on 
pourra  déduire  le  second  du  premier,  mais  on 
pourra  faire  l'inverse,  c'est-à-dire  que  si  l'on  con- 
naît l'état  du  mardi,  on  pourra  conclure  à  celui  du 
lundi  ;  de  l'état  du  lundi  on  conclura  de  même  à 


8  DERNIÈRES    PENSÉES 

celui  du  dimanche,  et  ainsi  de  suite  ;  on  peut 
remonter  le  cours  des  temps  de  même  qu'on  peut 
le  descendre.  Avec  le  présent  et  les  lois,  on  peut 
deviner  l'avenir,  mais  on  peut  également  deviner  le 
passé.  Le  processus  est  essentiellement  réversible. 

Puisque  nous  nous  plaçons  ici  au  point  de  vue 
du  mathématicien,  il  convient  de  donner  à  cette 
conception  toute  la  précision  qu'elle  comporte, 
dût-on  pour  cela  employer  le  langage  mathéma- 
tique. Nous  dirons  alors  que  l'ensemble  des  lois 
équivaut  à  un  système  d'équations  différentielles 
qui  lient  les  vitesses  de  variations  des  divers  élé- 
ments de  l'univers  aux  valeurs  actuelles  de  ces 
éléments. 

Un  pareil  système  comporte,  comme  on  le  sait, 
une  infinité  de  solutions  ;  mais  si  nous  nous  donnons 
les  valeurs  initiales  de  tous  les  éléments,  c'est-à-dire 
leurs  valeurs  à  l'instant  t^O,  (celui  que  dans  le 
langage  ordinaire  nous  appelons  le  présent)  la 
solution  se  trouve  entièrement  déterminée,  de 
sorte  que  nous  pouvons  calculer  les  valeurs  de  tous 
les  éléments  à  une  époque  quelconque,  soit  que 
nous  supposions  t  >0,  ce  qui  correspond  à  l'ave- 
nir, soit  que  nous  supposions  t<0,  ce  qui  corres- 
pond au  passé.  Ce  qu'il  importe  de  se  rappeler, 
c'est  que  la  façon  de  conclure  du  présent  au  passé 
ne  diffère  pas  de  la  façon  de  conclure  du  présent  à 
l'avenir. 


l'évolution  des  lois  9 

Quel  moyen  avons-nous  alors  de  connaître  le 
passé  géologique,  c'est-à-dire  l'histoire  des  temps 
où  les  lois  auraient  pu  autrefois  varier?  Ce  passé 
n'a  pu  être  directement  observé  et  nous  ne  le  con- 
naissons que  par  les  traces  qu'il  a  laissées  dans  le 
présent,  nous  ne  le  connaissons  que  parle  présent, 
et  nous  ne  pouvons  l'en  déduire  que  par  le  pro- 
cessus que  nous  venons  de  décrire,  et  qui  nous 
permettrait  également  d'en  déduire  l'avenir.  Or,  ce 
processus  est-il  capable  de  nous  révéler  des  chan- 
gements dans  les  lois?  Évidemment  non;  nous  ne 
pouvons  précisément  l'appliquer  qu'en  supposant 
que  les  lois  n'ont  pas  changé  ;  nous  ne  connaissons 
directement  que  l'état  du  lundi  par  exemple,  et  les 
règles  qui  lient  l'état  du  dimanche  à  celui  du  lundi  ; 
l'application  de  ces  règles  nous  fera  alors  connaître 
l'état  du  dimanche  ;  mais  si  nous  voulons  pousser 
plus  loin  et  en  déduire  l'état  du  samedi,  il  faut 
de  toute  nécessité  que  nous  admettions  que  les 
mêmes  règles  qui  nous  ont  permis  de  remonter 
du  lundi  au  dimanche,  étaient  encore  valables 
entre  le  dimanche  et  le  samedi.  Sans  cela,  la 
seule  conclusion  qui  nous  serait  permise,  c'est 
qu'il  est  impossible  de  savoir  ce  qui  s'est  passé 
le  samedi.  Si  alors  l'immutabilité  des  lois  figure 
dans  les  prémisses  de  tous  nos  raisonnements, 
nous  ne  pouvons  pas  ne  pas  la  trouver  dans  nos 
eonclusions. 


10  DERNIÈRES    PENSÉES 

Un  Leverrier,  connaissant  les  orbites  actuelles 
•des  planètes,  calcule,  en  se  servant  de  la  loi  de 
Newton,  ce  que  seront  devenues  ces  orbites  dans 
10.000  ans.  De  quelque  manière  qu'il  dirige  ses 
«aïeuls,  il  ne  pourra  jamais  trouver  que  la  loi  de 
Newton  sera  fausse  dans  quelques  milliers  d'années. 

11  aurait  pu,  en  changeant  tout  simplement  le  signe 
du  temps  dans  ses  formules,  calculer  ce  qu'étaient 
€es  orbites  il  y  a  10.000  ans  ;  mais  il  est  sûr  d'avance 
de  ne  pas  trouver  que  la  loi  de  Newton  n'a  pas  été 
toujours  vraie. 

En  résumé,  nous  ne  pouvons  rien  savoir  du  passé 
qu'à  la  condition  d'admettre  que  les  lois  n'ont  pas 
changé  ;  si  nous  l'admettons,  la  question  de  l'évo- 
lution des  lois  ne  se  pose  pas  ;  si  nous  ne  l'admet- 
tons pas,  la  question  est  insoluble,  de  même  que 
toutes  celles  qui  se  rapportent  au  passé. 


II 


Mais,  dira-t-on,  ne  pourrait-il  se  faire  que  l'appli- 
■cation  du  processus  précédent  conduisit  à  une  con- 
tradiction, ou,  si  l'on  veut,  que  nos  équations 
difTérentielles  n'admissent  aucune  solution?  Puisque 
l'hypothèse  de  l'immutabililé  des  lois,  posée  au  début 
de  tous  nos  raisonnements,  conduirait  à  une  consé- 
quence absurde,  nous  aurions  démontré  per  absur^ 


L  EVOLUTION    DES    LOIS 


a 


dum  qu'elles  ont  évolué,  tout  en  étant  à  tout  jamais 
impuissants  à  savoir  dans  quel  sens. 

Comme  notre  processus  est  réversible,  ce  que 
nous  venons  de  dire  s'applique  à  l'avenir,  et  il 
semble  qu'il  y  ait  des  cas  où  nous  pourrions  affir- 
mer qu'avant  telle  date  le  monde  doit  périr  ou 
changer  ses  lois  ;  si  par  exemple  le  calcul  nous 
montre  qu'à  cette  date,  l'une  des  quantités  que  nous 
avons  à  envisager  doit  devenir  infinie,  ou  prendre 
une  valeur  physiquement  impossible.  Périr,  ou 
changer  ses  lois,  c'est  à  peu  près  la  même  chose  ; 
un  monde  qui  n'aurait  plus  les  lois  du  nôtre, 
ce  ne  serait  plus  notre  monde,  c'en  serait  un 
autre. 

Est-il  possible  que  l'étude  du  monde  actuel  et  de 
ses  lois  nous  conduise  à  des  formules  exposées  à 
de  semblables  contradictions  ?  Les  lois  sont  obte- 
nues par  l'expérience  ;  si  elles  nous  enseignent  que 
l'état  A  du  dimanche  entraîne  l'état  B  du  lundi, 
c'est  qu'on  a  observé  les  deux  états  A  et  B  ;  c'est 
donc  qu'aucun  de  ces  deux  états  n'est  physiquement 
impossible.  Si  nous  poursuivons  le  processus,  et  si 
nous  concluons  en  passant  chaque  fois  d'un  jour  au 
jour  suivant,  de  l'état  A  à  l'état  B,  puis  de  l'état  B 
à  l'état  C,  puis  de  l'état  C  à  l'état  D,  etc.,  c'est  que 
tous  ces  états  sont  physiquement  possibles  ;  car  si 
l'état  D  par  exemple  ne  l'était  pas,  on  n'aurait 
jamais  pu  faire  d'expérience  prouvant  que  l'état  G 


12 


DERNIERES    PENSEES 


engendre  au  bout  d'un  jour  l'état  D.  Quelque  loin 
que  les  déductions  soient  poussées,  on  n'arrivera 
donc  jamais  à  un  état  physiquement  impossible, 
c'est-à-dire  à  une  contradiction.  Si  une  de  nos  for- 
mules n'en  était  pas  exempte,  c'est  qu'on  aurait 
dépassé  l'expérience,  c'est  qu'on  aurait  extrapolé. 
Supposons  par  exemple  qu'on  ait  observé  que  dans 
telle  ou  telle  circonstance  la  température  d'un  corps 
baisse  d'un  degré  par  jour  ;  si  elle  est  actuellement 
de  20°  par  exemple,  on  conclura  que  dans  300  jours, 
elle  sera  de  —  280°;  et  cela  sera  absurde,  physique- 
ment impossible,  puisque  le  zéro  absolu  est 
à  — 273°.  Qu'est-ce  à  dire  ?  Avait-on  observé  que 
la  température  passait  en  un  jour  de  —  279°  à — 280°? 
Non,  sans  doute,  puisque  ces  deux  températures 
sont  inobservables.  On  avait  vu  par  exemple  que  la 
loi  était  vraie  à  très  peu  près  entre  0°  et  20°,  et  on 
en  avait  abusivement  conclu  qu'elle  devait  l'être 
encore  jusqu'à  —  273°  et  même  au  delà;  on  avait 
fait  une  extrapolation  illégitime.  Mais  il  y  a  une 
infinité  de  manières  d'extrapoler  une  formule  empi- 
rique, et  parmi  elles  on  peut  toujours  en  choisir 
une  qui  exclue  les  états  physiquement  impos- 
sibles. 

Nous  ne  connaissons  les  lois  qu'imparfaitement  ; 
l'expérience  ne  fait  que  limiter  notre  choix,  et 
parmi  toutes  les  lois  qu'elle  nous  permet  de  choisir, 
on  en  trouvera  toujours  qui  ne  nous  exposent  pas 


l'évolution  des  lois  13 

à  une  contradiction  du  genre  de  celles  dont  nous 
venons  de  parler  et  qui  pourraient  nous  obliger  à 
conclure  contre  l'immutabilité.  Ce  moyen  de  démon- 
trer une  pareille  évolution  nous  écbappe  encore, 
qu'il  s'agisse  d'ailleurs  de  démontrer  que  les  lois 
changeront,  ou  qu'elles  ont  changé. 


III 


Arrivés  à  ce  point,  on  peut  nous  opposer  un 
argument  de  fait.  «  Vous  dites  qu'en  cherchant  à 
remonter,  grâce  à  la  connaissance  des  lois,  du 
présent  au  passé,  on  ne  se  heurtera  jamais  à  une 
contradiction,  et  cependant  les  savants  en  ont  ren- 
contré, dont  il  ne  semble  pas  qu'on  puisse  se  tirer 
aussi  facilement  que  vous  le  pensez.  Qu'elles  ne 
soient  qu'apparentes,  qu'on  puisse  conserver  l'es- 
poir de  les  lever,  je  vous  l'accorde  ;  mais  d'après 
votre  raisonnement,  une  contradiction  même  appa- 
rente devrait  être  impossible  ». 

Citons  tout  de  suite  un  exemple.  Si  l'on  calcule 
d'après  les  lois  de  la  thermodynamique,  le  temps 
depuis  lequel  le  Soleil  a  pu  nous  verser  sa  chaleur, 
on  trouve  environ  50  millions  d'années  ;  ce  temps 
ne  saurait  suffire  aux  géologues  ;  non  seulement 
l'évolution  des  formes -organisées  n'a  pu  se  pro- 
duire aussi  vite,  —  c'est  là  un  point  sur  lequel  on 

2 


14  DERNIÈRES    PENSÉES 

pourrait  discuter,  —  mais  le  dépôt  des  couches  où 
on  trouve  des  restes  de  végétaux  ou  d'animaux  qui 
n'ont  pu  vivre  sans  soleil,  a  exigé  un  nombre  d'an- 
nées peut-être  dix  fois  plus  grand. 

Ce  qui  a  rendu  la  contradiction  possible,  c'est 
que  le  raisonnement  sur  lequel  repose  l'évidence 
géologique  diffère  beaucoup  de  celui  du  mathé- 
maticien. Observant  des  effets  identiques,  nous 
concluons  à  l'identité  des  causes,  et  par  exemple 
en  retrouvant  les  restes  fossiles  d'animaux  appar- 
tenant à  une  famille  actuellement  vivante,  nous 
concluons  qu'à  l'époque  où  s'est  déposée  la  couche 
qui  contient  ces  fossiles,  les  conditions  sans  les- 
quelles les  animaux  de  cette  famille  ne  sauraient 
vivre,  se  trouvaient  toutes  réalisées  à  la  fois. 

Au  premier  abord,  c'est  bien  la  même  chose  que 
faisait  le  mathématicien,  dont  nous  avions  adopté 
le  point  de  vue  dans  les  paragraphes  précédents  ; 
lui  aussi  il  concluait  que,  les  lois  n'ayant  pas  changé, 
des  effets  identiques  ne  pouvaient  avoir  été  produits 
que  par  des  causes  identiques.  Il  y  a  toutefois  une 
différence  essentielle.  Considérons  l'état  du  monde, 
à  un  instant  donné,  et  à  un  autre  instant  antérieur; 
l'état  du  monde,  ou  même  celui  d'une  très  petite 
partie  du  monde  est  quelque  chose  d'extrêmement 
complexe  et  qui  dépend  d'un  très  grand  nombre 
d'éléments.  Je  suppose,  pour  simplifier  l'exposé, 
deux'  éléments    seulement,    de    sorte    que    deux 


l'évolution  des  lois  15 

données  suffisent  pour  définir  cet  état.  A  l'instant 
postérieur,  ces  données  seront  par  exemple  A  etB", 
à  l'instant  antérieur  A'  et  B'. 

La  formule  du  mathématicien,  construite  avec 
l'ensemble  des  lois  observées,  lui  apprend  que  l'état 
A  B  ne  peut  avoir  été  engendré  que  par  l'état  anté- 
rieur A'  B';  mais  s'il  ne  connaît  que  l'une  des  don- 
nées, A  par  exemple,  sans  savoir  si  elle  est  accom- 
pagnée de  l'autre  donnée  B,  sa  formule  ne  lui 
permet  aucune  conclusion.  Tout  au  plus,  si  les 
phénomènes  A  et  A'  lui  apparaissent  comme  liés 
entre  eux,  mais  relativement  indépendants  de  B  et 
de  B',  conclura-t-il  de  A  à  A';  en  aucun  cas,  il  ne 
déduira  la  double  circonstance  A'  et  B'  de  la  cir- 
constance unique  A.  Le  géologue,  au  contraire, 
observant  l'effet  A  seul,  conclura  qu'il  n'a  pu  être 
produit  que  par  le  concours  des  causes  A'  et  B'qui 
lui  donnent  souvent  naissance  sous  nos  yeux  ; 
car  dans  bien  des  cas  cet  effet  A  est  tellement 
spécial,  qu'un  autre  concours  de  causes  abou- 
tissant au  même  effet  serait  absolument  invrai- 
semblable. 

Si  deux  organismes  sont  identiques  ou  simple- 
ment analogues,  cette  analogie  ne  peut  pas  être 
due  au  hasard,  et  nous  pouvons  affirmer  qu'ils  ont 
vécu  dans  des  conditions  pareilles  ;  en  en  retrou- 
vant les  débris,  nous  serons  sûrs,  non  seulement 
qu'il  a  préexisté  un  germe  analogue  à  celui  d'où 


Ib  DERNlÈltES    PENSÉES 

nous  voyons  sortir  des  êtres  semblables,  mais  que 
la  température  extérieure  n'était  pas  trop  élevée 
pour  que  ce  germe  pût  se  développer.  Autrement 
ces  débris  ne  pourraient  être  qu'un  ludus  naturœ, 
comme  on  le  croyait  au  xvn^  siècle;  et  il  est  inutile 
de  dire  qu'une  pareille  conclusion  choque  absolu- 
ment la  raison.  L'existence  de  débris  organisés 
n'est  d'ailleurs  qu'un  cas  extrême  plus  frappant 
que  les  autres,  et  sans  sortir  du  monde  minéral, 
nous  aurions  pu  citer  des  exemples  du  même 
genre. 

Le  géologue  peut  donc  conclure,  là  où  le  mathé- 
maticien serait  impuissant.  Mais  on  voit  qu'il  n'est 
plus  garanti  contre  la  contradiction  comme  l'était  le 
mathématicien.  Si  d'une  circonstance  unique,  il 
conclut  à  des  circonstances  antérieures  multiples  ; 
si  l'étendue  de  la  conclusion  est  en  quehjue  sorte 
plus  grande  que  celle  des  prémisses,  il  est  pos- 
sible que  ce  que  l'on  déduira  d'une  observation  se 
trouve  en  désaccord  avec  ce  qu'on  tirera  d'une 
autre.  Chaque  fait  isolé  devient  pour  ainsi  dire  un 
centre  d'irradiation  :  de  chacun  d'eux  le  mathé- 
maticien déduisait  un  fait  unique  ;  le  géologue  en 
déduit  des  faits  multiples;  du  point  lumineux  qui 
lui  est  donné,  il  fait  un  disque  brillant  plus  ou  moins 
étendu  ;  deux  points  lumineux  lui  donneront  alors 
deux  disques  qui  pourront  empiéter  l'un  sur  l'autre, 
d'où  la  possibilité  d'un  conflit.   Par  exemple  s'il 


l'évolution  des  lois  17 

trouve  dans  une  couche  des  mollusques  qui  ne 
peuvent  vivre  au-dessous  de  20°,  il  conclura  que 
les  mers  de  ce  temps  étaient  chaudes;  mais  si 
ensuite  un  de  ses  collègues  découvrait  dans  la 
même  strate  d'autres  animaux  que  tuerait  une 
température  supérieure  à  5°,  il  conclurait  que  ces 
mers  étaient  froides. 

On  peut  avoir  des  raisons  d'espérer  que  les  obser- 
vations ne  se  contrediront  pas  en  fait,  ou  que  les 
contradictions  ne  seront  pas  irréductibles,  mais 
nous  ne  sommes  plus  pour  ainsi  dire  garantis  contre 
le  risque  d'une  contradiction  par  les  règles  mêmes 
de  la  logique  formelle.  Et  alors  on  peut  se  deman- 
der si  en  raisonnant  comme  les  géologues,  on  ne 
tombera  pas  un  jour  dans  quelque  conséquence 
absurde,  de  sorte  qu'on  sera  obligé  de  conclure  à 
la  mutabilité  des  lois. 


IV 


Qu'on  me  permette  ici  une  digression.  Nous 
venons  de  voir  que  le  géologue  possède  un  instru- 
ment qui  manque  au  mathématicien  et  qui  lui  per- 
met de  conclure  du  présent  au  passé.  Pourquoi  le 
même  instrument  ne  nous  permet-il  pas  de  conclure 
du  présent  à  l'avenir?  Si  je  vois  un  homme  de 
vingt  ans,  je  suis  sûr  qu'il  a  franchi  toutes  les  étapes 

2. 


18  DERNIÈRES    PENSÉES 

depuis  l'enfance  jusqu'à  l'âge  adulte  et  par  consé- 
quent qu'il  n'y  a  pas  eu  depuis  vingt  ans  sur  la 
Terre  un  cataclysme  qui  y  ait  détruit  toute  vie, 
mais  cela  ne  me  prouve  en  aucune  façon  qu'il  n'y  en 
aura  pas  un  d'ici  à  vingt  ans.  Nous  avons  pour  con- 
naître le  passé  des  armes  qui  nous  manquent  quand 
il  s'agit  de  l'avenir,  et  c'est  pour  cela  que  l'avenir 
nous  apparaît  comme  plus  mystérieux  que  le  passé. 

Je  ne  puis  m'empêcher  ici  de  me  reportera  un 
article  que  j'ai  écrit  sur  le  hasard  ;  j'y  rappelais 
l'opinion  de  M.  Lalande  qui  avait  dit,  au  contraire 
que,  si  l'avenir  est  déterminé  par  le  passé,  le  passé 
ne  1  est  pas  par  l'avenir.  D'après  lui  une  cause  ne 
peut  produire  qu'un  effet,  tandis  qu'un  même  effet 
peut  être  produit  par  plusieurs  causes  différentes. 
S'il  en  était  ainsi,  ce  serait  le  passé  qui  serait  mys- 
térieux et  l'avenir  qui  serait  aisé  à  connaître. 

Je  ne  pouvais  adopter  cette  opinion,  mais  j'ai 
montré  quelle  avait  pu  en  être  l'origine.  Le  prin- 
cipe de  Carnotnous  montre  que  l'énergie,  que  rien 
ne  peut  détruire,  est  susceptible  de  se  dissiper. 
Les  températures  tendent  à  s'égaliser,  le  monde 
tend  vers  l'uniformité,  c'est-à-dire  vers  la  mort.  De 
grandes  différences  dans  les  causes  ne  produisent 
donc  que  de  petites  différences  dans  les  effets.  Dès 
que  les  différences  dans  les  effets  deviennent  trop 
faibles  pour  être  observables,  nous  n'avons  plus 
aucun  moyen  de  connaître  les  différences  qui  ont 


L'ÉVOLUTION    DES    LOIS  19 

existé  autrefois  entre  les  causes  qui  leur  ont  donné 
naissance,  quelque  grandes  que  ces  différences 
aient  été. 

Mais  c'est  justement  parce  que  tout  tend  vers  la 
mort,  que  la  vie  est  une  exception  qu'il  est  néces- 
saire d'expliquer. 

Que  des  cailloux  roulants  soient  abandonnés  au 
hasard  sur  une  montagne,  ils  finiront  tous  par  tom- 
ber dans  la  vallée  ;  si  nous  en  retrouvons  un  tout 
en  bas,  ce  sera  un  effet  banal  et  qui  ne  nous 
renseignera  pas  sur  l'histoire  antérieure  du  caillou  ; 
nous  ne  pourrons  pas  savoir  en  quel  point  de  la 
montagne  il  a  été  d'abord  placé.  Mais  si,  par  hasard, 
nous  rencontrons  une  pierre  dans  le  voisinage  du 
sommet,  nous  pourrons  affirmer  qu'elle  y  a  tou- 
jours été,  puisque  dès  qu'elle  se  fût  trouvée  sur  la 
pente,  elle  eût  roulé  jusqu'au  fond;'  et  nous  le 
ferons  avec  d'autant  plus  de  certitude  que  le  cas  est 
plus  exceptionnel  et  qu'il  avait  plus  de  chances  de 
ne  pas  se  produire. 


Je  n'ai  soulevé  cette  question  qu'incidemment  ; 
elle  mériterait  qu'on  y  réfléchît  ;  mais  je  ne  veux 
pas  me  laisser  entraîner  trop  loin  de  mon  sujet. 
Est-il  possible  que  les  contradictions  des  géologues 


20  DEBNIÈRES    PENSÉES 

amènent  jamais  les  savants  à  conclure  à  l'évolution 
des  lois  ?  Observons  d'abord  que  c'est  seulement 
dans  la  jeunesse  des  Sciences  qu'elles  emploient  les 
raisonnements  par  analogie  dont  la  géologie  actuelle 
est  obligée  de  se  contenter.  A  mesure  qu'elles  se 
développent,  elles  se  rapprochent  de  l'état  que  l'as- 
tronomie et  la  physique  semblent  avoir  déjà  atteint 
et  où  les  lois  sont  susceptibles  d'être  énoncées  dans 
le  langage  mathématique.  Ce  jour-là,  ce  que  nous 
disions  au  début  de  ce  travail  redeviendra  vrai 
sans  restriction.  Or  beaucoup  de  personnes  pensent 
que  toutes  les  sciences  sont  appelées  à  subir  plus 
ou  moins  vite,  et  les  unes  après  les  autres,  la 
même  évolution.  S'il  en  était  ainsi,  les  difficultés 
qui  pourraient  surgir  ne  seraient  que  provisoires, 
elles  seraient  destinées  à  s'évanouir  dès  que  les 
sciences  seraient  sorties  de  l'enfance. 

Mais  nous  n'avons  pas  besoin  d'attendre  cet  incer- 
tain avenir.  En  quoi  consiste  le  raisonnement  par 
analogie  du  géologue  ?  Un  fait  géologique  lui  paraît 
tellement  semblable  à  un  fait  actuel  qu'il  ne  saurait 
attribuer  cette  similitude  au  hasard.  Il  ne  croit 
pouvoir  l'expliquer  qu'en  supposant  que  ces  deux 
faits  se  soient  produits  dans  des  conditions  tout  à 
fait  identiques.  Et  il  iraitimaginerqueles  conditions 
étaient  identiques,  sauf  ce  point  de  détail  que  les  lois 
de  la  nature  ayant  varié  dans  l'intervalle,  le  monde 
tout  entier  aurait  entièrement  changé  au  point  de 


l'évolution  des  lois  21 

devenir  méconnaissable.  Il  affirmerait  d'un  côté 
que  la  température  a  dû  rester  la  même,  alors  que 
par  suite  du  bouleversement  de  toute  la  physique, 
les  efîets  de  la  température  seraient  devenus  tout 
difîérenls,  de  sorte  que  le  mot  même  de  tempéra- 
ture aurait  perdu  toute  espèce  de  sens.  Évidem- 
ment, quoi  qu'il  arrive,  ce  ne  sera  jamais  à  une 
pareille  conception  qu'il  s'arrêtera.  La  façon  dont 
il  conçoit  la  logique  s'y  oppose  absolument. 


VI 


Et  si  l'humanité  devait  durer  plus  longtemps  que 
nous  ne  l'avons  supposé,  assez  longtemps  pour  voir 
les  lois  évoluer  sous  ses  yeux?  Ou  bien  encore  si 
elle  venait  à  acquérir  des  instruments  assez  délicats 
pour  que  cette  variation,  toute  lente  qu'elle  soit, 
devienne  sensible  après  quelques  générations  ?  Ce 
ne  serait  plus  alors  par  induction,  par  inférence 
que  nous  connaîtrions  les  changements  des  lois,  ce 
serait  par  observation  directe.  Les  raisonnements 
précédents  ne  perdraient-ils  pas  toute  valeur?  Les 
mémoires  où  seraient  relatées  les  expériences  de 
nos  devanciers  ne  seraient  encore  que  des  vestiges 
du  passé,  qui  ne  nous  donneraient  de  ce  passé 
qu'une  connaissance  indirecte.  Les  vieux  documents 
sont  pour  l'historien  ce  que  les  fossiles  sont  pour 


^^  DEriN'.ERES    PENSEES 

le  géologue,  et  les  ouvrages  des  savants  d'autrefois 
ne  seraient  que  de  vieux  documents.  Ils  ne  nous 
renseigneraient  sur  la  pensée  de  ces  savants  que 
dans  la  mesure  où  les  hommes  d'autrefois  seraient 
semblables  à  nous.  Si  les  lois  du  monde  venaient  à 
changer,  toutes  les  parties  de  l'univers  en  subiraient 
le  contrecoup  et  l'humanité  n'y  saurait  échapper; 
en  admettant  qu'elle  pût  survivre  dans  un  milieu 
nouveau,  il  faudrait  bien  qu'elle  changeât  pour  s'y 
adapter.  Et  alors  le  langage  des  hommes  d'autrefois 
nous  deviendrait  incompréhensible  ;  les  mots  dont 
ils  se  servaient  n'auraient  plus  de  sens  pour  nous 
ou  en  auraient  un  autre  que  pour  eux.  N'est-ce  pas 
déjà  ce  qui  arrive,  au  bout  de  quelques  siècles,  bien 
que  les  lois  de  la  physique  soient  demeurées  im- 
muables ? 

Et  alors  nous  retombons  toujours  dans  le  même 
dilemme  :  ou  bien  les  documents  d'autrefois  seront 
restés  parfaitement  clairs  pour  nous,  et  ce  sera 
alors  que  le  monde  est  resté  le  même,  et  ils  ne 
pourront  nous  apprendre  autre  chose  ;  ou  bien  ils 
seront  devenus  des  énigmes  indéchiffrables,  et  ils 
ne  pourront  rien  nous  apprendre  du  tout,  pas  même 
que  les  lois  ont  évolué  ;  nous  savons  assez  qu'il  n'en 
faut  pas  tant  pour  qu'ils  soient  pour  nous  lettre 
morte. 

D'ailleurs  les  hommes  d'autrefois,  comme  nous 
mêmes,   n'auront  jamais    eu    des   lois   naturelles 


l'évolution  des  lois  23 

qu'une  connaissance  fragmentaire.  Nous  trouve- 
rions toujours  bien  moyen  de  raccorder  ces  deux 
Iragments  même  s'ils  étaient  restés  intacts  ;  à  plus 
forte  raison  s'il  ne  nous  reste  du  plus  ancien  qu'une 
image  affaiblie,  incertaine  et  à  demi  effacée. 


VII 


Plaçons-nous  maintenant  à  un  autre  point  de 
vue.  Les  lois  que  nous  donne  l'observation  directe 
ne  sont  jamais  que  des  résultantes.  Prenons  par 
exemple  la  loi  deMariotte.  Pour  la  plupart  des  phy- 
siciens, ce  n'est  qu'une  conséquence  de  la  théorie 
cinétique  des  gaz;  les  molécules  gazeuses  sont  ani- 
mées de  vitesses  considérables,  elles  décrivent  des 
trajectoires  compliquées  dont  on  pourrait  écrire 
l'équation  exacte  si  l'on  savait  suivant  quelles  lois 
elles  s'attirent  ou  se  repoussent  mutuellement.  En 
raisonnant  sur  ces  trajectoires  d'après  les  règles  du 
calcul  des  probabilités,  on  arrive  à  démontrer  que 
la  densité  d'un  gaz  est  proportionnelle  à  sa  pression. 

Les  lois  qui  régissent  les  corps  observables  ne 
seraient  donc  que  des  conséquences  des  lois  molé- 
culaires. 

Leur  simplicité  ne  serait  qu'apparente  et  cache- 
rait une  réalité  extrêmement  complexe  puisque  la 
complexité  en  serait  mesurée  par  le  nombre  même 


24  DERNIÈRES    PENSÉES 

des  molécules.  Mais  c'est  justement  parce  que  ce 
nombre  est  très  grand  que  les  divergences  de  détail 
se  compenseraient  mutuellement  et  que  nous  croi- 
rions à  l'harmonie. 

Et  les  molécules  elles-mêmes  sont  peut-être  des 
mondes  ;  leurs  lois  ne  sont  peut-être  aussi  que  des 
résultantes,  et  pour  en  trouver  la  raison,  il  faudrait 
descendre  jusqu'aux  molécules  des  molécules,  sans 
qu'on  sache  où  l'on  finira  par  s'arrêter. 

Les  lois  observables  alors  dépendent  de  deux 
choses,  les  lois  moléculaires  et  l'agencement  des 
molécules.  Ce  sont  les  lois  moléculaires  qui  jouis- 
sent de  l'immutabilité  puisque  ce  sont  les  vraies 
lois  et  que  les  autres  ne  sont  que  des  apparences. 
Mais  l'agencement  des  molécules  peut  changer  et 
avec  lui  les  lois  observables.  Et  ce  serait  une  rai- 
son de  croire  à  l'évolution  des  lois. 


VIII 

Je  suppose  un  monde  dont  les  diverses  parties 
possèdent  une  conductibilité  calorifique  si  parfaite 
qu'elles  se  maintiennent  constamment  en  équilibre 
de  température.  Les  habitants  de  ce  monde  n'au- 
raient aucune  idée  de  ce  que  nous  appelons  dilTérence 
de  température  ;  dans  leurs  traités  de  physique,  il  n'y 
aurait  pas  de  chapitre  consacré  à  la  Ihermométrie. 


l'évolution  des  lois  25 

A  part  cela  ces  traités  pourraient  être  assez  com- 
plets et  ils  enseigneraient  une  foule  de  lois,  beau- 
coup plus  simples  même  que  les  nôtres. 

Imaginons  maintenant  que  ce  monde  se  refroi- 
disse lentement  par  rayonnement  ;  la  température 
y  restera  partout  uniforme,  mais  elle  diminuera 
avec  le  temps.  Je  suppose  qu'un  de  ses  habitants 
tombe  en  léthargie  et  se  réveille  au  bout  de  quel- 
ques siècles;  nous  admettrons,  puisque  nous  avons 
déjà  supposé  tant  de  choses,  qu'il  puisse  vivre 
dans  un  monde  plus  froid  et  qu'il  ait  conservé  le 
souvenir  des  choses  d'autrefois.  Il  verra  que  ses 
descendants  font  encore  des  traités  de  physique, 
qu'ils  continuent  à  ne  pas  parler  de  thermométrie, 
mais  que  les  lois  qu'ils  enseignent  sont  très  diffé- 
rentes de  celles  "qu'il  a  connues.  Par  exemple  on 
lui  a  appris  que  l'eau  bout  sous  une  pression 
de  10  millimètres  de  mercure,  et  les  nouveaux 
physiciens  observeront  que  pour  la  faire  bouillir  il 
faut  abaisser  la  pression  jusqu'à  5  millimètres. 
Tel  corps  qu'il  a  connu  autrefois  liquide  ne  se  pré- 
sentera plus  qu'à  l'état  solide  et  ainsi  de  suite.  Les 
relations  mutuelles  des  diverses  parties  de  l'univers 
dépendent  toutes  de  la  température  et  dès  qu'elle 
change,  tout  est  bouleversé. 

Eh  bien,  savons-nous  s'il  n'y  a  pas  quelque  entité 
physique,  aussi  inconnue  pour  nous  que  la  tempé- 
rature l'était  pour  les  habitants  de  ce  monde  de 

3 


26  DERNIÈRES    PENSÉES 

fantaisie?  Savons-nous  si  cette  entité  ne  varie  pas 
constamment  comn)e  la  température  d'un  globe  qui 
perd  sa  chaleur  par  rayonnement,  et  si  cette  varia- 
tion n'entraîne  pas  celle  de  toutes  les  lois? 


IX 


Revenons  à  notre  monde  imaginaire  et  deman- 
dons-nous si  ses  habitants  ne  pourraient  pas,  sans 
renouveler  l'histoire  des  dormants  d'Ephèse,  s'aper- 
cevoir de  cette  évolution.  Sans  doute,  si  parfaite 
que  soit  la  conductibilité  calorifique  sur  leur  pla- 
nète, elle  ne  serait  pas  absolue,  de  sorte  que  des 
différences  de  température  extrêmement  légères  y 
seraient  encore  possibles.  Elles  échapperaient  long- 
temps à  l'observation,  mais  il  viendrait  peut-être 
un  jour  où  on  imaginerait  des  appareils  de  mesure 
plus  sensibles  et  oii  un  physicien  de  génie  mettrait 
en  évidence  ces  différences  presque  imperceptibles. 
Une  théorie  s'édifierait,  on  verrait  que  ces  écarts 
de  température  ont  une  influence  sur  tous  les  phé- 
nomènes physiques,  et  finalement  quelque  philo- 
sophe, dont  les  vues  paraîtraient  hasardées  et 
téméraires  à  la  plupart  de  ses  contemporains,  affir- 
merait que  la  température  moyenne  de  l'univers 
pu  varier  dans  le  passé  et  avec  elle  toutes  les  lois 
connues. 


L  EVOLUTION    DES    LOIS 


27 


Ne  pourrions-nous  faire  nous  aussi  quelque  chose 
de  pareil?  Par  exemple  les  lois  fondamentales  de  la 
Mécanique  ont  été  longtemps  considérées  comme 
absolues.  Aujourd'hui  certains  physiciens  disent 
qu'elles  doivent  être  modifiées,  ou  plutôt  élargies  ; 
qu'elles  ne  sont  approximativement  vraies  que 
pour  les  vitesses  auxquelles  nous  sommes  accou- 
tumés ;  qu'elles  cesseraient  de  l'être  pour  des 
vitesses  comparables  à  celle  de  la  lumière  ;  et  ils 
appuient  leur  manière  de  voir  sur  certaines  expé- 
riences faites  au  moyen  du  radium.  Les  anciennes 
lois  de  la  Dynamique  n'en  restent  pas  moins  prati- 
quement vraies  pour  le  monde  qui  nous  entoure. 
Mais  ne  pourrait-on  pas  dire  avec  quelque  apparence 
de  raison  que  par  suite  de  la  dissipation  constante 
de  l'énergie,  les  vitesses  des  corps  ont  dû  tendre  à 
diminuer,  puisque  leur  force  vive  tendait  à  se  trans- 
former en  chaleur  ;  qu'en  remontant  assez  loin 
dans  le  passé,  on  trouverait  une  époque  où  les 
vitesses  comparables  à  celle  de  la  lumière  n'étaient 
pas  exceptionnelles,  où  par  suite  les  lois  classiques 
de  la  Dynamique  n'étaient  pas  encore  vraies? 

Supposons  d'autre  part  que  les  lois  observables 
ne  soient  que  des  résultantes,  dépendant  à  la  fois 
des  lois  moléculaires  et  de  l'agencement  des  molé- 
cules ;  quand  les  progrès  de  la  Science  nous  auront 
familiarisés  avec  cette  dépendance,  nous  pourrons 
sans   doute  conclure,  qu'en  vertu  même  des  lois 


28  DERNIÈRES    PENSÉES 

moléculaires,  ragencement  des  molécules  a  dû 
être  autrefois  différent  de  ce  qu'il  est  aujourd'hui, 
et  par  conséquent  que  les  lois  observables  n'ont 
pas  toujours  été  les  mêmes.  Nous  conclurions  donc 
à  la  variabilité  des  lois,  mais,  qu'on  le  remarque 
bien,  ce  serait  en  vertu  même  du  principe  de  leur 
immutabilité.  Nous  affirmerions  que  les  lois  appa- 
rentes ont  changé,  mais  ce  serait  parce  que  les  lois 
moléculaires,  que  nous  regarderions  désormais 
comme  les  vraies  lois,  seraient  proclamées  im- 
muables. 


Ainsi  il  n'est  pas  une  seule  loi  que  nous  puissions 
énoncer  avec  la  certitude  qu'elle  a  toujours  été 
vraie  dans  le  passé  avec  la  même  approximation 
qu'aujourd'hui,  je  dirai  plus,  avec  la  certitude  qu'on 
ne  pourra  jamais  démontrer  qu'elle  a  été  fausse 
autrefois.  Et  néanmoins,  il  n'y  a  rien  là  qui  puisse 
empêcher  le  savant  de  garder  sa  foi  au  principe 
de  l'immutabilité,  puisque  aucune  loi  ne  pourra 
jamais  descendre  au  rang  de  loi  transitoire,  que 
pour  être  remplacée  par  une  autre  loi  plus  générale 
et  plus  compréhensive  ;  qu'elle  ne  devra  même  sa 
disgrâce  qu'à  l'avènement  de  cette  loi  nouvelle,  de 
sorte  qu'il  n'y  aura  pas  eu  d'interrègne  et  que  les 


l'évolution  des  lois  29 

principes  resteront  saufs;  que  ce  sera  par  eux  que 
se  feront  les  changements  et  que  ces  révolutions 
mêmes  paraîtront  en  être  une  confirmation  écla- 
tante. 

Il  n'arrivera  même  pas  qu'on  constatera  des 
variations  par  l'expérience  ou  par  l'induction,  et 
qu'on  les  expliquera  après  coup  en  cherchant  à  tout 
faire  rentrer  dans  une  synthèse  plus  ou  moins 
artificielle.  Non,  ce  sera  la  synthèse  qui  viendra 
d'abord,  et  si  nous  admettons  des  variations,  ce 
sera  pour  ne  pas  la  déranger. 


XI 

Jusqu'ici  nous  n'avons  pas  semblé  nous  inquiéter 


de  savoir  si  les  lois  varient  réellement,  mais  seule- 
ment si  les  hommes  peuvent  les  croire  variables. 
Les  lois  considérées  comme  existant  en  dehors  de 
l'esprit  qui  les  crée  ou  qui  les  observe  sont-elles 
immuables  en  soi?  Non  seulement  la  question  est 
jnsoluble,  mais  elle  n'a  aucun  sens.  A  quoi  bon  se 
demander  si  dans  le  monde  des  choses  en  soi  les 
lois  peuvent  varier  avec  le  temps,  alors  que  dans 
un  pareil  monde,  le  mot  de  temps  est  peut-être 
vide  de  sens?  De  ce  que  ce  monde  est,  nous  ne 
pouvons  rien  dire,  ni  rien  penser,  mais  seulement 
de  ce  qu'il  paraît  ou  pourrait  paraître  à  des  intel- 

3. 


30 


DERNIERES    PENSEES 


ligences  qui  ne  différeraient  pas  trop  de  la  nôtre. 

La  question  ainsi  posée  comporte  une  solution.  Si 
nous  envisageons  deux  esprits  semblables  au  nôtre 
observant  l'univers  à  deux  dates  différentes,  sépa- 
rées par  exemple  par  des  millions  d'années,  chacun 
de  ces  esprits  bâtira  une  science,  qui  sera  un  sys- 
tème de  lois  déduites  des  faits  observés.  11  est 
probable  que  ces  sciences  seront  très  différentes 
et  en  ce  sens  on  pourrait  dire  que  les  lois  ont 
évolué.  Mais  quelque  grand  que  soit  l'écart,  on 
pourra  toujours  concevoir  une  intelligence  de  même 
nature  encore  que  la  nôtre,  mais  de  portée  beau- 
coup plus  grande,  ou  appelée  à  une  vie  plus  longue, 
qui  sera  capable  de  faire  la  synthèse  et  de  réunir 
dans  une  formule  unique,  parfaitement  cohérente, 
les  deux  formules  fragmentaires  et  approchées 
auxquelles  les  deux  chercheurs  éphémères  étaient 
parvenus  dans  le  peu  de  temps  dont  ils  disposaient. 
Pour  elle,  les  lois  n'auront  pas  changé,  la  science 
sera  immuable,  ce  seront  seulement  les  savants 
qui  auront  été  imparfaitement  informés. 

Pour  prendre  une  comparaison  géométrique, 
supposons  qu'on  puisse  représenter  les  variations 
du  monde  par  une  courbe  analytique.  Chacun  de 
nous  ne  peut  voir  qu'un  très  petit  arc  de  cette 
courbe;  s'il  le  connaissait  exactement,  cela  lui 
suffirait  pour  établir  l'équation  de  la  courbe,  et 
pour  pouvoir  la  prolonger  indéfiniment.  Mais  il  n'a 


L  EVOLUTION    DES    LOIS 


31 


de  cet  arc  qu'une  connaissance  imparfaite  et  il 
peut  se  tromper  sur  cette  équation  :  s'il  cherche  à 
prolonger  la  courbe,  le  trait  qu'il  tracera  s'écartera 
de  la  courbe  réelle  d'autant  plus  que  l'arc  connu 
sera  moins  étendu,  et  qu'on  voudra  pousser  plus 
loin  le  prolongement  de  cet  arc.  Un  autre  obser- 
vateur ne  connaîtra  qu'un  autre  arc  et  ne  le 
connaîtra  non  plus  qu'imparfaitement. 

Pour  peu  que  les  deux  travailleurs  soient  loin 
l'un  de  l'autre,  ces  deux  prolongements  qu'ils  tra- 
ceront ne  se  raccorderont  pas  ;  mais  cela  ne 
prouve  pas  qu'un  observateur  à  la  vue  plus  longue, 
qui  apercevrait  directement  une  plus  grande  lon- 
gueur de  courbe,  de  façon  à  embrasser  à  la  fois 
ces  deux  arcs,  ne  serait  pas  en  état  d'écrire  une 
équation  plus  exacte  et  qui  concilierait  leurs 
formules  divergentes;  et  même,  quelque  capri- 
cieuse que  soit  la  courbe  réelle,  il  y  aura  toujours 
une  courbe  analytique,  qui  sur  une  longueur  aussi 
grande  qu'on  voudra,  s'en  écartera  aussi  peu 
qu'on  voudra. 

Sans  doute  bien  des  lecteurs  seront  choqués 
de  voir  qu'à  tout  instant  je  semble  remplacer  le 
monde  par  un  système  de  symboles  simples.  Ce 
n'est  pas  simplement  par  habitude  professionnelle 
de  mathématicien  ;  la  nature  de  mon  sujet  m'im- 
posait absolument  celte  attitude.  Le  monde  berg- 
sonien  n'a  pas  de  lois;  ce  qui  peut  en  avoir,  c'est 


32  DERNIÈRES    PENSÉES 

simplement  l'ima^^e  plus  ou  moins  déformée  que 
les  savants  s'en  font.  Quand  on  dit  que  la  nature 
est  gouvernée  par  des  lois,  on  entend  que  ce  por- 
trait est  encore  assez  ressemblant.  C'est  donc  sur 
lui  et  sur  lui  seulement  que  nous  devions  rai- 
sonner, sous  peine  de  voir  s'évanouir  l'idée  même 
de  loi  qui  était  l'objet  de  notre  étude.  Or  cette 
image  est  démontable;  on  peut  la  disséquer  en 
éléments,  y  distinguer  des  instants  extérieurs  les 
uns  aux  autres,  des  parties  indépendantes.  Que  si 
j'ai  simplifié  parfois  à  outrance  et  réduit  ces 
éléments  à  un  trop  petit  nombre,  ce  n'est  là 
qu'une  affaire  de  degré:  cela  ne  changeait  rien 
à  la  nature  de  mes  raisonnements  et  à  leur 
portée;  l'exposition  en  devenait  simplement  plus 
brève. 


CHAPITRE  U 
L'ESPACE  ET  LE  TEMPS 


CHAPITRE   II 
L'ESPACE  ET  LE  TEMPS 


Une  des  raisons  qui  m'ont  déterminé  à  revenir 
sur  une  des  questions  que  j'ai  le  plus  souvent  trai- 
tées, c'est  la  révolution  qui  s'est  récemment  accom- 
plie dans  nos  idées  sur  la  Mécanique.  Le  principe 
de  relativité,  tel  que  le  conçoit  Lorentz,  ne  va-t-il 
pas  nous  imposer  une  conception  entièrement  nou- 
velle de  l'espace  et  du  temps  et  par  là  nous  forcer 
à  abandonner  des  conclusions  qui  pouvaient  sembler 
acquises?  N'avons-nous  pas  dit  que  la  géométrie  a 
été  construite  par  l'esprit  à  l'occasion  de  l'expé- 
rience, sans  doute,  mais  sans  nous  être  imposée  par 
l'expérience,  de  telle  façon  que,  une  fois  constituée, 
elle  est  à  l'abri  de  toute  revision,  elle  est  hors 
d'atteinte  de  nouveaux  assauts  de  l'expérience?  et 
cependant  les  expériences  sur  lesquelles  est  fondée 
la  mécanique  nouvelle  ne  semblent-elles  pas  l'avoir 
ébranlée  ?  Pour  voir  ce  qu'on  en  doit  penser,  je  dois 
rappeler  succinctement   quelques-unes    des  idées 


36  DERNIÎRES    PENSÉES 

fondamentales  que  j'ai  cherché  à  mettre  en  évidence 
dans  mes  écrits  antérieurs. 

J'écarterai  d'abord  l'idée  d'un  prétendq  sens  de 
l'espace  qui  nous  ferait  localiser  nos  sensations 
dans  un  espace  tout  fait,  dont  la  notion  préexiste- 
rait à  toute  expérience,  et  qui  avant  toute  expérience 
aurait  toutes  les  propriétés  de  l'espace  du  géo- 
mètre. Qu'est-ce  en  effet  que  ce  prétendu  sens  de 
l'espace?  Quand  nous  voulons  savoir  si  un  animal 
le  possède,  quelle  expérience  faisons-nous  ?  Nous 
plaçons  dans  son  voisinage  des  objets  qu'il  convoite, 
et  nous  regardons  s'il  sait  faire  sans  tâtonnement 
les  mouvements  qui  lui  permettent  de  les  atteindre. 
Et  comment  voyons-nous  que  les  autres  hommes 
sont  doués  de  ce  précieux  sens_de  l'espace?  c'est 
parce  qu'eux  aussi,  ils  sont  capables  de  contracter 
leurs  muscles  à  propos  pour  atteindre  les  objets 
dont  la  présence  leur  est  révélée  par  certaines  sen- 
sations. Qu'y  a-t-il  de  plus  quand  nous  constatons 
le  sens  de  l'espace  dans  notre  propre  conscience? 
Ici  encore,  en  présence  de  sensations  variées,  nous 
savons  que  nous  pourrions  faire  des  mouvements 
qui  nous  permettraient  d'atteindre  les  objets  que 
nous  regardons  comme  la  cause  de  ces  sensations, 
et  par  là  d'agir  sur  ces  sensations,  les  faire  dispa- 
raître ou  les  rendre  plus  intenses  ;  la  seule  diffé- 
rence c'est  que  pour  le  savoir,  nous  n'avons  pas 
besoin  de  faire  effectivement  ces  mouvements,  il 


L  ESPACE    ET    LE    TEMPS 


37 


nous  suffit  de  nous  les  représenter.  Ce  sens  de  l'es- 
pace que  l'intelligence  serait  impuissante  à  expri- 
mer, ne  pourrait  être  que  je  ne  sais  quelle  force 
qui  résiderait  dans  le  tréfonds  de  l'inconscient,  et 
alors  cette  force  ne  pourrait  nous  être  connue  que 
par  les  actes  qu'elle  provoque  ;  et  ces  actes  ce  sont 
précisément  les  mouvements  dont  je  viens  de 
parler.  Le  sens_de  l'espace  se  réduit  donc  à  une 
association  constante  entre  certaines  sensations  et 
certains  mouvements,  ou  à  la  repré.sentation  de  ces 
mouvements.  (Est-il  besoin,  afin  d'éviter  une  équi- 
voque sans  cesse  renaissante,  malgré  mes  explica- 
tions réitérées,  de  répéter  une  fois  de  plus  que 
j'entends  par  là  non  la  représentation  de  ces  mou- 
vements dans  l'espace,  mais  la  représentation  des 
sensations  qui  les  accompagnent?) 

Pourquoi  maintenant  et  dans  quelle  mesure  l'es- 
pace est-il  relatif  ?  Il  est  clair  que  si  tous  les  objets 
qui  nous  entourent  et  notre  corps  lui-même,  ainsi 
que  nos  instruments  de  mesure  étaient  transportés 
dans  une  autre  région  de  l'espace,  sans  que  leurs 
distances  mutuelles  yarientj,  jipus  ne  nous  en  aper- 
cevrions pas,  et  ç'est^n  effet  ce  qui  arrive,  puiscjue 
nous  sommes  entraînés  sans  nous  en  douter  parle 
mouvement  de  la  Terre.  Si  les  objets  étaient  tous 
agrandis  dans  une  même  proportion,  et  qu'il  en  fût 
de  même  de  nos  instruments  de  mesure,  nous  ne 
nous  en  apercevrions  pas  davantage.  Ainsi  non  seu- 

4 


38  DERNIÈRES    PENSEES 

lement  nous  ne  pouvons  connaître  la  iK)sitioB_abso- 
lue  d'unjobjet  dans  l'espace,  de  sorte  que  ce  mot, 
«  position  absolue  d'un  objet  »,  n'a  aucun  sens  et 
;  qu'il  convient  de  parler  seulement  de  sa^j^qsition 
;  re^ative^par  rapport  à  d'autre^ objets;  mais  le  mot 
j  «  grandeur  absolue  d'un  objet  »,  «  distance  absolue 
dejleux_points  »,  n'a  aucun  sens;  on  doit  parler 
seulement  du  rapport  de  deux  grandeurs,  du  rapport 
de  deux  distances.  Mais  il  y  a  plus:  supposons  que 
tous  les  objets  soient  déformés  suivant  une  certaine 
loi,  plus  compliquée  que  les  précédentes,  suivant 
une  loi  tout  à  fait  quelconque  et  qu'en  même  temps 
nos  instruments  de  mesure  soient  déformés  suivant 
la  même  loi;  de  cela  non  plus  nous  ne  pourrions 
pas  nous  apercevoir,  de  sorte  que  l'espace  est  beau- 
coup plus  relatif  encore  qu'on  ne  le  croit  d'ordi- 
naire. Nous  ne  pouvons  nous  apercevoir  que  des 
modifications  de  forme  des  objets  qui  diffèrent  des 
modifications  simultanées  de  forme  de  nos  instru- 
ments de  mesure. 

Nos  instruments  de  mesure  sont  des  coi^g,  solides  ; 
ou  bien  ils  sont  formés  de  plusieurs  corps  solides 
mobiles  les  uns  par  rapport  aux  autres  et  dont  les 
déplacements  relatifs  nous  sont  indiqués  par  des 
repères  placés  ..sur_ces  corps,  par  des  index_se 
déplaçant  sur  des  échelles  graduées,  et  c'est  précir 
sèment  en  lisant  ces  indications  qu'on  se  sert-ëe, 
i'instrument.  Nous  savons  donc  si  notre  instrument 


L  ESPACE    ET    LE    TEMPS 


39 


s'est  oui  ou  non  déplacé  à  la  façon  d'un  solide 
invariable,  puisque  dans  ce  cas  les  indications  en 
question  n'ont  pas  changé.  Nos  instruments  com- 
portent aussi  des  lunettes  avec  lesquelles  nous  fai- 
sons des  visées,  de  sorte  qu'on  peut  dire  que  le 
rayon  lumineux  est  aussi  un  de  nos  instruments. 

Notre  intuition  de  l'espace  nous  en  apprendra- 
t-elle  davantage?  Nous  venons  de  voir  qu'elle  se 
réduit  à  une  association  constante  entre  certaines 
sensations  et  certains  mouvements.  C'est  di^e  que 
les  membres  avec  lesquels  nous  faisons  ces  mou- 
vements jouent  aussi  pour  ainsi  dire  le  rôle  d'ins- 
truments de  mesure.  Ces  instruments  qui  sont 
moins  précis  que  ceux  du  savant  nous  suffisent 
pour  la  vie  de  tous  les  jours,  et  c'est  avec  eux  que 
l'enfant,  que  l'homme  primitif,  a  mesuré  l'espace 
ou  pour  mieux  dire  s'est  construit  l'espace  dont  il 
se  contente  pour  les  besoins  de  sa  vie  quotidienne. 
Notre  corps  est  notre  premier  instrument  de  mesure: 
comme  les  autres,  il  se  compose  de  plusieurs  pièces 
solides  mobiles  les  unes  par  rapport  aux  autres,  et 
certaines  sensations  nous  avertissent  des  déplace- 
ments relatifs  de  ces  pièces,  de  sorte  que  comme 
dans  le  cas  des  instruments  artificiels,  nous  savons 
si  notre^îorps  s'est  oujjaa-^on^ déplacé  comme  un 
solide  invariable.  En  résumé,  nos  instruments, 
ceux  que  l'enfant  doit  à  la  nature,  ceux  que  le 
savant  doit  à  son  génie,  ont  comme  éléments  fon- 


40 


DERNIERES    PENSEES 


damentaux  le  corps  solide  et  le  rayon  lumineux. 

Dans  ces  conditions  l'espace  a-t-il  des  proj)riétés 
géométriques  indépendantes  des  instruments  qui 
servent  à  le  mesurer?  Il  peut,  avons-nous  dit,  subir 
une  déformation  quelconque  sans  que  rien  nous  en 
avertisse,  si  nos  instruments  la  subissent  égale- 
ment. En  réalité,  il  est  donc  amorphe,  il  est  une 
forme  flasque,  sans  rigidité,  qui  peut  s'appliquer  à 
tout;  il  n'a  pas  de  propriétés  à  lui  ;  faire  de  la  géo- 
métrie, c'est  étudier  les  propriétés  de  nos  instru- 
ments, c'est-à-dire  du  corps  solide. 

Mais  alors,  comme  nos  instruments  sont  impar- 
faits, la  géométrie  devrait  se  modifier  chaque  fois 
qu'ils  se  perfectionnent  ;  les  constructeurs  devraient 
pouvoir  mettre  sur  leurs  prospectus  :  «  Je  fournis  un 
espace  bien  supérieur  à  celui  de  mes  concurrents, 
beaucoup  plus  simple,  beaucoup  plus  commode, 
beaucoup  plus  confortable  ».  Nous  savons  qu'il  n'en 
est  pas  ainsi  ;  nous  serions  tentés  de  dire  que  la 
géométrie,  c'est  l'étude  des  propriétés  qu'auraient 
les  instruments  s'ils  étaient  parfaits.  Mais  pour  cela 
il  faudrait  savoir  ce  que  c'est  qu'un  instrument 
parfait,  et  nous  ne  le  savons  pas  puisqu'il  n'y  en  a 
pas,  et  que  nous  ne  pourrions  défmir  l'instrument 
idéal  que  par  la  géométrie,  ce  qui  est  un  cercle 
vicieux.  Et  alors  nous  dirons  que  la  géométrie  est 
l'étude  d'un  ensemble  de  lois  peu  dilîérentesje 
celles  auxquelles  obéissent  réellemejOLt  nos_instru- 


l'espace  et  le  temps  41 

ments,  mais  beaucoup  plus  simples,  de  lois  qui  ne 
régissent  efTeclivement  aucun  objet  naturel,  mais 
qui  sont  concevables  pour  l'esprit.  En  ce  sens,  la 
géométrie  est  une  convention,  une  sorte  de  cote  mal 
taillée  entre  notre  amour  de  la  simplicité  et  notre 
désir  de  ne  pas  trop  nous  écarter  de  ce  que  nous 
apprennent  nos  instruments.  Cette  convention  défi- 
nit à  la  fois  l'espace  et  l'instrument  parfait. 

Ce  que  nous  avons  dit  de  l'espace  s'applique 
au  temps  ;  je  ne  veux  pas  parler  ici  du  temps  tel 
que  le  conçoivent  les  disciples  de  Bej;gson,  de  cette 
durée  qui,  loin  d'êlre  une  pure  quantité  exempte 
de  toute  qualité,  est  pour  ainsi  dire  la  qualité 
même  et  dont  les  diverses_parties,  qui  d'ailleurs  se 
pénètrent  en  partie  mutuellement,  se  distinguent 
qualitativement  les  unes  des  autres.  Cette  durée 
ne  pouvait  être  un  instrument  pour  les  savants  ; 
elle  n'a  pu  jouer  ce  rôle  qu'en  subissant  une  trans- 
formation profonde,  qu'en  se  spatialisant,  comme 
dit  Bergson.  Il  a  fallu  en  effet  qu'elle  devint  mesu- 
rable  ;  ce  qui  ne  se  mesure  pas  n^  peut  être  objet 
de  science.  Or,  le  temps  mesurable  est  aussi  essen- 
tiellement relatif.  Si  tous  les  phénomènes  se  ralen- 
tissaient, et  s'il  en  létaîrde  même  de  la  marche  de 
nos  horloges,  nous  ne  nous  en  apercevrions  pas  ; 
et  cela  quelle  que  soit  la  loi  de  ce  ralentissement, 
pourvu  qu'elle  soit  la  même  pour  toutes  les  sortes  de 
phénomènes  et  pour  toutes  les  horloges.  Les  pro- 

4. 


42  DERNIÈRES    PENSÉES 

priétés  du  temps  ne  sont  donc  que  celles  des  hor- 
1  loges,  comme  les  propriétés  de  l'espace  ne  sont  que 
i  celles  des  instruments  de  mesure. 

Ce  n'est  pas  tout;   le  teni^_£Sj£hologique,   la 
durée  bergsonienne,  d'où  le  temps  du  savant  est 
sorti,  sert  à  classer  les  phénomènes  qui_se  passent 
dans  une  même    conscience  ;  il  est  impuissant  à 
classer  deux  phénomènes  psychologiques  qui  ont 
pour  théâtre  deux  consciences  difTérentes  ou  a  for- 
tiori deux  phénomènes  physiquesT  tlti^'énement 
se  passe  sur  la  Terre,  un  autre  sur  Sirius  ;  com- 
\^  ment  saurons-nous  si  le  premier  est  antérieur  au 
:    second,  ou  simultané,  ou  postérieur?  ce  ne4)0urra 
[|  être  que  par  une  convention^^______,— "-^''^ 

Mais  on  peut  envisagé?  la  relativité  dutemps  et 
de  resj)ace  à  un  point  de  vue  tout  différent.  Consi- 
dérons les  lois  auxquelles  le  monde  obéit  ;_elles 
peuvent  s'exprimer  par  des  équations  différen- 
tielles; nous  constatons  que  ces  équations  ne  sont 
pas  altérées,  si  l'on  change  les  axes  rectan^gulaires 
de  coordonnées,  ces  axes  restant  fixes  ;  rii  si  l'on 
change  l'origine  du  temps,  ni  si  l'on  remplace  les 
axes  rectangulaires  fixes  par  des,axesrectan^_uLairÊS 
mobiles,  mais  dont  le  mouVemenJ  esj,  une_traii&la:^ 
tion  rectiligne  et  uniforme.  Permettez-moi  d'appeler 
la  relativité  psychologique  si  elle  est  envisagée  au 
premier  point  de  vue  et  physùjue  si  elle  l'est  au 
second.  Vous  voyez  tout  de  suite  que  la  relativité 


l'espace  et  le  temps  43 

physique  est  beaucou£j)lusj^estreinte  que  la  relati- 
vité psychologique.  Nous  avons  dit  par  exemple  que 
rien  ne  serait  changé,  si  on  multipliait  toutes  les 
longueurs  par  une  même  constante,  pourvu  que  la 
multiplication  portât  à  la  fois  sur  tous  les  objets 
et  tous  les  instruments  ;  or,  si  nous  multiplions 
toutes  les  coordonnées  par  une  même  constante, 
il  est  possible  que  nos  équations  différentielles 
soient  altérées.  Elles  le  seraient  si  on  rapportait  le 
système  à  des  axes  mobiles  tournants  puisqu'il  fau- 
drait y  introduire  la  force  centrifuge  ordinaire  et  la 
force  centrifuge  composée  ;  c'est  ainsi  que  l'expé- 
rience de  Foucault  a  pu  mettre  en  évidence  la  rota- 
tion de  la  Terre.  Il  j^  a^là  quelque  chose  qui  choqua 
un  peu  nos  idées  sur  la  relativité  de  l'espace,  idées 
fondées  sur  la  relativité  psychologique  et  ce  désac- 
cord ajjaru  embarrassant  à  bien  des  philosophes. 
Examinons  la  question  d'un  peu  plus  près.  Toutes 
les  parties  du  monde  sont  solidaires  et  quelque  loin 
que  soit  Sirius,  il  n'est  sans  doute  pas  absolument 
sans  action  sur  ce  qui  se  passe  chez  nousr  Si  donc 
nous  voulons  écrire  les  équations  différentielles 
qui  régissent  le  monde^  ou  bien  ces  équations 
seront  inexactes,  ou  bien  elles  devront  dépendre  de 
l'état  du  monde  tout  entier.  Il  n'y  aura  pas  un  sys- 
tème d'équations  pour  le  monde  terrestre,  et  un 
autre  pour  le  monde  de  Sirius,  il  y  en  aura  un  seul 
qui  s'appliquera  à  tout  l'univers. 


44  DERNIÈRES    PENSÉES 

Or,  nous  n'observons  pas  directement  les  équa- 
tions différentielles  ;  ce  que  nous  observons,  ce 
sont  les  équations  finies  qui  sont  la  traduction 
immédiate  des  phénomènes  observables  et  d'où  les 
équations  différentielles  se  déduisent  par  différen- 
tiation.  Les  équations  différentielles  ne  sont  pas 
altérées  quand  on  fait  un  des  changements  d'axes 
dont  nous  avons  parlé,  mais  il  n'en  est  pas  de 
même  des  équations  finies  ;  le  changement  d'axes 
nous  obligerait  en  effet  à  changer  les  cons- 
tantes d'intégration.  Le  principe  de  relativité  ne 
s'applique  donc  pas  aux  équations  finies  direc- 
tement observées,  mais  aux  équations  différen- 
tielles. 

Or,  comment  peut-on  passer  des  équations  finies 
aux  équations  différentielles  dont  elles  sont  les  inté- 
grales? il  faut  connaître  plusieurs  intégrales  parti- 
culières différant  les  unes  des  autres  parles  valeurs 
attribuées  aux  constantes  d'intégration,  puis  éli- 
miner ces  constantes  par  différenîjation  ;  une  seule 
de  ces  solutions  est  réalisée  dans  la  nature,  bien 
qu'il  y  en  ait  une  infinité  de  possibles;  pour 
former  les  équations  différentielles,  il  faudrait  con- 
naître non  seulement  celle  qui  est  réalisée,  mais 
toutes  celles  qui  sont  possibles. 

Or,  si  nous  n'avons  qu'un  seul  système  dejois  s'ap- 
pliquant  à  tout  l'univers,  l'observation  ne  nous  don- 
nera qu'une  solution  unique,  celle  qui  est  réalisée; 


l'espace  et  le  temps  45 

car  l'univers  n'est  tiré  qu'à  un  seul  exemplaire  ;  et 
c'est  là  une  première  difficulté. 

De  plus,  en  vertu  de  la  relativité  psychologique 
de  J'espace,  nous  ne  pouvons  observer  que  ce  que 
nos  instruments  peuvent  mesurer;  ils  nous  donne- 
ront par  exemple  les  distances  des  astres,  ou  des 
diverscorps  que  nous  avons  à  considérer  ;  ils  ne  nous 
donneront  pas  leurs  coordonnées  par  rapport  à  des 
axes  fixes  ou  mobiles  qui  n'ont  qu'une  existence 
purement  conventionnelle.  Si  nos  équations  con- 
tiennent ces  coordonnées,  c'est  par  une  fiction  qui 
peut  être  commode,  mais  qui  n'est  qu'une  fiction  ; 
si  nous  voulons  que  nos  équations  traduisent  direc- 
tement ce  que  nous  observons,  il  faudra  que  les 
distances  figurent  parmi  nos  variables  indépen- 
dantes, et  alors  il  arrivera  que  les  autres  variables 
disparaîtront  d'elles-mêmes.  Ce  sera  là  notre  prin- 
cipe de  rélatiïité-r-iïîcrîs  il  n'a  plus  aucun  sens  ;  il 
signifie  seulement  que  nous  avions  introduit  dans 
nos  équations  des  variables  auxiliaires,  parasites, 
qui  ne  représentent  rien  de  tangible  et  qu'il  est 
possible  de  les  éliminer. 

Ces  difficultés  s'évanouiront  si  on  ne  tient  pas  à 
une  rigueur  absolue.  Les  diverses  parties  du  monde 
sont  solidaires,  mais  pour  peu  que  la  distance  soit 
grande,  l'action  est  si  faible  qu'on  est  en  droit  de 
la  nég^ljger  ;  et  alors  nos  équations  vont  se  répartir 
en  systèmes  séparés,  l'un  s'appliquant  au  monde 


46 


DERNIERES    PENSEES 


terrestre  seul,  l'autre  au  monde  solaire,  l'autre 
au  monde  de  Sirius,  ou  même  à  des  mondes 
beaucoup  plus  petits  tels  que  la  table  d'un  labo- 
ratoire. 

Et  alors  il  n'est  plus  vrai  dédire  que  l'univers  n'est 
tiré  qu'à  un  seul  exemplaire  ;  il  peut  y  avoir  beaucoup 
de  tables  dans  un  laboratoire;  il  sera  possible  de 
recommencer  une  expérience  en  en  faisant  varier 
les  conditions  ;  on  connaîtra  non  plus  une  solution 
unique,  la  seule  qui  soit  réalisée,  mais  un  grand 
nombre.de  solutioas possibles  et  il  deviendra  facile 
de  passer  des  équations  finies  aux  équations  diffé- 
rentielles. 

D'autre  part,  nous  connaîtrons  non  seulement 
les  distances  mutuelles  des  divers  corps  d'un  de  ces 
petits  mondes,  mais  leurs  distances  aux  corps  des 
petits  mondes  voisins.  Nous  pouvons  nous  arranger 
pour  que  les  secondes  seules  varient,  les  premières 
restant  constantes.  Ce  sera  alors  comme  si  nous 
avions  changé  les  axes  auxquels  le  premier  petit 
monde  était  rapporté.  Les  étoiles  sont  trop  loin 
pour  agir  sensiblement  sur  nptre  monde  terrestre, 
mais  nous  les  voyons,  et  grâce  à  elles  nous  pouvons 
rapporter  ce  monde  terrestre  à  des  axes  liés  à  ces 
étoiles  ;  nous  avons  le  moyen  de  mesurer  à  la  fois 
les  distances  mutuelles  des  corps  terrestres  et  les 
coordonnées  de  ces  corps  par  rapport  à  ce  système 
d'axes   qui  est  étranger  au  monde  terrestre.  Le 


i/espace  et  le  temi's  47 

principe  de  relativité  prend  ainsi  un  sens  :  il  devient 
véridable. 

Observons  toutefois  que  nous  n'avons  obtenu  ce 
résultat  qu'en  négligeant  certaines  actions  et  que 
cependant  nous  ne  considérons  pas  notre  principe 
comme  simplement  approché  ;  nous  lui  attribuons 
une  valeur  absolue  ;  voyant  en  effet  qu'lLxfiste  vrai 
quelque  éloignés  que  soient  nos  petits  mondes  les 
uns  des  autres,  nous  convenons  de  dire  qu'il  est  vrai 
pour  les  équations  exactes  de  l'univers  ;  et  cette  con- 
vention ne  sera  jamais  prise  en  défaut,  puisque,  ap- 
pliqué à  l'univers  entier,  le  principe  est  invérifiable. 

Revenons  maintenant  au  cas  dont  nous  avions 
parlé  tout  à  l'heure  ;  un  système  est  rapporté  tantôt 
à  des  axes  fixes,  tantôt  à  des  axes  tournants  ;  les 
équations  qui  le  régissent  vont-elles  changer?  Oui, 
répond  la  Mécaniçjue  ordinaire  ;  est-ce  exact?  Ce 
que  nous  observons  ce  ne  sont  pas  les  coordonnées 
des  corps,  ce  sont  leurs  distances  mutuelles  ;  nous 
pourrions  donc  chercher  à  former  les  équations 
auxquelles  obéissent  ces  distances,  en  éliminant 
les  autres  quantités,  qui  ne  sont  que  des  variables 
parasites  et  inaccessibles  à  l'observation.  Cette  éli- 
mination est  toujours  possible;  seulement,  si  nous 
avions  conservé  les  coordonnées,  nous  serions 
arrivés  à  des  équations  différentielles  du  2"^  ordre; 
celles  que  nous  obtiendrons  après  avoir  éliminé 
tout  ce  qui  n'est  pas  observable,  seront  au  coa- 


48 


DEUMERES    PENSEES 


traire  du  3*  ordre,  de  sorte  qu'elles  laisseront  place 
à  un  plus  grand  nombre  de  possibles.  A  ce  compte 
le  priafiipejle  relativité  s'appliquera  encore  à  ce 
cas  ;  quand  on  passera  des  axes  fixes  aux  axes 
tournants,  ces  équations  du  3°  ordre  ne  varieront 
pas.  Ce  qui  variera,  ce  seront  les  équations  du 
2*  ordre  qui  définissent  les  coordonnées  ;  or,  ces  der- 
nières sont  pour  ainsi  dire  des  intégrales  des  pre- 
mières, et  comme  dans  toutes  les  intégrales  des 
équations  différenlielles,  il  y  figure  une  constante 
d'intégration,  c'est  cette  constante  qui  ne  reste  pas 
la  même  quand  on  passe  des  axes  fixes  aux  axes 
tournants.  Mais,  conime-ROtrs-strppô^ons  notre^ys- 
tème  complètement  isolé  dans  l'espace,  que  nous 
le  regardons  comme  l'univers  entier,  nous  n'avons 
aucun  moyen  de  savoir  s'il  tourne;  ce  sont  donc 
bien  les  équations  du  3*  ordre  qui  expriment  ce  que 
nous  observons. 

Au  lieu  de  considérer  l'univers  entier,  envisa- 
geons maintenant  nos  petits  mondes  séparés  sans 
action  mécanique  les  uns  sur  les  autres,  mais 
visibles  les  uns  pour  les  autres;  si  l'un  de  ces 
mondes  tourne,  nous  verrons  alors  qu'il  tourne  ; 
nous  reconnaîtrons  que  la  valeur  que  l'on  doit  attri- 
buer à  la  cojîstante  dont  nous  venons  de  parler 
dépend  de  la  vitesse  de  rotation  et  c'est  ainsi  que 
se  trouvera  justifiée  la  convention  habituellemen*^ 
adoptée  par  les  mécaniciens. 


l'espace  et  le  temps  49 

On  A'oil  donc  quel  est  le  sens  du  principe  de  rela- 
tivité physique  ;  il  njest  plus  une  simple  convention  ; 
il  est  vérifiable  et  par  conséquent  il  pourrait  n'être 
pas  vérilié  ;  c'est  une  vérité  expérimentale,  et 
quel  est  le  sens  de  cette  vérité?  Il  est  aisé  de  le 
déduire  des  considérations  qui  précèdent;  il  signi- 
fie que  l'action. mutuelle  de  deux  corps  tend  vers 
zéro  quand  ces  deux  corps  s'éloignent  indéfini- 
ment l'un  de  l'autre  ;  il  signifie  que  deux  mondes 
éloignés  se  comportent  comme,  s'ils  étaient  indé- 
pendants ;  et  on  conçoit  mieux  pourquoi  le  prin- 
cipe de  relatiyitéjhysique  a  moins  d'extension  que 
le  principe  de  relativité  pathologique  ;  ce  n'est 
plus  une  nécessité  due  à  la  nature  même  de  notre 
esprit;  c'est  une  vérité  expérimentale  à  laquelle 
l'expérience  impose  des  limites. 

Ce  principe  de  relativité  physique  peut  servir  à 
définir  l'espace  ;  il  nous  fournit  pour  ainsi  dire  un 
nouvel  instrument  de  mesure.  Je  m'explique  :  com- 
ment  le  corps  solide  pouvait-il  nous  servir  à  mesu- 
rer, ou  plutôt" à  construire  l'espace?  En  transpor- 
tant un  corps  solide  d'une  position  dans  une  autre, 
nous  reconnaissions  qu'on  peut  l'appliquer  d'abord 
sur  une  jîgure  et  ensuite  sur  une^  autre  et  jipus 
convenions  de  considérer  ces  deux  figures  comme 
égales^  De  cette  convention  naissait  la  géométrie. 
A  chaque  déplacement  possible  du  corps  solide 
correspondait  ainsi  une  transformation  de  l'espace 


50  DERNIÈRES    PENSÉES 

en  lui-même,  n'altérant  pas  les  formes  et  les  gran- 
deurs des  figures;  et  la_geométrie.  n'est  que  la 
connaissance  des  relations  mutuelles  de  ces  trans- 
formations, ou  pour  parler  le  langage  mathéma- 
tique, l'étude  de  la  structure  du  groupe  formé 
par  ces  transformations,  c'est-à-dire  du  groupe  des 
mouvements  des  corps  solides. 

Cela  posé,  voici  un  autre  groupe,  celui  des  trans- 
formations  qui  n'altèrent  pas  nos  équations  difïé- 
rentielles,  voici  une  autre  façon  de  définir  l'égalité 
de  deux  figures;  nous  ne  dirons  plus  :  deux  figures 
sont  égales  quand  un  même  corps  solide  peut  s'ap- 
pliquer sur  l'une  et  sur  l'autre;  nous  dirons:  deux 
figures  sont  égales  quand  un  même  système 
mécanique,  assez  éloigné  des  systèmes  voisins  pour 
pouvoir  être  regardé  comme  isolé,  placé  d'abord 
de  façon  que  ses  différents  points  matériels  repro- 
duisent la  première  figure,  et  ensuite  de  façon 
qu'ils  reproduisent  la  seconde,  se  comportent 
ensuite  de  la  même  manière. 

Les  deux  conceptions  diiïèrent-elles  essentielle- 
ment l'une  de  l'autre?  Non;  un  corps  solide  prend 
sa  forme  sous  l'influence  des  attractions  et  ré£iiJ- 
sions  mutuelles  de  ses  différentes  molécules;  et  ce 
système  de  forces  doit  être  en  équilibre.  Définir 
l'espace  de  façon  qu'un  corps  solide  conserve  sa 
forme  quand  on  le  déplace,  c'est  le  définir  de  façon 
que  les  équations  d'équilibre  de  ce  corps  ne  soient 


l'espace  et  le  temps  51 

pas  altérées  par^un^j^angement^jd/axes  ;  or,  ces 
équations  d'équilibre  ne  sont  qu'un  cas  particulier 
des  équations  générales  de  la  Dynaniique,  lesquelles, 
d'après  le  principe  de  relativité  ^physique,  ne  doi- 
vent pas  être  modifiées  par  ce  changement  d'axes. 

Un  corps  solide  est  un  système  mécanique  comme 
un  autre  ;  la  seule  différence  entre  notre  ancienne 
définition  de  l'espace  et  la  nouvelle,  c'est  que  celle- 
ci  est  plus  large,  en  ce  sens  qu'elle  permet  de 
remplacer  le  corps  solide  par  tout  autre  système 
méaanique.  De  plus  la  convention  nouvelle  ne 
définit  pas  seulement  l'espace^  elle  définit  le  temps. 
Elle  nous  apprend  ce  que  c'est  que  deux  instants 
simultanés,  ce  que  c'est  que  deux  temps  égaux  ou 
qu'un  temps  double  d'un  autre. 

Une  dernière  remarque:  le^^princj^ede^ relativité 
physique,jiousJ^ons  dit,  est_un_Jjiitexpéri  men- 
tal, au  même;  titre  que  les  propriétés  des  solides 
naUirels  ;  comriîe~1:ei7^1^^susceptrbTë^(nîne  inces- 
sante révision  ;  et  la  géométrie  doit  échapper  à 
cette  revision;  pour  cela  il  faut  qu'elle  redevienne 
une  convention,  que  le  principe  de  relativité  soit  re- 
gardé comme  une  convention  ;  nous  avons  dit  quel 
est  son  sens  expérimental,  il  signifie  que  l'action 
mutuelle  de  deux  systèmes  très  éloignés  tend  vers 
zéro  quand  leur  distance  augmente  indéfiniment  ; 
l'expérience  nous  apprend  que  cela  est  à  peu  près 
vrai  ;  elle  ne  peut  nous  apprendre  que  cela  est  tout 


52  DERNIÈRES    PENSÉES 

à  fait  vrai,  puisque  la  distance  des  deux  systèmes 
demeurera  toujours  finie.  Mais  rien  ne  nous  empê- 
che de  supposer  que  cela  est  tout  à  fait  vrai  ;  rien 
ne  nous  en  empêcheraitmême  si  l'expérience  donnait 
au  principe  un  apparent  démenti;  supposons  que 
ractioji  mutuelle,  après  avoir  diminué  quand  nous  fai- 
sons croître  la  distance,  se  mette  ensuite  à  croître  ; 
rien  ne  nous  empêcherait  d'admettre  que  pour  une 
distance  plus  grande  encore,  elle  décroîtrait  de  nou- 
veau pour  tendre  finalement  vers  zéro.  Seulement 
alors  le  principe  se  présente  à  nous  comme  une 
convention,  ce  qui  le  soustrait  aux  alteintes^e 
l'expérience.  C'est  une  convention  qui  nous  est  sug- 
gérée par  l'expérience,  mais  que  nous  adoptons 
librement. 

Quelle  est  alors  la  révolution  qui  est  due  aux 
récents  progrès  de  la  Physique?  Le  principe  de 
relativité,  sous  sa  forme  ancienne,  a  dû  être  aban- 
donné, il  est  remplacé  par  le  principe  de  relativité 
de  Lorentz.  Ce  sont  les  transformations  du  «  grou^^e 
de  Lorentz  »  qui  n'altèrent  pas  les  équations  diffé- 
rentielles de  la  Dynamique.  Si  nous  supposons  que 
le  système  est  rapporté  non  plus  à  des  axes  fixes^ 
mais  à  des  axes  animés  d'un  mouvement  de  transla- 
tion, il  faut  admettre  que  tous  les  corps  se  défor- 
ment, qu'une  sphère,  par  exemple,  se  transforme 
en  un  ellipsoïde  dont  le  petit  axe  est  parallèle  à  la 
translation  desxajces  ;  il  faut  que  le  temps  lui-même 


l'espace  et  le  temps  53 

soit  profondément  modifié  ;  voilà  deux  observateurs, 
le  premier  lié  aux  axes  fixes,  le  second  aux  jixes 
mobUes,  mais  se  croyant  l'un  et  l'autre  en  repos. 
Non  seulement  telle  figure,  que  le  premier  regarde 
comme  une  sphère,  apparaîtra  au  second  comme 
un  ellipsoïde  ;  mais  deux  événements  que  le  pre- 
mier regardera  comme  simultanés  ne  le  seront  plus 
pour  le  second. 

TouJ^se^  passe  comme  si  le  temps  était  une  qua- 
trième dimension  de  l'espace;  et  comme  si  l'espac 
à  quatre  dimensions  résultant  de  la  combinaison 
de  l'espace  ordinaire  et  du  temps  pouvait  tourner 
non  seulement  autour  d'un  axe  de  l'espace  ordi- 
naire, de  façon  que  le  temps  ne  soit  pas  altéré, 
mais  autour  d'un  axe  quelconque.  Pour  que  la 
comparïisofl-soit-  math  éjnat|que  m  en  t  juste,  il  fau- 
drait attribuer  des  valeurs  purement  imaginaires  à 
cette  quatrième  coordonnée  de  l'espace;  les  quatre 
coordonnées  d'un  point  de  notre  nouvel  espace  ne 
seraient  pas  x,  ?/,z  et  t,  mais  x,  y,  z  et  ty/ — 1.  Mais 
je  n'insiste  j^  sur  ce  point  ;  l'essentiel  est  de  remar- 
quer que  dans  la  nouvelle  conception  l'espace  et 

temps  ne  sont  plus  deux  entités  entièrement  dis- 
tinctes et  que  l'on  puisse  envisagerséparément,  mais 
deux  parties  d'un  même  tout  et  deux  parties  qui 
sont  comme  étroitement  enlacées  de  façon  qu'on 
ne  puisse  plus  les  séparer  facilement. 

Autre  remarque  :  j'ai  cherché  autrefois  a  définir 

i 

I 


54  DERNIÈRES    PENSÉES 

le  rapport  de  deux  événements  survenus  dans  deux 
théâtres  différents  en  disant  que  l'un  sera  regardé 
comme  antérieur  à  l'autre  s'il  peut  être  considéré 
comme  la  cause  de  l'autre.  Cette  définition  devient 
insuffisante  ;  dans  cette  Méçanijjue_Nouvelle,  il  n'y 
a  pas  d'effet  qui  se  transmette  instantanément  ;  la 
vitesse  de  transmission  maximum  est  celle  de  la 
Lumière  ;  dans  ces  conditions  il  peut  arriver  que 
l'événement  A  ne  puisse  être  (en  vertu  de  la  seule 
considération  de  l'espace  et  du  temps)  ni  l'effet  ni 
la  cause  de  l'événement  5,  si  la  distance  des  lieux 
où  ils  se  produisent  est  telle  que  la  Lumière  ne 
puisse  se  transporter  en  temps  utile  ni  du  lieu 
de  B  au  lieu  de  A,  ni  du  lieu  de  A  au  lieu  de  B. 

Quelle  va  être  notre  position  en  face  de  ces  nou- 
velles conceptions?  Allons-nous  être  forcés  de 
modifier  nos  conclusions  ?  Non  cerles  :  nous  avions 
adopté  une  conventioîi  parce  qu'elle  nous  semblait 
commode,  et  nous  disions  que  rien  ne  pourrait 
nous  contraindre  à  l'abandonner.  Aujourd'hui  cer- 
tains physi_çiens  veulent  adopter  une  convention 
nouvelle.  Ce  n'est  pas  qu'ils  y  soient  contraints  ;  ils 
jugent  cette  convention  nouvelle  plus_j3ommode, 
voilà  tout  ;  et  ceux  qui  ne  sont  pas  de  cet  avis 
peuvent  légitimement  conserver  l'ancienne  pour 
ne  pas  troubler  leurs  vieilles  habitudes.  Je  crois, 
entre  nous,  aue  c'est  ce  qu'ils  feront  encore  long- 
temps. 


CHAPITRE   III 
POURQUOI  L'ESPACE  A  TROIS  DIMENSIONS 


CHAPITRE  111 
POURQUOI   L'ESPACE  A  TROIS  DIMENSIOKS 

§  1.  —  L'ANALYSIS  SITUS  ET  LE  CONTINU 

Les  géomèlres  distinguent  d'ordinaire  deux  sortes 
de  géométries,  qu'ils  qualifient  la  première  de 
métrique  et  la  seconde  de  projeclive;  la  géométrie 
métrique  est  fondée  sur  la  notion  de  distance  ; 
deux  figures  y  sont  regardées  comme  équivalentes, 
lorsqu'elles  sont  «  égales  »  au  sens  que  les  mathé- 
maticiens donnent  à  ce  mot  ;  la  géométrie  projective 
est  fondée  sur  la  notion  de  ligne  droite.  Pour  que 
deux  figures  y  soient  considérées  comme  équiva- 
lentes, il  n'est  pas  nécessaire  qu'elles  soient  égales, 
il  suffit  qu'on  puisse  passer  de  l'une  à  l'autre  par 
une  transformation  projective,  c'est-à-dire  que 
l'une  soit  la  perspective  de  l'autre.  On  a  souvent 
appelé  ce  second  corps  de  doctrine,  la  géométrie 
qualitative;  elle  l'est  en  effet  si  on  l'oppofe  à  la 
crémière,  il  est  clair  que  la  mesure,  que  la  quan- 


58 


DERNIERES    PENSEES 


lité  y  jouent  un  rôle  moins  important.  Elle  ne  l'est 
pas  entièrement  cependant.  Le  fait  pour  une  ligne 
d'être  droite  n'est  pas  purement  qualitatif;  on  ne 
pourrait  s'assurer  qu'une  ligne  est  droite  sans  faire 
des  mesures,  ou  sans  faire  glisser  sur  cette  ligne 
un  instrument  appelé  règle  qui  est  une  sorte  d'ins- 
trument de  mesure. 

Mais  il  est  une  troisième  géométrie  d'où  la  quan- 
tité est  complètement  bannie  et  qui  est  purement 
qualitative  ;  c'est  VAnalysis  Situs.  Dans  cette  dis- 
cipline, deux  figures  sont  équivalentes  toutes  les 
fois  qu'on  peut  passer  de  l'une  à  l'autre  par  une 
déformation  continue,  quelle  que  soit  d'ailleurs  la 
loi  de  cette  déformation  pourvu  qu'elle  respecte  la 
continuité.  Ainsi  un  cercle  est  équivalent  à  une 
ellipse  ou  même  à  une  courbe  fermée  quelconque, 
mais  elle  n'est  pas  équivalente  à  un  segment  de 
droite  parce  que  ce  segment  n'est  pas  fermé  ;  une 
sphère  est  équivalente  à  une  surface  convexe  quel- 
conque ;  elle  ne  l'est  pas  à  un  tore  parce  que  dans 
un  tore  il  y  a  un  trou  et  que  dans  une  sphère  il  n'y 
en  a  pas.  Supposons  un  modèle  quelconque  et  la 
copie  de  ce  même  modèle  exécutée  par  un  dessina- 
teur maladroit;  les  proportions  sont  altérées,  les 
droites  tracées  d'une  main  tremblante  ont  subi  de 
fâcheuses  déviations  et  présentent  des  courbures 
malencontreuses.  Du  point  de  vue  de  la  géométrie 
métrique,  de  celui  même  de  la  géométrie  projeclive, 


POURQUOI    l'espace    A    THGIS    DIMENSIONS  59 

les  deux  figures  ne  sont  pas  équivalentes  ;  elles  le 
sont  au  contraire  du  point  de  vue  de  l'Analysis 
Situs. 

L'Analysis  Situs  est  une  science  très  importante 
pour  le  géomètre  ;  elle  donne  lieu  à  une  série  de 
théorèmes,  aussi  bien  enchaînés  que  ceux  d'Euclide  ; 
et  c'est  sur  cet  ensemble  de  propositions  que 
Riemann  a  construit  une  des  théories  les  plus  remar- 
quables et  les  plus  abstraites  de  l'analyse  pure.  Je 
citerai  deux  de  ces  théorèmes  pour  en  faire  com- 
prendre la  nature  :  deux  courbes  fermées  planes  se 
coupent  en  un  nombre  pair  de  points  ;  si  un  polyèdre 
est  convexe,  c'est-à-dire  si  on  ne  peut  tracer  une 
courbe  fermée  sur  sa  surface  sans  la  couper  en 
deux,  le  nombre  des  arêtes  est  égal  à  celui  des 
sommets,  plus  celui  des  faces,  moins  deux  ;  et  cela 
reste  vrai  quand  les  faces  et  les  arêtes  de  ce 
polyèdre  sont  courbes. 

Et  voici  ce  qui  fait  pour  nous  l'intérêt  de  cette 
Analysis  Situs  ;  c'est  que  c'est  là  qu'intervient  vrai- 
ment l'intuition  géométrique.  Quand,  dans  un  théo- 
rème de  géométrie  métrique,  on  fait  appel  à  cette 
intuition,  c'est  parce  qu'il  est  impossible  d'étudier 
les  propriétés  métriques  d'une  figure  en  faisant 
abstraction  de  ses  propriétés  qualitatives,  c'est-à- 
dire  de  celles  qui  sont  l'objet  propre  de  l'Analysis 
Situs.  On  a  dit  souvent  que  la  géométrie  est  l'art 


60  DERNIÈRES    PENSÉES 

de  bien  raisonner  sur  des  figures  mal  faites.  Ce 
n'est  pas  là  une  boutade,  c'est  une  vérité  qui 
mérite  qu'on  y  réfléchisse.  Mais  qu'est-ce  qu'une 
figure  mal  faite?  c'est  celle  que  peut  exécuter  le 
dessinateur  maladroit  dont  nous  parlions  tout  à 
l'heure  ;  il  altère  les  proportions  plus  ou  moins 
grossièrement  ;  ses  lignes  droites  ont  des  zigzags 
inquiétants;  ses  cercles  présentent  des  bosses  dis- 
gracieuses ;  tout  cela  ne  fait  rien,  cela  ne  troublera 
nullement  le  géomètre,  cela  ne  l'empêchera  pas  de 
bien  raisonner. 

Mais  il  ne  faut  pas  que  l'artiste  inexpérimenté 
représente  une  courbe  fermée  par  une  courbe  ou- 
verte, trois  lignes  qui  se  coupent  en  un  même  point 
par  trois  lignes  qui  n'aient  aucun  point  commun,  une 
surface  trouée  par  une  surface  sans  trou.  Alors  on  ne 
pourrait  plus  se  servir  de  sa  figure  et  le  raisonnement 
deviendrait  impossible.  L'intuition  n'aurait  pas  été 
gênée  par  les  défauts  de  dessin  qui  n'intéressaient 
que  la  géométrie  métrique  ou  projective  ;  elle  devien- 
dra impossible  dès  que  ces  défauts  se  rapporteront 
à  l'Analysis  Situs. 

Cette  observation  très  simple  nous  montre  le 
véritable  rôle  de  l'intuition  géométrique;  c'est 
pour  favoriser  cette  intuition  que  le  géomètre  a 
besoin  de  dessiner  des  figures,  ou  tout  au  moins 
de  se  les  représenter  mentalement.  Or,  s'il  fait  bon 
marché  des  propriétés  métriques  ou  projectives  de 


POURQUOI    l'espace    A    TROIS    DIMENSIONS  61 

ces  figures,  s'il  s'attache  seulement  à  leurs  pro- 
priétés purement  qualitatives,  c'est  que  c'est  là 
seulement  que  l'intuition  géométrique  intervient 
véritablement.  Non  que  je  veuille  dire  que  la  géo- 
métrie métrique  repose  sur  la  logique  pure,  qu'il 
n'y  intervienne  aucune  vérité  intuitive  ;  mais  ce 
sont  des  intuitions  d'une  autre  nature,  analogues  à 
celles  qui  jouent  le  rôle  essentiel  en  arithmétique 
et  en  algèbre. 
,  La  proposition  fondamentale  de  l'Analysis  Situs, 
I  c'est  que  l'espace  est  un  continu  à  trois  dimensions. 
Quelle  est  l'origine  de  cette  proposition,  c'est  ce 
que  j'ai  examiné  ailleurs,  mais  d'une  façon  très 
succincte  et  il  ne  me  semble  pas  inutile  d'y  revenir 
avec  quelques  détails  afin  d'éclaircir  certains 
points. 

L'espace  est  relatif;  je  veux  dire  par  là,  non 
seulement  que  nous  pourrions  être  transportés 
dans  une  autre  région  de  l'espace  sans  nous  en 
apercevoir  (et  c'est  effectivement  ce  qui  arrive 
puisque  nous  ne  nous  apercevons  pas  de  la  transla- 
tion de  la  Terre),  non  seulement  que  toutes  les 
dimensions  des  objets  pourraient  être  augmentées 
dans  une  même  proportion,  sans  que  nous  puis- 
sions le  savoir,  pourvu  que  nos  instruments  de 
mesure  participent  à  cet  agrandissement  ;  mais  je 
veux  dire  encore  que  l'espace  pourrait  être  déformé 
suivant  une  loi  arbitraire  pourvu  aue  nos  inslru- 

6 


62  DERNIÈRES    PENSÉES 

meuts   de    mesure   soient    déformés    précisément 
d'après  la  même  loi. 

Cette  déformation  pourrait  être  quelconque,  elle 
devrait  cependant  être  continue,  c'est-à-dire  être  de 
celles  qui  transforment  une  figure  en  une  autre 
figure  équivalente  au  point  de  vue  de  l'Analysis 
Situs.  L'espace,  considéré  indépendamment  de  nos 
instruments  de  mesure,  n'a  donc  ni  propriété 
métrique,  ni  propriété  projective  ;  il  n'a  que 
des  propriétés  topologiques  (c'est-à-dire  de  celles 
qu'étudie  l'Analysis  Situs).  11  est  amorphe,  c'est-à- 
dire  qu'il  ne  diffère  pas  de  celui  qu'on  en  déduirait 
par  une  déformation  continue  quelconque.  Je  m'ex- 
plique en  employant  le  langage  mathématique. 
Voici  deux  espaces  E  et  E';  le  point  M  de  E  corres- 
pond au  point  M'  de  E';  le  point  M  a  pour  coor- 
données rectangulaires  x,y  et  z  ;  le  point  M'  a  pour 
coordonnées  rectangulaires  trois  fonctions  conti- 
nues quelconques  de  x,  d'y  et  de  z.  Ces  deux  espaces 
ne  diffèrent  pas  au  point  de  vue  qui  nous  occupe. 
Comment  l'intervention  de  nos  instruments  de 
■  mesure,  et  en  particulier  des  corps  solides  donne 
à  l'esprit  l'occasion  de  déterminer  et  d'organiser 
plus  complètement  cet  espace  amorphe  ;  comment 
elle  permet  à  la  géométrie  projective  d'y  tracer  un 
réseau  de  lignes  droites,  à  la  géométrie  métrique 
de  mesurer  les  distances  de  ces  points  ;  quel  rôle 
essentiel  joue  dans  ce  processus  la  notion  fonda- 


POURQUOI    l'espace    A    TROIS    DIMENSIONS  63 

mentale  de  groupe,  c'est  ce  que  j'ai  expliqué  lon- 
guement ailleurs.  Je  regarde  tous  ces  points  comme 
acquis  etje  n'ai  pas  à  y  revenir. 

Notre  seul  objet  ici  est  l'espace  amorphe  qu'étudie 
l'AnalysisSitus,  le  seul  espace  qui  soit  indépendant 
de  nos  instruments  de  mesure,  et  sa  propriété 
fondamentale,  j'allais  dire  sa  seule  propriété,  c'est 
d'être  un  continu  à  trois  dimensions. 


§  2.  —  LE  CONTINU  ET  LES  COUPURES 

Mais  qu'est-ce  qu'un  continu  à  n  dimensions;  en 
quoi  diffère-t-il  d'un  continu  dont  le  nombre  des 
dimensionsest  plus  grand  ou  plus  petit? Rappelons 
d'abord  quelques  résultats  obtenus  récemment  par 
les  élèves  de  Gantor.  Il  est  possible  de  faire  corres- 
pondre un  à  un  les  points  d'une  droite  à  ceux  d'un 
plan,  ou,  plus  généralement,  ceux  d'un  continu  à  n 
dimensions  à  ceux  d'un  continu  à  p  dimensions. 
Ceci  est  possible,  pourvu  qu'on  ne  s'astreigne  pas 
à  la  condition  qu'à  deux  points  infiniment  voisins 
de  la  droite  correspondent  deux  points  infiniment 
voisins  du  plan,  c'est-à-dire  à  la  condition  de  con- 
tinuité. 

On  peut  donc  déformer  le  plan  de  façon  à  obtenir 
une  droite,  pourvu  que  cette  déformation  ne  soit 
pascontinue.  Cela  serait  impossible  au  contraireavec 
une  déformation  continue.  Ainsi  la  question  du  nom- 


64 


DERNIERES    PENSEES 


bre  des  dimensions  est  intimement  liée  à  1  n  notion  de 
continuité  et  elle  n'aurait  aucun  sens  pour  celui  qui 
voudrait  faire  abstraction  de  cette  notion. 

Pour  définir  le  continu  à  n  dimensions,  nous 
avons  d'abord  la  définition  analytique;  un  continu 
à  n  dimensions  est  un  ensemble  de  n  coordonnées, 
c'est-à-dire  un  ensemble  de  n  quantités  suscep- 
tibles de  varier  indépendamment  l'une  de  l'autre  et 
de  prendre  toutes  les  valeurs  réelles  satisfaisant  à 
certaines  inégalités.  Cette  définition,  irréprochable 
au  point  de  vue  mathématique,  ne  saurait  pour- 
tant nous  satisfaire  entièrement.  Dans  un  continu 
les  diverses  coordonnées  ne  sont  pas  pour  ainsi 
dire  juxtaposées  les  unes  aux  autres,  elles  sont 
liées  entre  elles  de  façon  à  former  les  divers 
aspects  d'un  tout.  A  chaque  instant  en  étudiant 
l'espace,  nous  faisons  ce  qu'on  appelle  un  change- 
ment de  coordonnées,  par  exemple  nous  faisons  un 
changement  d'axes  rectangulaires;  ou  bien  nous 
passons  aux  coordonnées  curvilignes.  En  étudiant 
un  autre  continu,  nous  faisons  aussi  des  change- 
ments de  coordonnées,  c'est-à-dire  que  nous  rem- 
plaçons nos  n  coordonnées  par  n  fonctions  continues 
quelconques  de  ces  n  coordonnées.  Pour  nous  qui 
tirons  la  notion  du  continu  à  n  dimensions,  non  de 
la  définition  analytique  précitée,  mais  de  je  ne  sais 
quelle  source  plus  profonde,  cette  opération  est 
toute  naturelle;  nous  sentons  qu'elle  n'altère  pas 


POURQUOI    l'espace    A   TROIS    DIMENSIONS  65 

ce  qu'il  y  a  d'essentiel  dans  le  continu.  Pour  ceux, 
au  contraire,  qui  ne  connaîtraient  le  continu  que 
par  la  définition  analytique,  l'opération  serait  licite 
sans  doute,  mais  baroque  et  mal  justifiée. 

Enfin  cette  définition  fait  bon  marché  de  l'origine 
«ntuitive  de  la  notion  de  continu,  et  de  toutes  les 
richesses  que  recèle  cette  notion.  Elle  rentre  dans 
le  type  de  ces  définitions  qui  sont  devenues  si  fré- 
quentes dans  la  Mathématique,  depuis  qu'on  tend 
à  «  arilhmétiser  »  cette  science.  Ces  définitions, 
irréprochables,  nous  l'avons  dit,  au  point  de  vue 
mathématique,  ne  sauraient  satisfaire  le  philosophe. 
Elles  remplacent  l'objet  à  définir  et  la  notion  intui- 
tive de  cet  objet  par  une  construction  faite  avec 
des  matériaux  plus  simples  ;  on  voit  bien  alors 
qu'on  peut  effectivement  faire  cette  construction 
avec  ces  matériaux,  mais  on  voit  en  même  temps 
qu'on  pourrait  en  faire  tout  aussi  bien  beaucoup 
d'autres;  ce  qu'elle  ne  laisse  pas  voir  c'est  la 
raison  profonde  pour  laquelle  on  a  assemblé  ces 
matériaux  de  cette  façon  et  non  pas  d'une  autre. 

'  Je  ne  veux  pas  dire  que  cette  «  arithmétisation  » 
des  mathématiques  soit  une  mauvaise  chose,  je 

'  dis  qu'elle  n'est  pas  tout. 

Je  fonderai  la  détermination  du  nombre  des 
dimensions  sur  la  notion  de  coupure.  Envisageons 
d'abord  une  courbe  fermée,  c'est-à-dire  un  con- 
tinu à  une  dimension;  si,  sur  cette  courbe  nous 

6. 


66  DERNIÈRES    PENSÉES 

marquons  deux  points  quelconques  par  lesquels 
nous  nous  interdirons  de  passer,  la  courbe  se 
trouvera  découpée  en  deux  parties,  et  il  deviendra 
impossible  de  passer  de  l'une  à  l'autre  en  restant 
sur  la  courbe  et  sans  passer  par  les  points  inter- 
dits. Soit  au  contraire  une  surface  fermée,  consti- 
tuant un  continu  à  deux  dimensions  ;  nous  pour- 
rons marquer  sur  cette  surface,  un,  deux,  un 
nombre  quelconque  de  points  interdits  ;  la  surface 
ne  sera  pas  pour  cela  décomposée  en  deux  par- 
ties, il  restera  possible  d'aller  d'un  point  à  l'autre 
de  cette  surface  sans  rencontrer  d'obstacle,  parce 
qu'on  pourra  toujours  tourner  autour  des  points 
interdits. 

Mais  si  nous  traçons  sur  la  surface  une  ou  plu- 
sieurs courbes  fermées  et  si  nous  les  considérons 
comme  des  coupures  que  nous  nous  interdirons  de 
franchir,  la  surface  pourra  se  trouver  découpée  en 
plusieurs  parties. 

Venons  maintenant  au  cas  de  l'espace;  on  ne 
peut  le  décomposer  en  plusieurs  parties,  ni  en 
interdisant  de  passer  par  certains  points,  ni  en 
nterdisant  de  franchir  certaines  lignes  ;  on  pour- 
rait toujours  tourner  ces  obstacles,  il  faudra 
interdire  de  franchir  certaines  surfaces,  c'est-à- 
dire  certaines  coupures  à  deux  dimensions  ;  et 
c'est  pour  cela  que  nous  disons  que  l'espace  a 
trois  dimensions. 


POUBQUOl    l'espace    A   TROIS    DIMENSIONS  67 

Nous  savons  maintenant  ce  que  c'est  qu'un  con- 
tinu à  n  dimensions.  Un  continu  a  n  dimensions 
quand  on  peut  le  décomposer  en  plusieurs  parties 
en  y  pratiquant  une  ou  plusieurs  coupures  qui 
soient  elles-mêmes  des  continus  à  n-1  dimensions. 
Le  continu  à  n  dimensions  se  trouve  ainsi  défini 
par  le  continu  à  w-1  dimensions  ;  c'est  une  défini- 
tion par  récurrence. 

Ce  qui  me  donne  confiance  dans  cette  définition, 
ce  qui  me  montre  que  c'est  bien  ainsi  que  les  choses 
se  présentent  naturellement  à  l'esprit,  c'est  d'abord 
que  beaucoup  d'auteurs  de  traités  élémentaires, 
qui  n'y  entendaient  pas  malice,  ont  fait  au  début 
de  leurs  ouvrages  quelque  chose  d'analogue.  Ils 
définissent  les  volumes  comme  des  portions  de 
l'espace,  les  surfaces  comme  les  frontières  des 
volumes,  les  lignes  comme  celles  des  surfaces,  les 
points  comme  celles  des  lignes  ;  après  quoi  ils  s'ar- 
rêtent et  l'analogie  est  évidente.  C'est  ensuite  que 
dans  les  autres  parties  de  l'Analysis  Situs,  nous 
retrouvons  le  rôle  important  de  la  coupure  ;  c'est  sur 
la  coupure  que  tout  repose.  Qu'est-ce  qui,  d'après 
Riemann,  distingue,  par  exemple,  le  tore  de  la 
sphère?  c'est  qu'on  ne  peut  pas  tracer  i  ur  une  sphère 
une  courbe  fermée  sans  couper  cette,  surface  en 
deux;  tandis  qu'il  y  a  des  courbes  fermées  qui 
ne  coupent  pas  le  tore  en  deux,  et  qu'il  faut  y 
pratiquer  deux   coupures  fermées  n'ayant   aucun 


^8  DERNIÈRES    PENSÉES 

point  commun  pour  être  sûr  de  l'avoir  divisé. 
II  reste  encore  un  point  à  traiter.  Les  continus 
dont  nous  venons  de  parler  sont  des  continus 
mathématiques,  chacun  de  leurs  points  est  un 
individu  absolument  distinct  des  autres  et,  d'ail- 
leurs, absolument  indivisible.  Les  continus  que 
nous  révèlent  directement  nos  sens,  et  que  j'ai 
appelés  continus  physiques,  sont  tout  différents. 
La  loi  de  ces  continus  est  la  loi  de  Fechner,  que  je 
dépouillerai  du  pompeux  appareil  mathématique 
qui  l'entoure  d'ordinaire  pour  la  réduire  au  simple 
énoncé  des  données  expérimentales  sur  lesquelles 
elle  repose.  On  sait  distinguer  au  jugé  un  poids  de 
10  grammes  d'un  poids  de  12  grammes;  on  ne 
pourrait  distinguer  un  poids  de  11  grammes,  ni  de 
celui  de  10  grammes,  ni  de  celui  de  12  grammes. 
Plus  généralement  il  peut  y  avoir- deux  ensembles 
de  sensations  que  nous  distinguons  l'un  de  l'autre, 
sans  que  nous  puissions  distinguer  ni  l'un,  ni 
l'autre  d'un  même  troisième.  Cela  posé,  nous  pou- 
vons imaginer  une  chaîne' continue  d'ensembles  de 
sensations  de  telle  sorte  que  chacun  d'eux  ne  se 
distingue  pas  du  suivant,  bien  que  les  deux  extré- 
mités de  la  chaîne  se  discernent  aisément;  ce  sera 
là  un  continu  physique  à  une  dimension.  Nous 
pouvons  également  imaginer  des  continus  phy- 
siques plus  complexes.  Les  éléments  de  ces  con- 
tinus physiques  seront  encore  des  ensembles  de 


Fl>URQUOI    l'espace    A    TROIS    DIMENSIONS  tJ^ 

sensations  (mais  je  préfère  employer  le  mot  élé' 
ment  qui  est  plus  simple).  Quand  dirons-nous 
alors  qu'un  système  S  de  semblables  éléments 
est  un  continu  physique?  C'est  quand  on  peut 
considérer  deux  quelconques  de  ses  éléments 
comme  les  extrémités  d'une  chaîne  continue  ana- 
logue à  celle  dont  je  viens  de  parler  et  dont  tous 
Jes  éléments  appartiennent  à  S.  C'est  ainsi  qu'une 
surface  est  continue,  si  on  peut  joindre  deux 
quelconques  de  ses  points  par  une  ligne  continue 
qui  ne  sorte  pas  de  la  surface. 

Pouvons-nous  étendre  la  notion  de  coupure  aux 
continus  physiques  et  déterminer  par  là  le  nombre 
de  leurs  dimensions?  Évidemment  oui.  Supposons 
que  l'on  s'interdise  certains  éléments  de  S,  et  tous 
ceux  qu'on  n'en  peut  discerner.  Ces  éléments 
interdits  pourront  d'ailleurs  être  en  nombre  fini, 
ou  former  par  leur  réunion  un  ou  plusieurs  con- 
tinus. L'ensemble  de  ces  éléments  interdits  consti- 
tuera une  coupure;  et  il  pourra  se  faire  qu'après 
avoir  pratiqué  cette  coupure,  on  ait  partagé  le 
continu  S  en  plusieurs  autres,  de  façon  qu'il  ne 
soit  plus  possible  de  passer  d'un  élément  quel- 
conque de  S  à  un  autre  élément  quelconque  par 
une  chaîne  continue,  aucun  élément  de  cette 
chaîne  n'étant  indiscernable  d'aucun  élément  de 
la  coupure. 

Alors  un  continu  physique  que  l'on  peut  découper 


70  DERNIÈRES    PENSÉES 

ainsi  en  s'interdisant  un  nombre  fini  d'éléments 
aura  une  dimension;  un  conlina  physique  aura  n 
dimensions,  si  on  peut  le  découper  en  y  prati- 
quant des  coupures  qui  soient  elles-mêmes  des 
continus  physiques  à  n-1  dimensions. 

§  3.  -  L  ESPACE  ET  LES  SENS 

Là  question  semble  résolue;  nous  n'avons,  sem- 
ble-t-il,  qu'à  appliquer  cette  règle,  soit  au  continu 
physique  qui  est  l'image  grossière  de  l'espace,  soit 
au  continu  mathématique  correspondant  qui  en 
est  l'image  épurée  et  qui  est  l'espace  du  géomètre. 
/  C'est  là  une  illusion;  cela  irait  bien  si  le  continu 
physique  d'où  nous  tirons  l'espace  nous  était 
directement  donné  par  les  sens,  mais  il  est  loin 
d'en  être  ainsi. 

Voyons,  en  effet,  comment  on  peut,  de  la  masse 
de  nos  sensations,  déduire  un  continu  physique. 
Chaque  élément  d'un  continu  physique  est  un 
ensemble  de  sensations;  et  le  plus  simple  est  de 
considérer  d'abord  un  ensemble  de  sensations 
simultanées,  un  état  de  conscience.  Mais  chacun  de 
nos  états  de  conscience  est  quelque  chose  d'exces- 
sivement complexe,  si  bien  qu'on  ne  peut  espérer 
voir  jamais  deux  étals  de  conscience  devenir  indis- 
cernables et  cependant  pour  construire  un  continu 
physique,  il  est  essentiel,  d'après  ce  qui  précède, 


POURQUOI    l'espace    A    TROIS    DIMENSIONS  71 

que  deux  de  ses  éléments  puissent,  dans  certains 
cas,  être  regardés  comme  indiscernables.  Or,  il 
n'arrivera  jamais  que  nous  puissions  dire  :  je  ne 
puis  discerner  mon  état  d'âme  actuel  de  mon  état 
d'âme  d'avant-hier  à  pareille  heure. 

Il  faut  donc  que,  par  une  opération  active  de 
l'esprit,  nous  convenions  de  considérer  comme 
identiques  deux  états  de  conscience  en  faisant 
abstraction  de  leurs  différences.  Nous  pourrons, 
par  exemple,  et  c'est  le  plus  simple,  faire  abstrac- 
tion des  données  de  certains  sens.  J'ai  dit  que  je 
ne  pouvais  distinguer  un  poids  de  10  grammes  d'un 
poids  de  11  grammes;  il  est  probable  pourtant  que 
si  j'ai  jamais  fait  l'expérience,  la  sensation  de 
pression  causée  par  le  poids  de  10  grammes  était 
accompagnée  de  sensations  olfactives  ou  audi- 
tives diverses,  et  que  quand  le  poids  de  10  grammes 
a  été  remplacé  par  celui  de  11,  ces  sensations 
(liverses  avaient  varié;  c'est  parce  que  je  fais 
bstraction  de  ces  sensations  étrangères,  que  je 
puis  dire  que  les  deux  états  de  conscience  étaient 
indiscernables. 

On  peut  faire  d'autres  conventions  plus  compli- 
quées ;  on  peut  aussi  envisager  comme  éléments 
de  notre  continu,  non  seulement  des  ensembles 
de  sensations  simultanées,  mais  des  ensembles  de 
sensations  successives,  des  suites  de  sensations.  Il 
faudra  ensuite  faire  la  convention  fondamentale  et 


72 


DERNIERES    PENSEES 


dire  quels  sont  les  caractères  communs  que  doivent 
posséder  deux  éléments  du  continu  (qu'ils  soient 
deux  ensembles  de  sensations  simultanées  ou  suc- 
cessives), pour  qu'on  doive  les  regarder  comme 
identiques. 

Ainsi,  pour  la  définition  d'un  continu  physique, 
il  faut  faire  un  double  choix  :  1°  choisir  les 
ensembles  de  sensations  simultanées  ou  succes- 
sives qui  doivent  servir  d'éléments  à  ce  continu; 
2°  choisir  la  convention  fondamentale  qui  définira 
les  cas  où  deux  éléments  doivent  être  regardés 
comme  identiques. 

Comment  faut-il  faire  ce  double  choix  pour 
obtenir  l'espace?  Pouvons-nous  nous  contenter 
d'envisager  un  ensemble  de  sensations  simultanées 
ou  bien  faut-il  envisager  une  suite  de  sensations? 
Pouvons-nous,  en  particulier,  nous  contenter  de  la 
convention  fondamentale  la  plus  simple,  la  plus 
naturelle,  qui  consisterait  à  faire  abstraction  des 
données  de  certains  sens?  Non. 

Une  semblable  abstraction  est  impossible,  nous 
ne  pouvons  pas  choisir  parmi  nos  sens  ceux  qui 
nous  donneront  tout  l'espace  et  ne  nous  donneront 
que  cela;  il  n'en  est  pas  un  qui  puisse  nous  donner 
l'espace  sans  le  secours  des  autres  ;  il  n'en  est  pas 
un  non  plus  qui  ne  nous  donne  une  foule  de  choses 
qui  n'ont  rien  à  faire  avec  l'espace. 

Si  nous  analysons,  par  exemple,  les  données  du 


POURQUOI    l'espace    A   TROIS   DIMENSIONS  73 

toucher  proprement  dit,  voici  ce  que  nous  aper- 
cevons ;  l'expérience  nous  montre  que  si  l'on 
touche  la  peau  avec  deux  pointes,  la  conscience 
distingue  ces  deux  pointes  si  elles  sont  suffisam- 
ment éloignées  l'une  de  l'autre  et  cesse  de  les 
distinguer  si  elles  sont  très  rapprochées  ;  la  dis- 
tance minimum  qui  permet  de  les  discerner  varie 
d'ailleurs  suivant  les  régions  du  corps;  on  di 
d'ordinaire  que  la  peau  est  divisée  en  départe- 
ments, dont  chacun  est  le  domaine  d'un  même 
nerf  sensitif  ;  que  si  les  deux  pointes  tombent  dans 
un  même  déparlement,  un  seul  nerf  est  ébranlé 
et  nous  ne  percevons  qu'une  pointe;  mais  que 
nous  en  .percevons  deux  au  contraire  si  elles 
tombent  dans  deux  départements  et  affectent,  par 
conséquent,  deux  nerfs.  Cela  n'est  pas  entière^ 
ment  satisfaisant;  nous  ne  retrouverions  pas  ainsi 
les  caractères  du  continu  physique;  supposons 
que  l'on  déplace  les  deux  pointes,  leur  distance, 
d'ailleurs  très  petite,  étant  maintenue  constante. 
Cette  distance  étant  très  petite,  nous  aurons  des 
chances  pour  qu'elles  tombent  dans  le  même 
déparlement  et  pour  n'avoir  qu'une  perception 
unique;  mais  si  nous  les  déplaçons  petit  à  petit 
sans  changer  leur  distance,  il  devra  arriver  un 
moment  où  l'une  d'elles  se  trouvera  hors  du 
département  et  où  l'autre  n'en  sera  pas  encore 
sortie.    A    ce    moment    on    devrait    sentir    deux 

7 


74 


DERNIERES    PENSEES 


pointes;  or  ce  n'est  pas  ce  que  l'on  observe; 
nous  n'obtiendrions  pas  ainsi  la  notion  d'un  con- 
tinu physique,  mais  celle  d'un  ensemble  discret 
formé  d'autant  d'individus  distincts  qu'il  y  aurait 
de  départements.  11  vaut  mieux  admettre  que  le 
contact  d'une  pointe  affecte,  non  seulement  le  nerf 
le  plus  rapproché,  mais  aussi  les  nerfs  voisins,  et 
cela  avec  une  intensité  qui  décroît  quand  la  dis- 
tance augmente.  Supposons  alors  que  l'on  com- 
pare les  effets  du  contact  de  deux  pointes; 
si  la  distance  des  deux  pointes  est  faible,  les 
mêmes  nerfs  sont  affectés  ;  l'intensité  de  l'exci- 
tation d'un  même  nerf  par  l'une  et  par  l'autre 
pointe  sera  sans  doute  différente,  mais  cette  diffé- 
rence sera  trop  faible  pour  être  discernée,  d'après 
la  règle  générale  de  Fechner.  Si  un  nerf  est 
affecté  par  la  pointe  A,  sans  l'être  par  la  pointe  B, 
il  ne  le  sera  que  très  peu  par  la  pointe  A  et 
l'excitation  sera  au-dessous  du  «  seuil  de  la  cons- 
cience ».  Les  effets  des  deux  pointes  seront  donc 
indiscernables. 

Nous  avons  là  alors  tout  ce  qu'il  faut  pour  cons- 
truire un  continu  physique,  nous  n'avons  qu'à 
promener  deux  pointes  sur  la  surface  de  la  peau 
et  à  noter  les  cas  où  notre  conscience  les  dis- 
tingue. Nous  avons  fait  abstraction  (et  c'est  là  ce  que 
j'appelais  plus  haut  notre  convention  fondamen- 
tale) d'une  foule  de  circonstances,  de  l'intensité 


POURQUOI    l'espace    A    TROIS    DIMENSIONS  75 

de  l'ébranlement  de  chaque  filet  sensilif;  de  la 
pression  plus  ou  moins  grande  exercée  sur  la  [)eau 
par  la  pointe,  de  la  nature  du  contact;  toutes  ces 
circonstances  nous  sont  révélées  par  le  toucher, 
mais  nous  les  avons  éliminées  pour  ne  conserver 
que  celles  dont  le  caractère  est  géométrique. 
Avons-nous  ainsi  l'espace?  Non;  d'abord  le  con- 
tinu ainsi  construit  n'a  que  deux  dimensions, 
comme  la  surface  de  la  peau  elle-même;  ensuite 
nous  savons  bien  que  notre  peau  est  mobile, 
qu'un  même  point  de  la  peau  ne  correspond  pas 
toujours  à  un  même  point  de  l'espace;  que  la  dis- 
tance de  deux  points  de  notre  peau  varie  quand 
notre  corps  se  déforme.  C'est  sans  doute  ainsi 
que  les  mollusques  conçoivent  l'espace,  mais  cela 
n'a  aucun  rapport  avec  le  nôtre. 

Pour  la  vue,  c'est  la  même  chose;  deux  fais- 
ceaux de  lumière  frappant  deux  points  de  la 
rétine,  nous  donneront  l'impression  de  deux 
taches  lumineuses  ou  d'une  seule,  selon  que  ces 
deux  points  seront  plus  ou  moins  distants.  Nous 
avons  l'équivalent  de  nos  deux  pointes  de  tout  à 
l'heure;  nous  pouvons  nous  en  servir  pour  cons- 
truire un  continu  physique  en  faisant  abstraction 
de  la  couleur  et  de  l'intensité  de  la  lumière;  ce 
continu  physique  aura  deux  dimensions  comme  la 
surface  de  la  rétine.  On  introduira  la  troisième 
dimension  en  faisant  intervenir  la  convergence  des 


76  DERNIÈRES    PENSÉES 

yeux  dans  la  vision  binoculaire,  et  voilà  ce  que  l'on 
a  appelé  l'espace  visuel.  11  est  supérieur  à  l'espace 
tactile,  d'abord  parce  qu'avec  un  peu  de  bonne 
volonté,  on  peut  lui  donner  trois  dimensions,  et 
ensuite  parce  que  la  rétine  est  mobile  sans  doute, 
mais  à  la  façon  d'un  corps  solide,  tandis  que  la 
peau  peut  se  plier  dans  tous  les  sens.  On  est  alors 
tenté  de  dire  que  c'est  là  le  vrai  espace  où  nous 
cherchons  à  localiser  toutes  nos  autres  sensa- 
tions. Cela  ne  va  pas  encore;  non  seulement  l'œil 
est  mobile,  de  sorte  que,  à  un  même  point  de  la 
rétine,  à  un  même  degré  de  convergence  des 
yeux,  ne  correspond  pas  toujours  un  même  point 
de  l'espace;  mais  on  n'explique  pas  pourquoi 
on  a  introduit  une  troisième  dimension,  si  mani- 
festement hétérogène  aux  deux  autres,  ni  pour- 
quoi la  géométrie  des  aveugles  est  la  même 
que  la  nôtre. 

Si  l'on  veut  combiner  l'espace  visuel  avec  l'es- 
pace tactile,  on  va  avoir  5  di^îensions,  au  lieu 
de  3  ou  de  2  ;  et  il  restera  à  expliquer  par  quel 
processus  ces  5  dimensions  se  réduisent  à  3;  et  le 
nombre  des  dimensions  sera  encore  accru  si  l'on 
veut  faire  entrer  d'autres  sens  dans  la  combi- 
naison. 

Il  reste  à  expliquer  en  un  mot  pourquoi  l'espace 
tactile  et  l'espace  visuel  sont  un  seul  et  même 
espace. 


POunQuoi  l'esi'ace  a  trois  dimensions        77 

§  4.  —   L'ESPACE  ET  LES  MOUVEMENTS 

Il  semble  donc  qu'on  ne  puisse  construire  l'es- 
pace en  envisageant  des  ensembles  de  sensations 
simultanées,  qu'il  faut  considérer  des  suites  de 
sensations.  Il  faut  toujours  en  revenir  à  ce  que 
j'ai  dit  autrefois.  Pourquoi  certains  changements 
nous  apparaissent-ils  comme  des  changements  de 
position  et  d'autres  comme  des  changements 
d'état  sans  caractère  géométrique?  Pour  cela  nous 
devons  distinguer  d'abord  les  changements  externes 
qui  sont  involontaires  et  ne  sont  pas  accompagnés 
de  sensations  musculaires  et  les  changements 
internes  qui  sont  les  mouvements  de  notre  corps 
et  que  nous  distinguons  des  autres  parce  qu'ils 
sont  volontaires  et  accompagnés  de  sensations 
musculaires.  Un  changement  externe  peut  être 
corrigé  par  un  chargement  interne,  par  exemple 
quand  npus  suivons  de  l'œil  un  objet  mobile  de 
façon  à  ramener  toujours  son  image  en  un  même 
point  de  la  rétine.  Un  changement  externe  suscep- 
tible d'une  semblable  correction  est  un  change- 
ment de  position  ;  s'il  n'en  est  pas  susceptible,  il  est 
un  changement  d'état. 

Deux  changements  externes,  qui  au  point  de  vue 
qualitatif  sont  tout  à  fait  différents,  sont  regardés 
comme  correspondant  à  un  même  changement  de 
position  s'ils  peuvent  être  corrigés  par  un  même 

7. 


78 


DERMERES    PENSEES 


changement  interne.  De  même  deux  changements 
internes  peuvent  être  constitués  par  des  suites  de 
sensations  musculaires  qui  n'ont  rien  de  commun 
et  pourtant  correspondre  à  un  même  changement 
de  position,  s'ils  peuvent  corriger  un  même  chan- 
gement externe.  C'est  ce  que  nous  exprimons  dans 
le  langage  ordinaire  en  disant  qu'il  y  a  plusieurs 
chemins  pour  aller  d'un  point  à  un  autre. 

Ce  qui  importe  alors,  ce  sont  les  mouvements 
qu'il  faut  faire  pour  atteindre  un  objet  déterminé,  la 
conscience  de  ces  mouvements  n'étant  pas  autre 
chose  pour  nous  que  l'ensemble  des  sensations 
musculaires  qui  les  accompagnent. 

•  Cela  posé,  un  certain  objet  se  trouve  au  contact 
d'un  de  mes  doigts,  par  exemple  de  l'index  de  la 
main  droite;  j'éprouve  de  ce  fait  une  sensation 
tactile  ï  ;  je  reçois  en  même  temps  de  cet  objet 
les  sensations  visuelles  V;  l'objet  s'éloigne,  la 
sensation  T  s'évanouit,  les  sensations  V  sont  rem- 
placées par  les  sensations  visuelles  nouvelles  V; 
c'est  là  un  changement  externe.  Je  veux  corriger 
en  partie  ce  changement  externe  en  rétablissant 
la  sensation  T,  c'est-à-dire  ramener  mon  index  au 
contact  de  l'objet.  Pour  cela  je  dois  exécuter  cer- 
tains mouvements  qui  se  traduisent  pour  moi  par 
une  certaine  suite  de  sensations  musculaires  S  ; 
cela  je  le  sais,  parce  que  de  nombreuses  expé- 
riences faites,  soit  par  moi-même,  soit  par  mes 


POURQUOI    l'espace    A   TROIS    DIMENSIONS  79 

ancêtres,  m'ont  appris  que  quand  la  sensation  T 
disparaissait,  et  que  les  sensations  visuelles  pas- 
saient de  V  à  V,  on  pouvait  rétablir  la  sensation  T 
par  les  mouvements  correspondant  à  la  suite  S. 
Je  sais  également  que  j'aurais  pu  obtenir  le  même 
résultat  par  d'autres  mouvements  se  traduisan 
pour  moi,  non  plus  par  la  suite  S,  mais  par  une 
autre  suite  S'  ou  S". 

Toutes  ces  suites  de  sensations  musculaires 
S,  S',  S",...  n'ont  peut-être  aucun  élément  commun, 
je  les  rapproche  parce  que  je  sais  que  les  unes  et 
les  autres  me  permettent  de  rétablir  la  sensation  T 
toutes  les  fois  que  les  sensations  V  sont  devenues  V. 
Dans  notre  langage  habituel,  à  nous  qui  savons  déjà 
la  géométrie,  nous  dirons  que  les  diverses  suites 
de  mouvements  qui  correspondent  aux  suites  de 
sensations  musculaires  S,  S',  S",  ont  ceci  de  com- 
mun que,  dans  les  unes  comme  dans  les  autres,  la 
position  iniliale,  ainsi  que  la  position  finale  de 
mon  index  reste  la  même.  Tout  le  reste  peut  dif- 
férer. 

Je  suis  ainsi  conduit  à  ne  pas  distinguer  ces 
diverses  suites  S,  S', S'...,  à  les  regarder  comme 
un  individu  unique.  Je  n'en  distinguerai  pas  non 
plus  les  suites  de  sensations  musculaires  qui  en 
diffèrent  trop  peu.  J'aurai  alors  de  quoi  oonstruire 
un  continu  physique  et  j'ai,  en  effet,  choisi  les  élé- 
ments de  ce  continu  qui  sont  des  suites  de  sensa 


80 


DERNIÈRES    PENSEES 


lions  musculaires  et  je  possède  la  «  convention 
fondamentale  »  qui  m'apprend  dans  quels  cas  deux 
de  ces  éléments  doivent  être  regardés  comme  iden- 
tiques et  c'est  ce  continv  qui  a  trois  dimensions. 

Mais  ce  n'est  pas  tout,  nous  venons  de  définir  ua 
continu  qui  est  un  véritable  espace;  c'est  l'espace 
considéré  comme  décrit  par  un  de  mes  doigts  ; 
mais  j'ai  plusieurs  doigts  (et  au  point  de  vue  qui 
m'occupe,  tous  les  points  de  ma  peau  pourraient 
me  servir  de  doigts).  Mes  différents  doigts  vont-ils 
décrire  le  même  espace?  Oui,  sans  doute,  mais 
qu'est-ce  que  cela  veut  dire  ?  Cela  implique  un 
ensemble  de  propriétés  qu'il  ne  serait  pas  aisé 
d'énoncer  dans  le  langage  ordinaire,  mais  que  je 
puis  tenter  d'expliquer  si  on  veut  bien  me  permet- 
tre d'employer  certains  symboles.  Je  considère 
deux  doigts  que  j'appellerai  a  Qt^;  le  doigt  a  sera, 
par  exemple,  l'index  de  la  main  droite  dont  nous 
nous  sommes  servis  pour  définir  les  suites 
S,  S',S"j.">  nous  écrirons  alors  : 

S  =  S'  (moda) 

et  cela  voudra  dire  que  si  les  mouvements  corres- 
pondant à  S  rétablissent  la  sensation  laclile  éprou- 
vée par  le  doigt  a,  il  en  sera  de  même  des  mouve- 
ments correspondant  à  S'  et  inversement.  J'écrirai 
de  même 

Si  =  S\  (modp) 


POURQUOI    l'espace    A    TROIS    DIMENSIONS  81 

pour  exprimer  que  si  les  mouvements  correspon- 
dant à  S^  rétablissent  la  sensation  tactile  éprouvée 
par  le  doigt  {i,  il  en  sera  de  même  des  mouvements 
correspondant  à  S'^. 

Cela  posé,  je  suppose  qu'il  existe  deux  suites 
particulières  de  sensations  musculaires  s  et  s^  qui 
seront  définies  de  la  façon  suivante  :  je  suppose 
que  le  doigt  |3  éprouve  une  sensation  tactile  due  au 
contact  d'un  objet  ;  faisons  les  mouvements  cor- 
respondant à  s,  cette  sensation  disparaîtra,  mais, 
finalement,  ce  sera  le  doigt  a  qui  éprouvera  une 
sensation  de  contact;  je  sais  par  expérience  que 
cela  arrivera  toutes  les  fois  qu'avant  ces  mouve- 
ments, le  doigt  (i  sentait  un  contact;  ou  du  moins 
presque  toutes  les  fois  (je  dis  presque,  parce  que 
cela  exige  pour  réussir  que  l'objet  n'ait  pas  bougé 
dans  l'intervalle)  .dans  notre  langage  ordinaire 
(qui  serait  plus  clair  pour  nous,  mais  que  je  n'ose 
pas  employer  puisque  je  parle  d'êtres  qui  ne  savent 
pas  encore  la  géométrie),  nous  dirions  que  les 
mouvements  correspondant  à  s  ont  amené  le  doigt 
a  à  la  place  primitivement  occupée  par  le  doigt  p. 
Pour  5^,  ce  sera  le  contraire,  les  mouvements  cor- 
respondants amènent  le  doigt  p  à  la  place  primiliv£!- 
ment  occupée  par  le  doigt  a. 

Si  ces  deux  suites  s  et  s^  existent,  la  relation 

S=S'  (mod  a 


S2  DERNIÈRES    PENSÉES 

entraînera  comme  conséquence  la  relation  : 

5  +  S  +  5^=s  +  S'  +  ^,  (mod  p) 

e'est  ce  dont  on  se  convainc  immédiatement  si  l'on 
se  rappelle  le  sens  de  ces  symboles  et  on  en  dédui- 
rait sans  peine  que  les  deux  espaces,  engendrés 
par  a  et  par  3,  sont  isomorphes  et,  en  particulier, 
qu'ils  ont  le  même  nombre  de  dimensions. 

Il  n'en  serait  plus  de  même  si  les  suites  s  et  s^ 
n'existaient  pas.  Supposons,  en  effet,  qu'on  ne 
puisse  trouver  une  suite  de  mouvements  telle  qu'à 
une  sensation  de  contact  du  doigt  p  avec  un  objet, 
elle  fasse  succéder  une  sensation  de  contact  du 
doigt  a  avec  ce  même  objet,  et  cela  sinon  à  coup 
sûr,  du  moins  presque  à  coup  sûr,  comment  alors 
raisonnerions-nous  ?  Nous  dirions  que  le  doigt  |l 
sent  l'objet  sans  être  au  même  point  de  l'espace, 
qu'il  le  sent  à  distance  ;  autrement,  toutes  les  fois  que 
le  doigt  p  sentirait  l'objet,  c'est  qu'if  serait  en  un 
même  point  A  de  l'espace  ;  alors  il  devrait  y  avoir 
une  suite  de  mouvements  qui  amèneraient  le  doigta 
au  point  A  ;  et  comme  l'objet  est  au  point  A,  le 
doigt  a  devrait  sentir  l'objet  et  cela  devrait  réussir 
toujours.  Si  nous  supposons  donc  qu'il  n'y  ait  pas 
•de  suite  de  mouvements  jouissant  de  cette  propriété, 
il  faut  admettre  que  le  doigt  S  sent  le  contact  à  dis- 
tance, c'est-à-dire  que  le  fait  d'être  senti  par  ce 
•doigt  ne  suffit  pas  pour  déterminer  la  position  de 


POURQUOI    l'espace    A    TROIS    DIMENSIONS  83 

l'objet  dans  l'espace,  c'est-à-dire  enfin,  que  l'espace 
doit  posséder  plus  de  dimensions  que  le  continu 
physique  engendré  par  le  doigt  p  de  la  façon  que 
nous  avons  dite. 

Je  suppose  par  exemple  que  l'espace  ait  quatre 
dimensions,  et  je  désigne  par  x,  y,  z,  t  les  quatre 
coordonnées  ;  je  suppose  que  le  doigt  |3  ressente  le 
contact  de  l'objet,  toutes  les  fois  que  les  3  coor- 
données X,  y,  z  sont  les  mêmes  pour  le  doigt  et 
l'objet,  quelle  que  soit  d'ailleurs  la  quatrième  coor- 
donnée ;  et  d'autre  part  que  le  doigt  a  ressente  le 
contact  de  l'objet,  toutes  les  fois  que  les  3  coor- 
données X,  y,  t  sont  les  mêmes  pour  l'objet  et  ce 
doigt,  quelle  que  soit  d'ailleurs  la  coordonnée  z.  Dans 
ces  conditions,  appliquons  nos  règles  pour  la  cons- 
truction du  continu  physique  engendré  par  p  ;  nous 
lui  trouverons  3  dimensions  seulement,  qui  corres- 
pondront aux  trois  coordonnées  x,  y,  z,  la  coor- 
donnée /  nejouant  aucun  rôle.  De  même  le  continu 
physique  engendré  par  a  aurait  3  dimensions  cor- 
respondant à  X,  y  et  t.  Mais  nous  ne  pourrions 
trouver  une  suite  de  mouvements  correspondant  à 
une  suite  de  sensations  musculaires  s,  telle  que  la 
sensation  de  conlact  pour  a  succède,  à  coup  sûr,  à 
la  sensatioi!  de  contact  pour  p. 

Soient  en  ellVl,  x^,  j/^,  z^,  fj  les  coordonnées  de 
l'objet,  Xq,  (/(,,  :^,  <Q  celles  du  doigt  p  avant  le  mou- 
vement ;  x-'q,  y'o,  z'q,  I'q  celles  du   doigt  «  après  le 


84  DERNIÈRES    PENSÉES 

mouvement.  Nous  exprimerons  que  le  doigt  'i 
ressent  le  contact  avant  le  mouvement  en  écri- 
vant : 

(1)  XQ=x^,yQ=y^,ZQ  =  z^. 

nous  exprimerons  que  a  ressent  le  contact  après  le 
mouvement  en  écrivant  : 

Pour  que  5  existât,  il  faudrait  que  nous  puissions 
choisir  a-Q,  yo,  Zq,  t^  ;  x'^,  y'^,  z'^,  I'q  de  telle  façon 
que  les  relations  (1)  entraînassent  les  relations  (2) 
quelles  que  fussent  d'ailleurs  x^,  i/,,  :,,  t^.  Il  est 
clair  que  cela  est  impossible.  C'est  précisément 
l'impossibilité  de  former  s  qui  nous  révélerait  en 
pareil  cas  que  l'espace  aurait  4  dimensions  et  non 
pas  3  comme  le  continu  physique  engendré  par  [5. 

Et  d'ailleurs  nous  observons  effectivement  quel- 
que chose  d'analogue  si  nous  faisons  intervenir  le 
sens  de  la  vue.  Considérons  un  point  de  la  rétine, 
nous  pouvons  lui  faire  jouer  le  même  rôle  qu'à  nos 
doigts  a  ou  p.  Nous  pouvons  considérer  la  suite  de 
mouvements  nécessaires  pour  ramener  l'image  d'un 
objet  en  ce  point  y  de  la  rétine,  ou  la  suite  corres- 
pondante S  de  sensations  musculaires  ;  nous  pouvons 
nous  servir  de  cette  suite  pour  définir  un  continu 
physique  analogue  à  celui  qui  était  engendré  par  « 
ou  par  p.  Ce  continu  n'aura  que  deux  dimensions. 


pounyuoi  l  espace  a  trois  dimensions 


85 


Mais  nous  ne  pouvons  construire  une  suite  analo- 
gue as,  c'est-à-dire  une  suite  de  mouvements  faisant 
succéder  à  coup  sûr,  à  la  sensation  visuelle  ressentie 
au  point  yla  sensation  tactile  ressentie  surle  doigt  a. 
En  d'autres  termes,  il  ne  suffit  pas  que  nous  cons- 
tations que  l'image  de  l'objet  se  fait  en  y,  pour  que 
nous  puissions  déterminer  les  mouvements  néces^ 
saires  pour  amener  notre  doigt  au  contact  de  cet 
objet;  il  nous  manque  une  donnée  qui  est  la  dis^ 
tance  de  l'objet.  Et  c'est  pourquoi  nous  disons  que 
la  vue  s'exerce  à  distance,  et  que  l'espace  a  trois 
dimensions,  une  de  plus  que  le  continu  engendré 
par  y. 

Nous  voyons  par  ce  rapide  exposé  quels  sont  les 
faits  expérimentaux  qui  nous  ont  conduits  à  attri- 
buer trois  dimensions  à  l'espace.  En  présence  de 
ces  faits,  il  nous  était  plus  commode  de  lui  en 
attribuer  trois  que  quatre  ou  que  deux;  mais  ce 
mot  de  commode  n'est  peut-être  pas  ici  assez  fort; 
un  être  qui  aurait  attribué  à  l'espace  deux  ou 
quatre  dimensions  se  serait  trouvé  dans  un  monde 
fait  comme  le  nôtre,  en  état  d'infériorité  dans  la 
lutte  pour  la  vie;  qu'est-ce  à  dire  en  effet?  qu'on 
me  permette  de  reprendre  mes  symboles  et,  par 
exemple,  les  congruences 

S  =  S'(moda) 

dont  j'ai  expliqué  plus  haut  le  sens.  Attribuer  deux 

8 


86  DEBMÈRES    PENSÉES 

dimensions  à  l'espace,  ce  serait  admettre  de  pareilles 
congruences  que,  nous  autres,  nous  n'admettons 
pas;  on  serait  alors  exposé  à  substituer  aux  mou- 
vements S  qui  réussissent  les  mouvements  S'  qui 
ne  réussiraient  pas.  Lui  attribuer  quatre  dimen- 
sions, ce  serait,  au  contraire,  rejeter  des  con- 
gruences, que  nous  autres,  admettons  ;  on  se 
priverait  alors  de  la  possibilité  de  substituer  aux 
mouvements  S  d'autres  mouvements  S'  qui  réus- 
siraient tout  aussi  bien  et  qui  pourraient  présen- 
ter, dans  certaines  circonstances,  des  avantages 
particuliers. 

§  5.  — L'ESPACE  ET  LA  NATURE 

Mais  la  question  peut  être  posée  à  un  tout  autre 
point  de  vue.  Nous  nous  sommes  placés  jusqu'ici  à 
un  point  de  vue  purement  subjectif,  purement 
psychologique  ou,  si  l'on  veut,  physiologique  ; 
nous  n'avons  envisagé  que  les  rapports  de  l'espace 
avec  nos  sens.  On  pourrait  se  placer,  au  contraire, 
au  point  de  vue  de  la  physique  et  se  demander  s'il 
serait  possible  de  localiser  les  phénomènes  naturels 
dans  un  espace  autre  que  le  nôtre  et,  par  exemple, 
dans  un  espace  à  deux  ou  à  quatre  dimensions.  Les- 
lois  que  nous  révèle  la  physique  s'expriment  par 
des  équations  différentielles,  et  dans  ces  équations 
figurent  les  trois  coordonnées  de  certains  points 
matériels.  Est-il  impossible  d'exprimer  les  mêmes 


POURQUOI    l'espace    A    TROIS    DIMENSIONS  87 

lois  par  d'autres  équations  où  figureraient,  cette 
fois,  d'autres  points  matériels  ayant  quatre  coor- 
données? Ou  bien  cela  serait-il  possible,  mais  les 
équations  ainsi  obtenues  seraient-elles  moins  sim- 
ples ?  Ou  bien  enfin,  seraient-elles  tout  aussi  sim- 
ples et  les  rejetterions-nous  simplement  parce 
qu'elles  choquent  nos  habitudes  d'esprit? 

Que  voulons-nous  dire  quand  nous  parlons  d'ex- 
primer les  mêmes  lois  par  d'autres  équations?  Sup- 
posons f^eux  mondes  M  et  M';  nous  pouvons  établir 
entre  les  phénomènes  qui  se  passent  ou  qui  pour- 
raient se  passer  dans  ces  deux  mondes,  une  corres- 
pondance telle  qu'à  tout  phénomène  <I>  du  premier 
corresponde  un  phénomène  parfaitement  déter- 
miné <î>'  de  l'autre  qui  en  soit  pour  ainsi  dire  l'image. 
Alors,  si  je  suppose  que  l'effet  nécessaire  du  phé- 
nomène <î>,  en  vertu  des  lois  qui  régissent  le  monde  M 
soit  un  certain  phénomène  <I>j,  et  que  l'effet  néces- 
saire du  phénomène  $',  image  de  <I>,  en  vertu  des 
lois  qui  régissent  le  monde  M',  soit  précisément 
l'image  ^\,  du  phénomène  ^^,  nous  pourrons  dire 
que  les  deux  mondes  obéissent  aux  mêmes  lois. 
Peu  nous  importe  la  nature  qualitative  des  phé- 
nomènes $  et  $',  il  nous  suffit  que  le  «  parallélisme  » 
soit  possible. 

Et,  en  effet,  cette  nature  qualitative  des  phéno- 
mènes n'intéresse  que  nos  sens,  et  nous  sommes 
convenus  de  nous  placer  à  un  point  de  vue  extra- 


88  DEHNIÈRES    PENSÉES 

psychologique,  de  faire  abstraction,  par  conséquent, 
des  données  des  sens  et  de  ne  faire  attention 
qu'aux  rapports  mutuels  des  phénomènes.  C'est  là, 
en  effet,  ce  que  fait  le  physicien  quand  il  substitue, 
par  exemple,  aux  gaz  que  nous  révèle  l'expérience, 
et  qui  nous  procurent  des  sensations  de  pression  et 
de  chaleur,  les  gaz  de  la  théorie  cinétique,  où  l'on 
ne  voit  plus  que  des  points  matériels  en  mouvement, 
ou  bien  à  la  lumière  de  l'expérience,  et  aux  sensa- 
tions colorées  qu'elle  engendre,  les  vibrations  du 
milieu  éthéré. 

Il  nous  suffira  de  considérer  un  cas  simple,  celui 
des  phénomènes  astronomiques  et  de  la  loi  de 
Newton.  Ce  que  nous  observons,  ce  ne  sont  pas 
les  coordonnées  des  astres,  mais  seulement  leurs 
distances;  l'expression  naturelle  des  lois  de  leurs 
mouvements,  ce  sont  donc  des  équations  différen- 
tielles entre  ces  distances  et  le  temps.  Maintenant 
la  distance  de  deux  points  de  l'espace  est  une  fonc- 
tion connue  et  simple  des  coordonnées,  de  ces  deux 
points.  Transformons  nos  équations  différentielles 
en  y  substituant  cette  fonction  à  la  place  de  chaque 
distance;  nous  aurons  alors  ces  équations  sous 
leur  forme  habituelle,  forme  où  figurent  les  coor- 
données mêmes  des  astres. 

Mais  nous  aurions  pu  remplacer  ces  distances 
par  d'autres  fonctions  et  nous  aurions  obtenu  ainsi 
d'autres  formes  de  ces  équations  ;  toutes  ces  formes 


POURQUOI    l'espace    A    TROIS    DIMENSIONS  89 

auraient  été  également  légitimes  au  point  de  vue 
qui  nous  occupe,  puisqu'elles  auraient  respecté  le 
«  parallélisme  »  entre  les  phénomènes.  Représen- 
tons-nous les  astres  comme  placés  dans  l'espace  à 
quatre  dimensions  de  telle  façon  que  la  position  de 
chacun  d'eux  soit  définie,  non  plus  par  trois,  mais 
par  quatre  coordonnées  ;  remplaçons  ensuite  dans 
nos  équations  la  quantité  que  nous  considérions 
jusqu'ici  comme  représentant  la  distance  de  deux 
astres  par  une  fonction  quelconque  des  huit  coor- 
données de  ces  deux  astres  ;  il  n'est  nullement 
nécessaire  que  cette  fonction  soit  celle  qui  repré- 
sente la  distance  de  deux  points  dans  l'espace  ordi- 
naire à  quatre  dimensions  ;  elle  peut  être  tout  à  fait 
quelconque  puisque  le  «  parallélisme  »  n'en  sera 
pas  altéré. 

Nous  obtiendrons  ainsi  une  forme  de  nos  équa- 
tions où  figureront  les  coordonnées  des  astres  dans 
l'espace  à  quatre  dimensions  ;  ce  sera  une  expres- 
sion nouvelle  des  lois  astronomiques  fondée  sur 
l'hypothèse  d'un  espace  à  quatre  dimensions  et 
cette  expression  ne  sera  pas  illégitime  puisque  la 
condition  de  «  parallélisme  »  est  respectée.  Seule- 
ment, il  est  clair  que  les  équations  ainsi  obtenues 
seront  beaucoup  moins  simples  que  nos  équations 
habituelles. 

Et  il  en  serait  sans  doute  de  même  avec  les 
lois  de  la  Physique.  Y  a-t-il  une  raison  générale 

8. 


90 


DEnMERES    PENSEES 


pour  qu'il  en  soit  ainsi,  pour  que  dans  toutes  les 
parties  de  la  Physique,  ce  soit  l'hypothèse  des  trois 
dimensions  qui  donne  aux  équations  leur  forme  la 
plus  simple?  Cette  raison  a-t-elle  quelque  rapport 
avec  celle  qui  a  été  développée  dans  la  première 
partie  de  ce  travail  et  qui  obligeait  impérieusement 
les  êtres  vivants  à  croire  aux  trois  dimensions  ou 
à  faire  comme  s'ils  y  croyaient  sous  peine  d'infé- 
riorité dans  la  lutte  pour  la  vie? 

Ici,  une  courte  digression  est  nécessaire.  Reve- 
nons, pour  un  instant,  à  notre  vieil  espace  ordi- 
naire. Nous  disons  qu'il  est  relatif  et  cela  veut 
dire  que  les  lois  de  la  Physique  sont  les  mêmes 
dans  toutes  les  parties  de  cet  espace,  ou  dans  le 
langage  mathématique,  que  les  équations  différen- 
tielles qui  expriment  ces  lois  ne  dépendent  pas  du 
choix  des  axes  de  coordonnées. 

Si  on  considère  un  système  parfaitement  isolé, 
cela  n'a  aucun  sens,  on  ne  pourra  observer  les 
coordonnées  des  points  de  ce  système,  mais  seule- 
ment leurs  distances  mutuelles,  l'observation  ne 
pourra  pas  nous  apprendre  si  les  propriétés  de  ce 
système  dépendent  de  la  position  absolue  du  sys- 
tème dans  l'espace,  puisque  cette  position  est  inob- 
servable. 

Si  le  système  n'est  pas  isolé,  cela  ne  marchera 
pas  non  plus  (si  l'on  veut  raisonner  en  toute  rigueur) , 
puisqu'il  deviendra  impossible  d'exprimer  les  lois 


POURQUOI    l'espace    A    TROIS    DIMENSIONS  91 

qui  régissent   ce    système,  sans  tenir  compte  de 
l'action  des  corps  extérieurs.  Mais  il  y  a  des  sys- 
tèmes à  peu  près  isolés,  environnés  de  corps  assez 
rapprochés  pour  qu'on  puisse  les  voir,  trop  éloignés 
pour  que   leur  action  soit  sensible  ;  c'est   ce  qui 
arrive  pour  notre  monde  terrestre  vis-à-vis    des 
étoiles.  Nous  pouvons  alors  énoncer  les  lois  de  ce 
monde  terrestre  comme  si  les  étoiles  n'existaient 
'.  pas,  et  pourtant  rapporter  ce  monde  à  un  système 
1  d'axes  de  coordonnées  parfaitement  défini  et  inva- 
'  riablement   lié  à  ces   étoiles.   L'expérience   nous 
montre  alors  que  le  choix  de  ces  axes  n'intervient 
pas,  que  les  équations  ne  sont  pas  altérées  quand 
on    fait  un   changement  d'axes.   L'ensemble   des 
j  changements   d'axes  possibles  forme,  comme  on 
i'  le  sait,  un  groupe  à  six  dimensions. 

Renonçons  maintenant  à  noire  espace  ordinaire, 
remplaçons  nos  équations  par  d'autres  qui  seront 
équivalentes,  en  ce  sens  qu'elles  respecteront   le 
«  parallélisme  »  des  phénomènes.  Toutes  les  fois 
que  nous  aurons  affaire  à  un  système  à  peu  près 
isolé,  il  y  aura  un  fait  extrêmement  général,  une 
.    propriété  d'invariance  qui  subsistera  ;  il  y  aura  un 
;    groupe  de  transformations  qui  n'altérera  pas   les 
'   équations;   ces  transformations   n'auront    plus   la 
signification  d'un  changement  d'axes,  leur  signifi- 
cation pourra  être  quelconque,    mais   le   groupe 
formé  par  ces  transformations  Hpvra  toujours  rester 


92  DERNIÈRES    PENSEES 

isomorphe  au  groupe  à  six  dimensions  dont  nous 
venons  de  parler;  sans  (luoi  il  n'i- aurait  plus  de 
parallélisme. 

Et  c'est  parce  que  ce  groupe  joue  dans  tous  les 
cas  un  rôle  important,  parce  qu'il  est  isomorphe  au 
groupe  des  changements  d'axes  dans  l'espace  ordi- 
naire, parce  qu'il  est  ainsi  étroitement  apparenté 
à  notre  espace  à  trois  dimensions,  c'est  pour  cette 
raison  que  nos  équations  prendront  leur  forme  la 
plus  simple  quand  on  mettra  ce  groupe  en  évidence 
de  la  façon  la  plus  naturelle,  c'est-à-dire  en  intro- 
duisant un  espace  à  trois  dimensions. 

Et  comme  ce  groupe  est  isomorphe  lui-même  à 
celui  des  déplacements  de  chacun  de  nos  membres 
regardé  comme  un  corps  solide,  comme  cette 
propriété  des  corps  solides  de  se  mouvoir  en  obéis- 
sant aux  lois  de  ce  groupe,  n'est,  en  dernière  ana- 
lyse, qu'un  cas  particulier  de  cette  propriété 
d'invariance  sur  laquelle  je  viens  d'attirer  l'attention, 
on  voit  qu'il  n'y  a  pas  de  différence  essentielle 
entre  la  raison  physique  qui  nous  porte  à  attribuer 
à  l'espace  trois  dimensions,  et  les  raisons  psycho- 
logiques développées  dans  les  premiers  para- 
graphes de  ce  chapitre. 

§  6.  —  L'ANALYSIS  SITUS  ET   L'INTUITION 

Je  voudrais  ajouter  une  remarque  qui  ne  se  rap- 
porte qu'indirectement  à    ce   qui  précède;  nous 


POURQUOI    L  ESPACE    A    TROIS    DIMENSIONS  93 

avons  vu  plus  haut  quelle  est  l'importance  de  l'Ana- 
lysis  situs  et  j'ai  expliqué  que  c'est  là  le  véritable 
domaine  de  l'intuition  géométrique.  Cette  intuition 
existe-t-elle?  je  rappellerai  qu'on  a  essayé  de  s'en 
passer  et  que  M,  Hilbert  a  cherché  à  fonder  une  géo- 
métrie qu'on  a  appelée  rationnelle  parce  qu'elle  est 
affranchie  de  tout  appel  à  l'intuition.  Elle  repose 
sur  un  certain  nombre  d'axiomes  ou  de  postulats 
qui  sont  regardés,  non  comme  des  vérités  intuitives, 
mais  comme  des  définitions  déguisées.  Ces  axiomes 
sont  répartis  en  cinq  groupes.  Pour  quatre  de  ces 
groupes,  j'ai  eu  l'occasion  de  dire  dans  quelle 
mesure  il  est  légitime  de  les  regarder  comme  ne 
renfermant  que  des  définitions  déguisées. 

Je  voudrais  insister  ici  sur  un  de  ces  groupes, 
le  deuxième,  celui  des  «  axiomes  de  l'ordre  ». 
Pour  bien  faire  comprendre  de  quoi  il  s'agit,  j'en 
citerai  un.  Si  sur  une  ligne  quelconque  le  point  G 
est  entre  A  et  B,  et  le  point  D  entre  A  et  C,  le 
point  D  sera  entre  A  et  B.  Pour  M.  Hilbert,  il  n'y  a 
pas  là  une  vérité  intuitive,  nous  convenons  de  dire 
que  dans  certains  cas  C  est  entre  A  et  B,  mais 
nous  ne  savons  pas  ce  que  cela  veut  dire,  pas  plus 
que  nous  ne  savons  ce  que  c'est  qu'un  point  ou 
qu'une  ligne.  Nous  pourrons,  d'après  nos  conven- 
tions, employer  cette  expression  entre  pour  dési- 
gner une  relation  quelconque  entre  trois  points, 
pourvu  que  celte  relation  satisfasse  aux  axiomes 


94 


DERNIERES    PENSEES 


de  l'ordre.  Ces  axiomes  nous  apparaissent  ainsi 
comme  la  définition  du  mot  entre. 

On  peut  alors  se  servir  de  ces  axiomes,  à  la 
condition  d'avoir  démontré  qu'ils  ne  sont  pas 
contradictoires,  et  on  pourra  construire  sur  eux 
une  géométrie  où  l'on  n'aura  pas  besoin  de  figures 
et  qui  pourrait  être  comprise  d'un  homme  qui 
n'aurait  ni  vue,  ni  toucher,  ni  sens  musculaire,  ni 
aucun  sens,  et  qui  serait  réduit  à  un  pur  entende- 
ment. 

Oui,  cet  homme  comprendrait  peut-être,  en  ce 
sens  qu'il  verrait  bien  que  les  propositions  se  dé- 
duisent logiquement  les  unes  des  autres  ;  mais 
l'assemblage  de  ces  propositions  lui  paraîtrait  arti- 
ficiel et  baroque  et  il  ne  verrait  pas  pourquoi  on 
l'aurait  préféré  à  une  foule  d'autres  assemblages 
possibles. 

Si  nous  n'éprouvons  pas  les  mêmes  étonnements, 
c'est  que  les  axiomes  ne  sont  pas,  en  réalité,  pour 
nous  de  simples  définitions,  des  conventions  arbi- 
traires, mais  bien  des  conventions  justifiées.  Pour 
les  axiomes  des  autres  groupes,  je  tiens  qu'elles 
sont  justifiées  parce  que  ce  sont  celles  qui  s'ac- 
cordent le  mieux  avec  certains  faits  expérimentaux 
qui  nous  sont  familiers  et  qu'elles  nous  sont,  par 
là,  les  plus  commodes  ;  pour  les  axiomes  de 
l'ordre,  il  me  semble  qu'il  y  a  quelque  chose  de 
plus,  que  ce  sont  de  véritables  propositions  intui- 


POURQUOI    l'espace    A    TROIS    DIMENSIONS  95 

tives,  se  rattachant  à  l'Analysis  situs  ;  nous  voyons 
que  le  fait  pour  un  point  C  d'être  enlre  deux  autres 
points  d'une  ligne,  se  rattache  à  la  façon  de 
découper  un  continu  à  une  dimension  à  l'aide  de 
coupures  formées  de  points  infranchissables. 
Mais  alors  une  question  se  pose;  ces  vérités, 

'j  telles  que  les  axiomes  de  l'ordre,  nous  sont  révélées 
par  l'intuition;  mais  s'agit-il  de  l'intuition  de  l'es- 
pace lui-même,  ou  de  l'intuition  du  continu  mathé- 
matique ou  physique  en  général?  Ce  qui  pourrait 
faire  pencher  vers  la  première  solution,  c'est  que 
nous  raisonnons  facilement  sur  l'espace  et  beau- 
coup plus  difficilement  sur  des  continus  plus  com- 
pliqués, sur  des  continus  à  plus  de  trois  dimensions 
non  susceptibles  d'être  représentés  dans  l'espace. 
Et  si  cette  première  solution  était  adoptée, 
toute  cette  discussion  deviendrait  inutile;  nous 
attribuerions  à  l'espace  trois  dimensions  tout  sim- 
plement parce  que  le  continu  à  trois  dimensions 

j  serait  le   seul   dont   nous    aurions   une   intuition 
nette. 

Mais  il  y  a  une  Analysis  situs  à  plus  de  trois 
dimensions;  je  ne  dis  pas  que  ce  soit  une  science 
facile,  j'y  ai  consacré  trop  d'efforts  pour  ne  pas 
m'être  rendu  compte  des  difficultés  qu'on  y  ren- 
contre; mais  enfin  cette  science  est  possible  et 
elle  ne  repose  pas  exclusivement  sur  l'analyse;  on 
ne  saurait  la  cultiver  avec  fruit  sans  de  continuels 


96 


DERNIERES    PENSEES 


appels  à  l'intuition.  Il  y  a  donc  bien  une  intuition 
des  continus  à  plus  de  trois  dimensions  et  si 
elle  exige  une  attention  plus  soutenue  que  l'intui- 
tion géométrique  ordinaire,  c'est  sans  doute  une 
affaire  d'habitude,  et  aussi  l'effet  de  la  complication 
rapidement  croissante  des  propriétés  des  continus 
quand  augmente  le  nombre  des  dimensions.  Ne 
voyons-nous  pas  dans  les  Lycées  des  élèves  qui 
sont  forts  en  géométrie  plane  et  qui  «  ne  voient 
pas  dans  l'espace  »?  Ce  n'est  pas  que  l'intuition 
de  l'espace  à  trois  dimensions  leur  fasse  défaut, 
mais  ils  n'ont  pas  l'habitude  de  s'en  servir  et  il 
leur  faut  pour  cela  un  effort.  Et  d'ailleurs,  pour 
nous  représenter  une  figure  dans  l'espace,  ne  nous 
arrive-t-il  pas  à  tous  de  nous  représenter  successi- 
vement les  diverses  perspectives  possibles  de  cette 
figure? 

_Je^onclurai  que  nous  avons  tous  en  nous  l'in- 
tuition du  continu  d'un  nombre  quelconque  de^ 
dimensions,  parce  que  nous  avons  la  faculté  de 
construire  un  continu  physique  et  mathématique^ 
que  cette  faculté  préexiste  en  nous  à  toute  expé- 
rience parce  que  san.»  «Ile,  l'expérience  propre- 
ment dite  serait  impossible  et  se  réduirait  à  des 
sensations  brutes,  impropres  à  toute  organisation^^ 
que  cette  intuition  n'est  que  la  conscience  que 
nous  avons  de  cette  faculté.  Cependant  cette 
faculté  pourrait  s'exercer  dans  des  sens  divers; 


pounQuoi  l'espace  a  trois  dimensions        97 

elle  pourrait  nous  permettre  de  construire  un 
espace  à  quatre,  tout  aussi  bien  qu'un  espace  à 
trois  dimensions.  C'est  le  monde  extérieur,  c'est 
l'expérience  qui  nous  détermine  à  l'exercer  dans 
un  sens  plutôt  que  dans  l'autre. 


CHAPITRE  IV 


LA  LOGIQUE  DE  LINFINI 


CHAPITRE  IV 
LA  LOGIQUE  DE  L'INFINI 

§  1".  —  CE  QUE  DOIT  ÊTRE  UNE  CLASSIFICATION 

Les  règles  ordinaires  de  la  logique  peuvent-elles 
être  appUiiuées  sans  changement,  dès  que  l'on  con- 
sidère des  collecLions  comprenant  un  nombre  infini 
d'objets?  C'est  là  une  question  qu'on  ne  s'était  pas 
posée  d'abord,  mais  qu'on  a  été  amené  à  examiner 
quand  les  mathématiciens  qui  se  sont  fait  une  spé- 
cialité de  l'étude  de  l'infini  se  sont  tout  à  coup 
heurtés  à  de  certaines  contradictions  au  moins 
apparentes.  Ces  contradictions  proviennent-elles  de 
ce  que  les  règles  de  la  logique  ont  été  mal  appli- 
quées, ou  de  ce  qu'elles  cessent  d'être  valables  en 
dehors  de  leur  domaine  propre,  qui  est  celui  des 
collections  formées  seulement  d'un  nombre  fini 
d'objets?  Je  crois  qu'il  ne  sera  pas  inutile  de  dire 
ici  quelques  mots  à  ce  sujet,  et  de  donner  aux 
lecteurs  une  idée  des  débats  auxquels  ce  problème 
a  donné  lieu. 

9. 


102  nERNiÈRES    PENSÉES 

La  logique  formelle  n'est  autre  chose  que  l'étude 
des  propriétés  communes  à  toute  classification; 
elle  nous  apprend  que  deux  soldats  qui  font  partie 
du  même  régiment  appartiennent  par  cela  même  à 
la  même  brigade,  et  par  conséquent  à  la  même 
division,  et  c'est  à  cela  que  se  réduit  toute  la 
théorie  du  syllogisme.  Quelle  est  alors  la  condition 
pour  que  les  règles  de  cette  logique  soient  valables? 
C'est  que  la  classification  adoptée  soit  immuable. 
Nous  apprenons  que  deux  soldats  font  partie  du 
même  régiment,  et  nous  voulons  en  conclure  qu'ils 
font  partie  de  la  même  brigade;  nous  en  avons  le 
droit  pourvu  que  pendant  le  temps  que  nous  met- 
tons à  faire  notre  raisonnement,  l'un  des  deux 
hommes  n'o,it  pas  été  transféré  d'un  régiment  dans 
un  autre. 

Les  antinomies  qui  ont  été  signalées  proviennent 
toutes  de  l'oubli  de  cette  condition  si  simple:  on 
s'est  appuyé  sur  une  classification  qui  n'était  pas 
immuable  et  qui  ne  pouvait  pas  l'être;  on  a  bien 
pris  la  précaution  de  la  p7'oc/am<?r  immuable;  mais 
cette  précaution  était  insuffisante;  il  fallait  la  rendre 
effectivement  immuable  et  il  y  a  des  cas  où  cela 
n'est  pas  possible. 

Qu'on  me  permette  de  reprendre  un  exemple  cité 
par  M.  Russell.  C'était  contre  moi  d'ailleurs  qu'il 
l'invoquait.  Il  voulait  prouver  que  les  difficultés  ne 
provenaient  pas  de  l'introduction  de  l'infini  actuel, 


LA    LOGIQUE    DE    l'iNFINI  103 

puisqu'elles  peuvent  se  présenter  même  quand  on 
ne  considère  que  des  nombres  finis.  Je  reviendrai 
plus  loin  sur  ce  point,  mais  ce  n'est  pas  de  cela 
qu'il  s'agit  pour  le  moment  et  je  choisis  cet  exemple 
parce  qu'il  est  amusant  et  qu'il  met  bien  en  évi- 
dence le  fait  que  je  viens  de  signaler. 

Quel  est  le  i>lus  petit  nombre  entier  qui  ne  peut 
pas  être  défini  par  une  phrase  de  moins  de  cent 
mots  français?  Et  d'abord  ce  nombre  existe-t-il? 

Oui,  car  avec  cent  mots  français,  on  ne  peut 
construire  qu'un  nombre  fini  de  phrases,  puisque 
le  nombre  des  mots  du  dictionnaire  français  est 
limité.  Parmi  ces  phrases,  il  y  en  aura  qui  n'auront 
aucun  sens  ou  qui  ne  définiront  aucun  nombre 
entier.  Mais  chacune  d'elles  pourra  définir  au  plus 
un  seul  nombre  entier.  Le  nombre  des  entiers  sus- 
ceptibles d'être  définis  de  la  sorte  est  donc  limité  ; 
par  conséquent,  il  y  a  certainement  des  entiers  qui 
ne  peuvent  l'être  ;  et  parmi  ces  entiers,  il  y  en  a 
certainement  un  qui  est  plus  petit  que  tous^  les 
autres. 

Aon;  car  si^cet  entier  existait,  son  existence  im- 
pliquerait   contradiction,    puisqu'il    se    trouverait 
définj^parjinejphrase  de  moins  de  cent  mots  fran- 
çais, à  savoir  par  la  phrase  même  qui  affirme  qu'il  / 
nej)eut  pas  l'être. 

Ce  raisonnement  repose  sur  une  classification  des 
ombres    entiers    en    deux    catégories,    ceux    qui 


104 


DERNIERES    PENSEES 


peuvent  être  définis  par  une  phrase  de  moins  de 
cent  mots  français  et  ceux  qui  ne  peuvent  pas  l'être. 
En  posant  la  question,   nous  proclamons  implici- 
tement que  cette.classification  est  immuable  et  que 
nous  ne  commençons  à  raisonner  qu'après  l'avoir 
établie  définitivement.  Mais  cela  n'est  pas  possible. 
La    classification    ne    pourra   être   définitive   que 
lorsque  nous  aurons  passé   en  revue   toutes  les 
phrases  de  moins  de  cent  mots,  que  nous  aurons 
rejeté  celles  qui  n'ont  pas  de  sens,  et  que  nous 
aurons  fixé  définitivement  le  sens  de  celles  qui  en 
ont  un.  Mais  pai^ni  c^s  phrases,  il  y  en  a  qui  ne 
peuvent  avoir  de  sens  qu'après  que  la  classification 
|est  arrêtée,  ce  sont  celles  où  il  estquestion  de  cette 
li  classification  elle-même.  En  résumé  ia  classification 
fi  des  nombres  ne  peut  être  arrêtée  qu^après  que  le 
!  triage  des  phrases  est  achevé,  et^ejnage  ne  peut 
,1  être  achevé  qu'après  que  la  classification  est  arrêtée, 
de  sorte  que  ni  la  classification,  ni_Ia-triage  ne_ 
pourront  yamais^tre^  terminé  s. 

Ces  difficultés  se  rencontreront  beaucoup  plus  sou- 
vent  encore  quand  il  s'agira  de  collections  infinies. 
Supposons  que  l'on  veuille  classer  les  cléments  de 
l'une  de  ces  collections  et  que  le  principe  de  la 
classification  repose  sur  quelque  relation  de  l'élé- 
;  ment  à  classer  avec  la  collection  tout  entière.  Une 
semblable  classification  pourra-t-elle  jamais  être 
conçue  comme  arrêtée?  Il  n'y  a  pas  d'infini  actuel, 


LA    LOGIyUE    DE    l'iNFINI  105 

et  quand  nous  parlons  d'une  collection  infinie,  nous 
voulons  dire  une  collection  à  laquelle  on  peut  sans 
cesse  ajouter  de  nouveaux  éléments  (semblable  à 
une  liste  de  souscription  qui  ne  serait  jamais  close 
dans  l'attente  de  nouveaux  souscripteurs).  Or  la  clas- 
sification ne  pourrait  justement  être  arrêtée  que 
quand  cette  liste  serait  close;  toutes  les  fois  qu'on 
ajoute  à  la  collection  de  nouveaux  éléments,  on 
modifie  cette  collection;  on  peut  donc  modifier  la 
relation  de  cette  collection  avec  les  éléments  déjà 
classés  ;  et  comme  c'est  d'après  cette  relation  que 
ces  éléments  ont  été  rangés  dans  tel  ou  tel  tiroir, 
il  peut  arriver  qu'une  fois  cette  relation  modifiée, 
ces  éléments  ne  soient  plus  dans  le  bon  tiroir  et 
qu'on  soit  obligé  de  les  déplacer.  Tant  qu'on  a  de 
nouveaux  éléments  à  introduire,  on  doit  craindre 
d'avoir  à  recommencer  tout  ^on  travail;  or  il  n'arri- 
vera jamais  qu'on  n'ait  plus  de  nouveaux  éléments 
à  introduire  ;  la  classification  ne  sera  donc  jamais 
arrêtée. 

De  là  une  distinction  entre  deux  espèces  de  clas- 
sifications,  applicables  aux   éléments  des   collec- 
tions infinies;  les  classifications  prédicatives,  qui  | 
ne  peuvent  être  bouleversées  par  l'introduction  de 
nouveaux  éléments;  les  classifications  non  prédica-  i 
tives   que   l'introduction   des    éléments    nouveaux  | 
oblige  à  remanier  sans  cesse. 

Supposons    par    exemple    que    l'on    classe    les 


106  DERNIÈRES    PENSÉES 

nombres  entiers  en  deux  familles  suivant  leur  gran- 
deur. On  peut  reconnaître  si  un  nombre  est  plus 
grand  ou  plus  petit  que  10  sans  avoir  à  envisager 
les  relations  de  ce  nombre  avec  l'ensemble  des 
autres  nombres  entiers.  Quand  on  aura  défini,  je 
suppose,  les  100  premiers  nombres,  on  saura  quel? 
sont  ceux  d'entre  eux  qui  sont  plus  petits  et  ceux 
qui  sont  plus  grands  que  10;  quand  on  introduira 
ensuite  le  nombre  101,  ou  un  quelconque  des 
nombres  suivants,  ceux  des  100  premiers  entiers 
qui  étaient  plus  petits  que  10  resteront  plus  petits 
que  10,  ceux  qui  étaient  plus  grands  resteront  plus 
grands;  la  classification  est  prédicative. 

Imaginons  au  contraire  qu'on  veuille  classer  les 
points  de  l'espace  et  que  l'on  dislingue  ceux  qui 
peuvent  être  définis  en  un  nombre  finj_de.jnotj  et 
ceu^Mquijie  le  peuvent  pas.  Parmi  les  phrases  pos- 
sibles, il  y  en  aura  qui  feront  allusion  à  lajcollec- 
tion  tout  entière,  c'est-à-dire  à  l'espace,  ou  à  des 
parties  de  l'espace.  Quand  nous  introduirons  de 
nouveaux  points  dans  l'espace,  c^  phrases  chan- 
geront de  sens,  elles  ne  définiront  plus  le  même 
point;  ou  bien  elles  perdront  toute  espèce  de  sens; 
ou  encore  elles  acquerront  un  sens  alors  qu'elles 
n'en  avaient  pas  auparavant.  Et  alors  des  points  qu* 
n'étaient  pas  définissables  deviendront  susceptibles 
d'être  définis;  d'autres  qui  l'étaient  cesseront  de 
l'être.  Ils  devront  passer  d'une  catégorie  dans  une 


LA    LOGIQUE    DE    l'iNFINI  107 

autre.  La  classification  ne  sera  pas  prédicative. 
11  y  a  de  bons  esprits  qui  considèrent  que  les 
seuls  objets  dont  il  est  permis  de  raisonner  sont 
peux  qui  peuvent  être  définis  en  un  nombre  fini  de 
mots,  et  j'aurais  d'autant  plus  mauvaise  grâce  à  ne 
pas  les  regarder  comme  de  bons  esprits,  que  je  vais 
bientôt  moi-même  défendre  leur  opinion.  On  peut  ^l^^-''' 
donc  trouver  que  l'exemple  précédent  est  mal  U-j"  i^^' 
choisi,  mais  il  est  aisé  de  le  modifier.  ''""  '^''^"' 

Pour  classer  les  nombres  entiers,  ou  les  points 
de  l'espace,  je  considérerai  la  phrase  qui  définit 
chaque  nombre  entier,  ou  chaque  point.  Gomme  il 
peut  arriver  qu'un  même  nombre  ou  un  même 
point  puisse  être  défini  par  plusieurs  phrases,  je 
rangerai  ces  phrases  dans  l'ordre  alphabétique  et 

]  je  choisirai  la  première  d'entre  elles.  Gela  posé, 
cette  phrase  finira  par  une  voyelle  ou  par  une  con- 

j  sonne,  et  on  pourrait  faire  la  classification  d'après 
ce  critère.  Mais  cette  classification  ne  serait  pas 
prédicative  ;  par  l'introduction  de  nouveaux  entiers, 
ou  de  nouveaux^points,  des  phrases  gui  n'avaient 
aucun  sens  pourront  en  acquérir  un.  Et  alors  au 
tableau  des  phrases  qui  définissent  un  entier  ou  un 
point  déjà  introduit,  il  deviendra  nécessaire  d'ajou- 
ter de  nouvelles  phrases,  qui  étaient  jusqu'ici 
dénuées  de  sens,  qui  viennent  d'en  acquérir  un,  et 
qui  définissent  précisément  ce  même  point.  11  pourra 
se   faire  que    ces  phrases   nouvelles  prennent  la 


108 


DERNIEnES    PEiNSEES 


tête  dans  l'ordre  alphabétique,  et  qu'elles  finissent 
par  une  voyelle,  tandis  que  les  phrases  anciennes 
finissaient  par  une  consonne.  Et  alors  notre  entier 
ou  notre  point  qui  avait  été  provisoirement  rangé 
dans  une  catégorie,  devra  être  transféré  dans 
l'autre. 

Si  au  contraire  nous  classons  les  points  de  l'es- 
j  pace  d'après  la  grandeur  de  leurs  coordonnées,  si 
nous  convenons  de  classer  ensemble  tous  ceux  dont 
'l'abscisse  est  plus  petite  que  10,  l'introduction  de 
jnouveaux  points  ne  changera  rien  à  la  classification  ; 
les  points  déjà  introduits  qui  répondaient  à  la  con-- 
dition  ne  cesseront  pas  d'y  répondre  après  cette 
introduction.  La  classification  sera  prédicative. 

Ce  que  nous  venons  de  dire  des  classifications 
s'applique  immédiatement  aux  définitions.  Toute 
définition  est  en  effet  une  classification.  Elle  sépare 
les  objets  qui  satisfont  à  la  définition,  et  ceux  qui 
n'y  satisfont  pas  et  elle  les  range  dans  deux  classes 
distinctes.  Si  elle  procède,  comme  dit  l'École,  pei' 
proximum  genus  et  differentiam  specificam,  elle 
repose  évidemment  sur  la  subdivision  du  genre  en 
espèces.  Une  définition  comme  toute  classification 
peut  donc  être  ou  ne  pas  être  prédicative. 

Mais  ici  une  difficulté  se  présente.  Reprenons 
l'exemple  précédent.  Les  nombres  entiers  appar- 
tiennent à  la  classe  A  ou  à  la  classe  B,  suivant  qu'ils 
sont  plus  petits  ou  plus  grands  que  10,5.  J'ai  défini 


LA    LOGIQUE    DE    L  INFINI 


109 


certains  nombres  entiers  a  p  y-  j^  les  ai  répartis 
entre  ces  deux  classes  A  et  B.  Je  définis  et  j'intro- 
duis de  nouveaux  nombres  entiers.  J'ai  dit  que  la 
répartition  n'était  pas  modifiée  et  que  par  consé- 
quent la  classification  était  prédicative.  Mais  pour 
que  la  place  du  nombre  a  dans  la  classification  ne 
soit  pas  modifiée,  il  ne  suffît  pas  que  les  cadres  de 
la  classification  n'aient  pas  changé,  il  faut  encore 
que  le  nombre  a  soit  resté  le  même,  c'est-à-dire 
que  sa  définition  soit  prédicative.  De  sorte  qu'à  un 
certain  point  de  vue,  on  ne  devrait  pas  dire  qu'une 
classification  est  prédicative  d'une  façon  absolue, 
mais  qu'elle  est  prédicative  par  rapport  à  un  mode 
de  définition. 

§  2.  — LE  NOMBRE  CARDINAL 

On  ne  doit  pas  oublier  les  considérations  précé- 
dentes quand  on  définit  le  nombre  cardinal.  Si 
nous  considérons  deux  collections,  on  peut  chercher 
à  établir  une  loi  de  correspondance  entre  les  objets 
de  ces  deux  collections,  de  façon  qu'à  tout  objet  de 
la  1"  corresponde  un  objet  de  la  2^  et  un  seul,  et 
inversement.  Si  cela  est  possible,  on  dit  que  les 
deux  collections  ont  le  même  nombre  cardinal. 

Mais,  ici  encore,  il  convient  que  cette  loi  de  cor- 
respondance soit  jprédicative.  Si  l'on  a  affaire  à  deux 
collections  infinies,  on  ne  pourra  jamais  concevoir 
ces  deux  collections  comme  épuisées.  Si  nous  sup 

10 


110 


DERNIERES    PENSEES 


posons  que  nous  ayons  pris  dans  la  première  un 
certain  nombre  d'objets,  la  loi  de  correspondance 
nous  permettra  de  définir  les  objets  correspondants 
de  la  2*.  Si  nous  introduisons  ensuite  de  nouveaux 
objets,  il  pourra  arriver  que  cette  introduction 
change  le  sens  de  la  loi  de  correspondance,  de  telle 

•  façon  que  l'objet  A'  de  la  2*  collection,  qui  avant 
cette  introduction  correspondait  à  un  objet  A  de 
la  1",  n'y  correspondra  plus  après  cette  introduc- 
tion. Dans  ce  cas  la  loi  de  correspondance  ne  sera 
pas  prédicative. 

Et  c'est  ce  que  nous  allons  expliquer  par  deux 
exemples  opposés.  Je  considère  l'ensemble  des 
nombres  entiers  et  l'ensemble  des  nombres  pairs. 
A  chaque  entier  n  je  puis  faire  correspondre  le 
nombre  pair  2n.  Quand  j'introduirai  de  nouveaux 
entiers,  ce  sera  toujours  le  même  nombre  2n  qui 
correspondra  à  n.  La  loi   de  correspondance  est 

1  prédicative,  et  il  en  est  de  même  de  toutes  celle* 
qu'envisage  Cantor  pour  démontrer  par  exemple 
que  le  nombre  cardinal  des  nombres  rationnels  est 
égal  à  celui  des  nombres  entiers,  ou  celui  des 
points  de  l'espace  à  celui  des  points  d'une  droite. 

!  Supposons  au  contraire  que  l'on  compare  l'en- 
semble des  nombres  entiers  à  celui  des  points  de 
l'espace  busceptibles  d'être  définis  par_un  nombre 
fini  de  mots  et  que  j'établisse  entre  eux  la  corres- 
pondance suivante.  Je  ferai  le  tableau  de  toutes 


LA    LOGIQUE    DE    l'iNFINI  11 

les  phrases  possibles,  je  les  ordonnerai  d'après  le 
nombre  de  leurs  mots,  en  rangeant  dans  l'ordre 
alphabétique  celles  qui  ont  le  même  nombre  de 
mots.  J'effacerai  toutes  celles  qui  n'ont  aucun  sens 
ou  qui  ne  définissent  aucun  point,  ou  qui  définissent 
un  point  déjà  défini  par  l'une  des  phrases  précé- 
dentes. Je  ferai  correspondre  à  «haque  point  la 
phrase  qui  le  définit,  et  le  numéro  qu'occupe  cette 
phrase  dans  le  tableau  ainsi  émondé. 

Lorsque  j'introduirai  de  nouveaux  points,  il 
pourra  arriver  que  des  phrases  qui  étaient  dépour-  ji^ 
vues  de  sens  en  acquièrent  un  ;  on  devra  les  réta- 
blir dans  le  tableau  d'où  on  les  avait  d'abord  effa- 
cées ;  et  le  numéro  de  toutes  les  autres  phrases  se 
trouvera  modifié.  Nos  correspondances  seront  entiè- 
rement bouleversées  ;  notre  loi  de  correspondance 
n'est  pas  prédicative. 

Si  l'on  ne  faisait  pas  attention  à  cette  condition 
dans  la  comparaison  des  nombres  cardinaux,  on 
serait  conduit  à  de  singuliers  paradoxes.  Il  convient 
donc  de  modifier  la  définition  des  nombres  cardi- 
naux en  spécifiant  que  la  loi  de  correspondance 
sur  laquelle  cette  définition  se  fonde  doit  être  pré- 
dicative. 

Toute  loi  de  correspondance  repose  sur  une 
double  classification.  On  doit  classer  les  objets  des 
deux  collections  que  l'on  veut  comparer;  et  les 
deux  classifications  doivent  être  parallèles  ;  si  par 


/-J.. 


./''i' 


112  DERNIÈRES    PENSÉES 

exemple  les  objets  de  la  1'^*  se  répartissent  en 
classes,  qui  se  subdivisent  en  ordres,  ceux-ci  en 
familles,  etc.,  il  devra  en  être  de  même  des  objets 
de  la  2*.  A  chaque  classe  de  la  l"""  classification 
devra  correspondre  une  classe  de  la  2*  et  une 
seule,  à  chaque  ordre  un  ordre  et  ainsi  de  suite, 
jusqu'à  ce  qu'on  arrive  aux  individus  eux-mêmes. 
Et  l'on  voit  alors  quelle  doit  être  la  condition 
pour  qu'une  loi  de  correspondance  soit  prédicative. 
Il  faut  que  les  deux  classifications  sur  lesquelles 
cette  loi  repose  soient  elles-mêmes  prédicatives. 

§3.— LE  MÉMOIRE  DE  M.    RUSSELL 

M.  Russell  a  publié  dans  V American  Journal  of 
Mathernatics,  vol.  XXX,  sous  le  titre  Mathematical 
logics  as  hasedon  the  Theory  of  Types,  un  mémoire 
où  il  s'appuie  sur  des  considérations  tout  à  fait 
analogues  à  celles  qui  précèdent.  Après  avoir  rap- 
pelé quelques-uns  des  paradoxes  les  plus  célèbres 
chez  les  logiciens,  il  en  cherche  l'origine  et  il  la 
trouve  avec  raison  dans  une  sorte  de  cercle 
vicieux.  On  a  été  conduit  à  des  antinomies  parce 
qu'on  a  envisagé  des  collections,  contenant  des 
objets  dans  la  définition  desquels  entre  la  notion 
do  la  collection  elle-même.  On  s'est  servi  de  défî- 
nilions  non  prédicatives  ;  on  a  confondu,  dit 
M.  Russell,  les  mots  ait  et  any,  ce  que  nous  pou- 


LA    LOGIQUE    DE    l'iNFINI  il3 

vons  rendre  en  français  par  les  mots  tous  et 
quelconque. 

Il  est  ainsi  conduit  à  imaginer  ce  qu'il  appelle  la 
hiérarchie  des  types.  Soit  une  proposition  vraie 
d'un  individu  quelconque  d'une  classe  donnée.  Par 
un  individu  quelconque,  nous  devons  entendre 
d'abord  tous  les  individus  de  cette  classe  que  l'on 
peut  définir  sans  se  servir  de  la  notion  de  la  propo- 
sition elle-même.  Je  les  appellerai  des  individus 
quelconques  du!"  ordre;  quand  j'affirmerai  que  la 
proposition  est  vraie  de  tous  ces  individus,  j'affir- 
merai une  proposition  du  1"  ordre.  Un  individu 
quelconque  du  2*  ordre,  ce  sera  alors  un  individu 
dans  la  définition  duquel  pourra  intervenir  la 
notion  de  cette  proposition  du  1"  ordre.  Si  j'affirme 
la  proposition  de  tous  les  individus  du  2*  ordre, 
j'aurai  une  proposition  du  2*  ordre.  Les  individus 
du  3*  ordre  seront  ceux  dans  la  définition  desquels 
peut  intervenir  la  notion  de  cette  proposition  du 
2"  ordre  ;  et  ainsi  de  suite 

Prenons  l'exemple  de  l'Épiménide.  Un  menteur 
du  1"  ordre  sera  celui  qui  ment  toujours  sauf  quand 
il  dit  je  suis  un  menteur  du  1""  ordre;  un  menteur 
du  2*  ordre  sera  celui  qui  ment  toujours  même 
quand  il  dit  je  suis  un  menteur  du  1"  ordre,  mais 
qui  ne  ment  plus  quand  il  dit  je  suis  un  menteur  du 
2*  ordre.  Et  ainsi  de  suite.  Et  alors  quand  Epimé- 
nide  nous  dira  :  je  suis  un  menteur,  nous  pourrons 

10. 


114 


DERNIERES    PENSETiS 


lui  demander:  de  quel  ordre  ?  Et  c'est  seulement 
après  qu'il  aura  répondu  à  cette  légitime  question 
que  son  assertion  aura  un  sens. 

Passons  à  un  exemple  plus  scientifique  et  envi- 
sageons la  définition  du  nombre  entier.  On  dit 
qu'une  propriété  est  récurrente  si  elle  appartient  à 
zéro,  et  si  elle  ne  peut  appartenir  à  n  sans  appar- 
tenir à  n-f-1;  on  dit  que  tous  les  nombres  qui 
possèdent  une  propriété  récurrente  forment  une 
classe  récurrente.  Alors  un  entier  est  par  défi- 
nition un  nombre  qui  possède  toutes  les  propriétés 
récurrentes,  c'est-à-dire  qui  appartient  à  toutes 
les  classes  récurrentes. 

De  cette  définition  peut-on  conclure  que  la 
somme  de  deux  entiers  est  un  entier?  Il  semble 
que  oui  ;  car  si  n  est  un  nombre  entier,  donné,  les 
nombres  x  qui  sont  tels  que  n-\-x  est  entier 
forment  une  classe  récurrente.  Le  nombre  x  ne 
serait  donc  pas  entier,  si  n-\-  x  ne  l'était  pas.  Mais 
la  définition  de  cette  classe  récurrente  dont  nous 
venons  de  parler  n'est  pas  prédicative,  car  dans 
cette  définition  (qui  nous  apprend  que  n-\-  x  doit 
être  entier)  entre  la  notion  de  nombre  entier  qui 
présuppose  la  notion  de  toutes  les  classes  récur- 
rentes. 

D'où  la  nécessité  d'employer  le  détour  suivant  : 
appelons  classes  récurrentes  du  1"  ordre  toutes 
celles  que  l'on  peut  définir  sans  introduire  la  notion 


LA    LOGIQUE    DE    l'iNFINI  115 

d'entier,  et  entiers  du  1"  ordre  les  nombres  qui 
appartiennent  à  toutes  les  classes  récurrentes  du 
1"  ordre  ;  appelons  ensuite  classes  récurrentes  du 
2*  ordre  celles  que  l'on  peut  définir  en  introduisant 
au  besoin  la  notion  d'entier  du  i"  ordre,  mais  sans 
faire  intervenir  la  notion  d'entier  d'ordre  supé- 
rieur; appelons  entiers  du  2^  ordre  les  nombres  qui 
appartiennent  à  toutes  les  classes  récurrentes  du 
2*  ordre,  et  ainsi  de  suite.  Et  alors  ce  que  nous 
pouvons  démontrer  ce  n'est  pas  que  la  somme  de 
deux  entiers  est  un  entier,  c'est  que  la  somme  de 
deux  entiers  d'ordre  K,  est  un  entier  d'ordre  K — 1. 

Ces  exemples  suffiront,  je  pense,  pour  faire 
comprendre  ce  que  M.  Russell  appelle  la  hiérar- 
chie des  types.  Mais  alors  se  posent  diverses 
questions  sur  lesquelles  l'auteur  ne  s'est  pas 
prononcé. 

i°  Dans  cette  hiérarchie  s'introduisent  sans  dif- 
ficulté des  propositions  du  l'^'",  du  2"  ordre,  etc., 
et  en  général  du  n*  ordre,  n  étant  un  nombre 
entier  fini  quelconque.  Est-il  possible  de  consi- 
dérer de  même  des  propositions  d'ordre  a,  a  étant 
un  nombre  ordinal  transfini?  C'est  ainsi  que 
M.  Kônig  a  imaginé  une  théorie  qui  ne  diffère 
pas  essentiellement  de  celle  de  M.  Russell;  il  s'y 
sert  d'une  notation  spéciale,  il  y  désigne  par 
A(NV)  les  objets  du  l*'  ordre,  par  A(NY)2  ceux 
du  2*  ordre,  etc.,  NV  étant  le«  initiales  de  lex- 


116  DERNIÈRES    PENSÉES 

pression  ne  varietur.  Quant  à  lui,  il  n'hésite  pas  à 
introduire  des  A(NV)«  où  a  est  transfini,  sans 
d'ailleurs  expliquer  suffisamment  ce  qu'il  entend 
par  là. 

2°  Si  l'on  répond  oui  à  la  première  question,  il 
faudra  expliquer  ce  qu'on  entend  par  des  objets 
d'ordre  w,  w  étant  l'infini  ordinaire,  c'est-à-dire  le 
premier  nombre  ordinal  transfini,  ou  par  des 
.objets  d'ordre  a  ;  a  étant  un  ordinal  transfini 
quelconque. 

3°  Si  au  contraire  on  répond  non  à  la  1"  ques- 
tion, comment  pourra-t-on  fonder  sur  la  théorie 
des  types  la  distinction  entre  les  nombres  finis  ou 
infinis,  puisque  cette  théorie  est  dénuée  de  sens 
si  on  ne  suppose  cette  distinction  déjà  faite. 

4*>  Plus  généralement,  qu'on  réponde  oui  ou 
non  à  la  1"  question,  la  théorie  des  types  est 
f.ncompréhensible,  si  on  ne  suppose  la  théorie  des 
ordinaux  déjà  constituée.  Comment  pourra-t-on 
fonder  alors  la  théorie  des  ordinaux  sur  celle  des 
types? 

§4.  —  L'AXIOME  DE  RÉDUCTIBILITÉ 

M.  Russell  introduit  un  axiome  nouveau  qu'il 
appelle  axiom  of  reducibiliiy .  Comme  je  ne  suis 
pas  sûr  d'avoir  parfaitement  compris  sa  pensée, 
je  vais  lui  laisser  la  parole.  «  We  assume,  that 
every  function  is  équivalent,  for  ail  its  value  to 


•LA    LOGIQUE    DE    l'iNFINI  117 

some  predicative  function  of  the  same  argument.  » 
Mais,  pour  comprendre  cette  assertion,  il  faut 
remonter  aux  définitions  données  au  début  du 
mémoire.  Qu'est-ce  qu'une  fonction,  et  qu'est-ce 
qu'une  fonction  predicative?  Si  une  proposition 
est  affirmée  d'un  objet  donné  a,  c'est  une  propo- 
sition particulière;  si  on  l'affirme  d'un  objet  indé- 
terminé X,  c'est  une  fonction  propositionnelle  de  x. 
La  proposition  sera  d'un  certain  ordre  dans  la 
hiérarchie  des  types,  et  cet  ordre  ne  sera  pas  le 
même  quel  que  soit  ar,  puisqu'il  dépendra  de 
l'ordre  dç  x.  La  fonction  sera^  alors  dite  predicative., 
si  elle  est  d'ordre  K-j-1,  quand  x  est  d'ordre  K. 

Après  ces  définitions  le  sens  de  l'axiome  n'est 
pas  encore  très  clair  et  quelques  exemples  ne 
seraient  pas  superflus.  M.  Russell  n'en  a  pas 
donné,  et  j'hésite  à  en  donner  de  mon  cru,  parce 
que  je  crains  de  trahir  sa  pensée,  que  je  ne  suis 
pas  certain  d'avoir  entièrement  saisie.  Mais,  sans 
l'avoir  saisie,  il  y  a  une  chose  dont  je  ne  saurais 
douter,  c'est  qu'il  s'agit  d'un  nouvel  axiome.  Grâce 
à  cet  axiome,  on  espère  pouvoir  démontrer  le  prin- 
cipe d'induction  mathématique;  que  cela  soit  pos- 
sible, je  voudrais  d'autant  moins  le  nier  que  je 
soupçonne  cet  axiome  d'être  une  autre  forme  du 
même  principe. 

Et  alors  je  ne  puis  m'empêcher  de  penser  à 
tous  les  gens  qui  prétendent  démontrer  le  postu- 


118  DERNIÈRES    PENSÉES 

latum  d'Euclide,  en  s'appuyant  sur  une  de  ses 
conséquences,  et  en  regardant  cette  conséquence 
comme  une  vérité  évidente  par  elle-même.  Qu'ont- 
ils  gagné?  Cette  vérité,  quelque  évidente  qu'elle 
soit,  le  sera-t-elle  plus  que  le  postulatum  lui- 
même? 

Nous  ne  gagnons  donc  rien  sur  le  nombre  des 
postulats;  gagnons-nous  au  moins  sur  la  qualité? 

En  quoi  le  nouvel  axiome  l'emporte-t-il  sur  le 
principe  d'induction? 

1»  Est-il  susceptible  d'un  énoncé  plus  simple  et 
plus  clair?  C'est  possible,  car  celui  que  M.  Russell 
nous  donne  peut  sans  doute  être  amélioré;  mais 
ce  n'est  pas  probable. 

2°  L'axiome  de  réductibilité  est-il  plus  général 
que  le  principe  d'induction?  de  sorte  que  l'on  ne 
puisse  démontrer  cet  axiome  en  partant  de  ce 
principe? 

3°  Ou  bien  au  contraire  l'axiome  est-il  moins 
général  en  apparence  que  le  principe,  de  sorte 
qu'on  n'aperçoive  pas  immédiatement  que  le 
second  est  contenu  dans  le  premier,  bien  qu'il  le 
soit? 

4*»  L'emploi  de  cet  axiome  est-il  plus  conforme 
aux  tendances  naturelles  de  notre  esprit;  peut-on 
le  justifier  psychologiquement? 

Je  me  borne  à  poser  ces  questions  ;  les  éléments 
me  manquent  pour  les  résoudre  puisque  je  n'ai  pu 


LA    LOGIQUE    DE    L*INFINI  119 

arriver  même  à  comprendre  complètement  le  sens 
de  cet  axiome. 

Mais  si  je  ne  puis,  avec  les  indications  trop 
sommaires  données  par  M.  Russell,  espérer  de 
pénétrer  entièrement  ce  sens,  il  m'est  permis  au 
moins  de  faire  quelques  conjectures.  Voilà  une 
proposition  comme  par  exemple  la  définition  du 
nombre  entier;  un  entier  fini  est  un  nombre  qui 
appartient  à  toutes  les  classes  récurrentes  ;  cette 
proposition  n'a  pas  de  sens,  par  elle-même;  elle 
n'en  aurait  un  que  si  on  précisait  l'ordre  des 
classes  récurrentes  dont  il  s'agit.  Mais  il  arrive 
heureusement  ceci  ;  tout  entier  du  2'  ordre  est  a 
fortiori  un  entier  du  1""  ordre,  puisqu'il  appar- 
tiendra à  toutes  les  classes  récurrentes  des  deux 
premiers  ordres,  et  par  conséquent  à  toutes  celles 
du  l®"  ordre;  de  même  tout  entier  du  K'  ordre 
sera  a  fortiori  un  entier  du  K  —  1*  ordre.  Nous 
sommes  ainsi  amenés  à  définir  une  série  de 
classes  de  plus  en  plus  restreintes,  entiers  du  l", 
du  2%  ...,  du  n*  ordre,  dont  chacune  sera  con- 
tenue dans  celle  qui  précède.  J'appellerai  entier 
d'ordre  <o  tout  nombre  qui  appartiendra  à  la 
fois  à  toutes  ces  classes  ;  et  cette  définition  de 
l'entier  de  l'ordre  w  aura  un  sens  et  pourra 
être  regardée  comme  équivalente  à  la  définition 
d'abord  proposée  pour  le  nombre  entier  et  qui 
n'en  avait  pas.  Est-ce  là  une  application  correcte 


120  DERNIÈBES    PENSÉES 

de  l'axiome  de  réducUbilité,  tel  que  l'entend 
M.  Russell?  Je  ne  propose  cet  exemple  que  timi- 
dement. 

Admettons-le  pourtant,  et  reprenons  le  théorème 
à  démontrer  au  sujet  de  la  somme  de  deux  entiers. 
Nous  avons  établi  que  la  somme  de  deux  entiers 
du  K*  ordre  est  un  entier  d'ordre  K  —  1,  et  nous 
voulons  en  conclure  que  si  a;  et  n  sont  deux 
entiers  d'ordre  w,  la  somme  n-\-x  est  aussi  un 
entier  d'ordre  co.  Et  en  effet  il  suffit  pour  cela 
d'établir  que  c'est  un  entier  d'ordre  K  quelque 
grand  que  soit  K.  Or  si  n  et  a?  sont  des  entiers 
d'ordre  w,  ce  seront  a  fortiori  des  entiers  d'ordre 
K-|-l,  donc  en  vertu  du  théorème  déjà  établi, 
n-\-x  est  un  entier  d'ordre  K... 

C.  Q.  F.  D. 

Est-ce  de  cette  façon  qu'on  peut  se  servir  de 
l'axiome  de  M,  Russell?  Je  sens  bien  que  ce  n'est 
pas  tout  à  fait  cela  et  que  M.  Russell  donnerait  au 
raisonnement  une  tout  autre  forme,  mais  le  fond 
demeurerait  le  même. 

Je  ne  veux  pas  discuter  ici  la  validité  de  ce 
mode  de  démonstration. 

Je  me  bornerai  pour  le  moment  aux  observa- 
tions suivantes.  Nous  avons  été  conduits  à  intro- 
duire à  côté  de  la  notion  des  objets  du  n*  ordre, 
celle  des  objets  d'ordre  w  et  nous  croyons  avoir 
réussi  en  ce  qui  concerne  les  entiers,  à  définir 


LA    LOGIQUE    DE    L  INFINI 


121 


cette  notion  nouvelle.  Mais  cela  ne  réussirait  pas 
toujours;  pour  Epiinénide  par  exemple,  cela  ne 
marcherait  pas  du  tout.  Ce  qui  a  assuré  le  succès, 
c'est  la  circonstance  suivante.  La  classification 
étudiée  n'était  pas  prédicative,  et  l'adjonction 
d'éléments  nouveaux  obligeait  à  modifier  le  clas- 
sement des  éléments  antérieurement  introduits  et 
classés.  Toutefois  cette  modification  ne  pouvait 
se  faire  que  dans  un  sens  ;  on  pouvait  être  obligé 
de  transférer  des  objets  de  la  classe  A  dans  la 
classe  B  (à  savoir  de  celle  des  entiers  dans  celle 
des  non-entiers),  mais  jamais  de  les  transférer  de 
la  classe  B  dans  la  classe  A.  Il  faudrait  une  con- 
vention nouvelle  pour  définir  les  objets  d'ordre  a> 
dans  les  cas  où  la  modification  devrait  se  faire 
tantôt  dans  un  sens,  tantôt  dans  l'autre. 

En  second  lieu,  la  définition  des  entiers  d'ordre  (o 
Il  est  pas  la  même  que  celle  des  entiers  d'ordre  K, 
K  étant  fini.  On  définit  les  entiers  d'ordre  K  par 
récurrence  en  déduisant  la  notion  d'entier  d'ordre  K, 
de  la  notion  d'entier  d'ordre  K  —  1.  On  définit  les 
entiers  d'ordre  w,  par  passage  à  la  limite,  en 
faisant  dépendre  cette  notion  nouvelle  d'une  infi- 
nité de  notions  antérieures,  celles  des  entiers  de 
tous  les  ordres  finis.  Les  deux  définitions  seraient 
donc  incompréhensibles  pour  quelqu'un  qui  ne 
saurait  pas  déjà  ce  que  c'est  qu'un  nombre  fini; 
elles  présupposent  la  distinction  des  nombres  finis 

11 


122  DERNIÈRES    PENSÉES 

et  des  nombres  infinis.  Ce  n'est  donc  pas  sur  elles 
qu'on  peut  espérer  fonder  cette  distinction. 


§  5.  —  LE  MEMOIRE  DE  M.  ZERMELO 

C'est  dans  une  tout  autre  direction  que  M.  Zer- 
melo  cherche  la  solution  des  difficultés  que  nous 
avons  signalées.  Il  s'efforce  de  poser  un  système 
d'axiomes  a  priori,  qui  doi-^ent  lui  permettre 
d'établir  toutes  les  véri^js  mathématiques  sans 
être  exposé  à  la  contradiction.  Il  y  a  plusieurs 
manières  de  concevoir  le  rôle  des  axiomes  ;  on 
peut  les  regarder  comme  des  décrets  arbitraires 
qui  ne  sont  que  les  définitions  déguisées  des 
notions  fondamentales.  C'est  ainsi  qu'au  début  de 
la  géométrie,  M.  Hilbert  introduit  des  «  choses  » 
qu'il  appelle  points,  droites  et  plans,  et  que, 
jubliant  ou  paraissant  oublier  un  instant  le  sens 
vulgaire  de  ces  mots,  il  pose  entre  ces  choses 
diverses  relations  qui  les  définissent. 

Pour  que  cela  soit  légitime,  il  faut  démontrer 
que  les  axiomes  ainsi  introduits  ne  sont  pas  con- 
tradictoires, et  M.  Hilbert  y  a  parfaitement  réussi 
en  ce  qui  concerne  la  géométrie,  parce  qu'il  sup- 
posait l'analyse  déjà  constituée  et  qu'il  a  pu  s'en 
servir  pour  cette  démonstration.  M.  Zermelo  n'a 
pas  démontré  que  ses  axiomes  étaient  exempts  de 
contradiction,  et  il  ne  pouvait  le  faire,  car,  pour 


LA    LOGIQUE    DE    L  INFINI 


123 


cela,  il  lui  aurait  fallu  s'appuyer  sur  d'autres  véri- 
tés déjà  établies;  or  des  vérités  déjà  établies,  une 
science  déjà  faite,  il  suppose  qu'il  n'y  en  a  pas 
encore,  il  fait  table  rase,  et  il  veut  que  ses  axiomes 
se  suffisent  entièrement  à  eux-mêmes. 

Les  postulats  ne  peuvent  donc  tirer  leur  valeur 
d'une  sorte  de  décret  arbitraire,  il  faut  qu'ils  soient 
évidents  par  eux-mêmes.  Il  nous  faudra  donc,  non 
pas  démontrer  cette  évidence,  puisque  l'évidence    | 
ne  se  démontre  pas,  mais  chercher  à  pénétrer  le    i 
mécanisme  psychologique  qui  a  créé  ce  sentiment    i 
de  l'évidence.  Et  voici  d'où  provient  la  difficulté; 
M.   Zermelo    admet    certains    axiomes,    et  il   en 
rejette  d'autres  qui,  au   premier  abord,   peuvent 
sembler  aussi  évidents  que  ceux  qu'il  conserve  ; 
s'il  les  conservait  tous,  il  tomberait  dans  la  con- 
tradiction, il  lui  fallait  donc  faire  un  choix,  mais 
on  peut  se  demander  quelles  sont  les  raisons  de    i 
son  choix,  et  c'est  ce  qui  nous  oblige  à  quelque 
attention. 

Ainsi  il  commence  par  rejeter  la  définition  de  , 
Cantor  :  un  ensemble  est  la  réunion  d'objets  dis- 
tincts quelconques  considérés  comme  formant  un 
tout.  Je  n'ai  donc  pas  le  droit  de  parler  de  l'en- 
semble de  tous  les  objets  qui  satisfont  à  telle  ou 
telle  condition.  Ces  objets  ne  forment  pas  un 
ensemble,  une  Afenge,  mais  il  faut  bien  mettre  quel- 
que chose  à  la  place  de  la  définition  qu'on  rejette. 


124  DEBMÈRES    PENSÉES 

M.  Zermelo  se  borne  à  dire  :  considérons  un 
domaine  [Bereich)  d'objets  quelconques;  il  peut 
arriver  qu'entre  deux  de  ces  objets  x  et  y,  il  y 
ait  une  relation  de  la  forme  x  z  y\  nous  dirons 
alors  que  x  est  un  élément  de  y,  et  que  y  est 
un  ensemble,  une  Menge. 

Évidemment  ce  n'est  pas  là  une  définition,  quel- 
qu'un qui  ne  sait  pas  ce  que  c'est  qu'une  Menge, 
ne  le  saura  pas  davantage  quand  il  aura  appris 
qu'elle  est  représentée  par  le  symbole  £,  puisqu'il 
ne  sait  pas  ce  que  c'est  que  e.  Cela  pourrait  aller  si 
ce  symbole  e  devait  être  défini  dans  la  suite  par  les 
axiomes  eux-mêmes  qui  seraient  regardés  comme 
des  décrets  arbitraires.  Mais  nous  venons  de  voir 
que  ce  point  de  vue  était  intenable.  Il  faut  donc 
fi  que  nous  sachions  d'avance  ce  que  c'est  qu'une 
Il  Menge,  que  nous  en  ayons  l'intuition,  et  c'est  cette 
I  intuition  qui  nous  fera  comprendre  ce  que  c'est 
que  e,  qui  ne  serait  sans  cela  qu'un  symbole 
dépourvu  de  sens,  et  dont  on  ne  pourrait  affirmer 
aucune  propriété  évidente  par  elle-même.  Mais 
qu'est-ce  que  cette  intuition  peut  être  si  elle  n'est 
pas  la  définition  de  Cantor  que  nous  avons  dédai- 
gneusement rejetée? 

Passons  sur  cette  difficulté  que  nous  cherche- 
rons plus  loin  à  éclaircir  eténumércns  les  axiomes 
admis  par  M.  Zermelo  ;  ils  sont  au  nombre  de 
sept  : 


LA    LOGKJLE    DE    l'iNFINI  125 

1"  Deux  Mengen  qui  ont  mêmes  éléments  sont 
identiques. 

2°  Il  y  a  une  Menge  qui  ne  contient  aucun  élé- 
ment, c'est  la  Nullmenge  \  s'il  existe  un  objet  a,  il 
existe  une  Menge  [a)  dont  cet  objet  est  l'unique 
élément  ;  s'il  existe  deux  objets  a  et  b,  il  existe  une 
Menge  (a,  b)  dont  ces  deux  objets  sont  les  seuls 
éléments. 

3°  L'ensemble  de  tous  les  éléments  d'une  Menge  M 
qui  satisfont  à  une  condition  x  forme  un  sous- 
ensemble,  une  Untermenge  de  M. 

4°  A  chaque  Menge  T  correspond  une  autre 
Menge  UT,  formée  de  toutes  les  Untermengen  de  T. 

5°  Considérons  une  Menge  T  dont  les  éléments 
sont  eux-mêmes  des  ^/en^'cn;  il  existe  une  i/e^^e  ST, 
dont  les  éléments  sont  les  éléments  des  éléments 
de  T.  Si  par  exemple  T  a  trois  éléments  A,  B,  C, 
qui  sont  eux-mêmes  des  Mengen;  si  A  a  deux  élé- 
ments a  et  a',  B  deux  éléments  b  et  b',  G  deux 
éléments  c  et  c',  ST  aura  six  éléments  a,  b,  c, 
a',  b',  c'. 

6°  Si  on  a  une  Menge  T  dont  les  éléments  sont 
eux-mêmes  des  Mengen,  on  peut  choisir  dans  cha- 
cune de  ces  Mengen  élémentaires  un  élément,  et 
l'ensemble  des  éléments  ainsi  choisis  forme  une 
Untermenge  de  ST. 

7°  Il  existe  au  moins  une  Menge  intime. 

Avant  de  discuter  ces  axiomes,  je  dois  répondre 

11 


i26  DERNIÈRES    PENSÉES 

à  une  question;  pourquoi,  dans  leur  énoncé,  ai-je 
conservé  le  nom  allemand  Menge  au  lieu  de  le  tra- 
duire par  le  mot  français  ensemble?  C'est  parce  que 
ie  ne  suis  pas  sûr  que  le  mot  Menge  conserve  dans 
ces  axiomes  son  sens  intuitif,  sans  quoi  il  serait 
difficile  de  rejeter  la  définition  de  Cantor;  or  le 
mot  français  ensemble  suggère  ce  sens  intuitif  d'une 
façon   trop   impérieuse,  pour  qu'on   puisse  l'em- 
ployer sans  inconvénient  quand  ce  sens  est  altéré. 
Je  n'insisterai  pas  beaucoup  sur  le  7*  axiome; 
1  j'en  dois  cependant  dire  un  mot  pour  faire  remar- 
I  quer   la   façon    très   originale    dont   M.    Zermelo 
l'énonce;  il  ne  se  contente  pas  en  effet  de  l'énoncé 
que  j'ai  donné;  il  dit  :  il  existe  une  Menge  M  qui 
ne  peut  contenir  l'élément  a,  sans  contenir  égale- 
ment comme    élément  la  Menge  (a),   c'est-à-dire 
celle  dont  a  est  l'unique  élément.  Et  alors  si  M 
(  admet  l'élément   a,   elle  en    admettra   une   série 
,  d'autres,  à  savoir  la  Menge  dont  a  est  l'unique  élé- 
I  ment,  la  Menge  dont  l'unique  élément  est  la  Menge 
dont  l'unique  élément  est  a  et  ainsi  de  suite.  On 
voit  assez  que  le  nombre  de  ces  éléments  doit  être 
infini.   Au  premier  abord,  ce  détour  parait  bien 
bizarre  et  bien  artificiel,  et  il  l'est  en  effet;  mais 
M.  Zermelo  a  voulu  éviter  de   prononcer  le  mot 
I  infini,  parce  qu'il  considère  ses  axiomes  comme 
antérieurs  à  la  distinction  du  fini  et  de  l'infini. 
Passons  aux  six  premiers  axiomes;  ils  peuvent 


LA    LOGIQUE    DE    l'iNFINI  127 

être  regardés  comme  évidents,  dès  qu'on  donne 
au  mot  Menge  son  sens  intuitif  et  si  on  ne  consi- 
dère que  des  objets  en  nombre  fini.  Mais  ils  ne  le 
sont  pas  plus  que  cet  autre  axiome  que  l'auteur 
rejette  expressément  : 

S"  Des  objets  quelconques  forment  une  Menge. 

Et  alors  nous  devons  nous  poser  une  question  ; 
pourquoi  l'évidence  de  l'axiome  8  cesse-t-elle  dès 
qu'il  s'agit  de  collections  infinies,  tandis  que  celle 
des  six  premiers  subsiste? 

Si,  pour  résoudre  cette  question,  nous  nous 
reportons  à  l'énoncé  des  axiomes,  nous  aurons  un 
premier  étonnement;  nous  constaterons  que  tous 
ces  axiomes  sans  exception  ne  nous  apprennent 
qu'une  chose,  c'est  que  certaines  collections,  for- 
mées d'après  certaines  lois,  constituent  des  Men- 
gen;  de  sorte  que  ces  axiomes  ne  nous  apparaîtront 
plus  que  comme  des  règles  destinées  à  étendre  le 
sens  du  mot  Menge,  comme  de  pures  définitions  de 
[  mots.  Et  cela  est  vrai  aussi  bien  du  8°  axiome 
que  nous  rejetons,  que  des  sept  premiers  que  nous 
acceptons. 

Nous  sommes  avertis  pourtant  bien  vite  que 
cette  première  impression  est  trompeuse;  de  sem- 
blables définitions  de  mots  ne  nous  exposeraient 
pas  à  la  contradiction;  celle-ci  ne  serait  à  craindre 
que  si  nous  avions  d'autres  axiomes  affirmant  que 
certaines  collections  ne  sont  pas  des  Mengen:  et  nous 


128  DERNIÈRES    PENSÉES 

n'en  avons  pas.  Cependant  si  nous  rejetons  le 
8*  axiome,  c'est  pour  éviter  la  contradiction  : 
M.  Zermelo  le  dit  explicitement. 

Il  faut  donc  bien  qu'il  n'ait  pas  considéré  ses 
axiomes  comme  de  simples  définitions  de  mots,  et 
qu'il  ait  attribué  au  mot  Menge  un  sens  intuitif 
préexistant  à  tous  ses  énoncés,  quoique  différant 
quelque  peu  du  sens  habituel.  Il  n'est  pas  impos- 
sible de  l'apercevoir  en  recherchant  l'usage  que 
l'auteur  en  fait  dans  ses  raisonnements.  Une  Menge 
c'est  quelque  chose  sur  quoi  l'on  peut  raisonner; 
c'est  quelque  chose  de  fixe  et  d'immuable  dans  une 
certaine  mesure.  Définir  un  ensemble,  une  Menge, 
une  collection  quelconque,  c'est  toujours  faire  une 
classification,  séparer  les  objets  qui  appartiennent 
à  cet  ensemble  de  ceux  qui  n'en  font  pas  partie. 
Nous  dirons  alors  que  cet  ensemble  n'est  pas  une 
Menge,  si  la  classification  correspondante  n'est  pas 
prédicative.  et  que  c'est  une  Menge,  si  cette  clas- 
sification est  prédicative  ou  si  on  peut  en  raison- 
ner comme  si  elle  l'était. 

Si  nous  rejetons  le  8^  axiome,  c'est  parce  que 
des  objets  quelconques  formeront  sans  doute  une 
collection,  mais  une  collection  qui  ne  sera  jamais 
close,  et  dont  l'ordre  pourra  à  chaque  instant  être 
troublé  par  Tadjonction  d'éléments  inattendus. 
C'est  une  collection  qui  n'est  pas  prédicative  et  au 
contraire,   quand   nous  disons  par  exemple  qu'à 


LA    LOGIQUE    DE    L  INFINI 


129 


chaque  Menge  T  correspond  une  autre  Menge  UT 
ou  ST  définie  de  telle  ou  telle  manière,  nous  affir- 
mons que  cette  définition  est  prédicative,  ou  que 
nous  avons  le  droit  de  faire  comme  si  elle  l'était. 
Et  c'est  ici  le  lieu  de  parler  d'une  distinction 
qui  joue  un  rôle  essentiel  dans  la  théorie  de 
M.  Zermelo  :  «  Eine  Frage  oder  Aussage  E,  ueber 
deren  Gûltigkeit  oder  Ungiiltigkeit  die  Grund- 
beziehungen  des  Bereiches  vermôge  der  Axiome 
und  der  allgemeingûlligen  logischen  Gesetze  ohne 
Willkûr  unterscheiden,  heisst  définit.  »  Le  mot 
définit  semble  ici  sensiblement  synonyme  de  prédi- 
catif.  Mais  l'usage  qu'en  fait  M.  Zermelo  montre 
que  la  synonymie  n'est  pas  parfaite.  Ainsi  suppo- 
sons par  exemple  que  cette  question  E  soit  la  sui- 
vante :  tel  élément  de  la  Menge  M  possède-t-il  telle 
relation  avec  tous  les  autres  éléments  de  la  même 
Menge,  et  que  nous  convenions  de  dire  que  tous 
les  éléments  pour  lesquels  on  doit  répondre  oui 
forment  une  classe  K?  Pour  moi,  et  je  crois  aussi 
pour  M.  Russell,  une  pareille  question  n'est  pas 
prédicative;  parce  que  les  autres  éléments  de  M 
sont  en  nombre  infini,  qu'on  pourra  sans  cesse  en 
introduire  de  nouveaux,  et  que  parmi  les  nouveaux 
éléments  introduits,  il  pourra  y  en  avoir  dans  la 
[définition  desquels  entre  la  notion  de  la  classe  K, 
I  c'est-à-dire  de  l'ensemble  des  éléments  qui  pos- 
sèdent   la  propriété  E.    Pour  M.  Zermelo,   cette 


130 


DERNIERES    PENSEES 


question  serait  définit  sans  que  je  sache  exactement 
où  est  la  démarcation  exacte,  entre  les  questions 
qui  sont  définit  et  celles  qui  ne  le  sont  pas.  Il  lui 
semble  que,  pour  savoir  si  un  élément  possède  la 
propriété  E  par  rapport  à  tous  les  autres  éléments 
de  M,  il  suffît  de  vérifier  s'il  la  possède  par  rap- 
port à  chacun  d'eux.  Si  la  question  est  définit  par 
rapport  à  chacun  de  ses  éléments,  elle  le  sera  ipso 
fado  par  rapport  à  tous  ces  éléments. 

Et  c'est  ici  qu'apparaît  la  divergence  de  nos  vues. 
M.  Zermelo  s'interdit  de  considérer  l'ensemble  de 
tous  les  objets  qui  satisfont  à  une  certaine  condi- 
tion parce  qu'il  lui  semble  que  cet  ensemble  n'est 
jamais  clos  ;  qu'on  pourra  toujours  y  faire  entrer 
de  nouveaux  objets.  Au  contraire  il  n'a  aucun 
scrupule  à  parler  de  l'ensemble  des  objets  qui 
font  partie  d'une  certaine  Menge  M  et  qui  satisfont 
de  plus  à  une  certaine  condition.  Il  lui  semble  qu'il 
ne  peut  posséder  une  Menge,  sans  posséder  du 
même  coup  tous  ses  éléments.  Parmi  ces  éléments, 
il  choisira  ceux  qui  satisfont  à  une  condition  donnée, 
et  il  pourra  faire  ce  choix  bien  tranquillement, 
sans  crainte  qu'on  vienne  le  troubler  en  introdui- 
sant des  éléments  nouveaux  et  inattendus,  puisque 
ces  éléments,  il  les  a  déjà  tous  entre  les  mains. 
En  posant  d'avance  sa  Menge  M,  il  a  élevé  un  mur 
de  clôture  qui  arrête  les  gêneurs  qui  pourraient 
venir  du  dehors.  Mais  il  ne  se  demande  pass'il  ne  peut 


LA    LOGIQUE    DE    l'iNFINI  131 

y  avoir  des  gêneurs  du  dedans  qu'il  a  enfermés 
avec  lui  dans  son  mur.  Si  la  Menge  M  a  une  infi- 
nité d'éléments,  cela  veut  dire  non  que  ces  éléments 
puissent  être  conçus  comme  existant  d'avance  tous 
'  la  fois,  mais  qu'il  peut  sans  cesse  en  naître 
de  nouveaux  ;  ils  naîtront  à  l'intérieur  du  mur,  au 
Heu  de  naître  dehors,  voilà  tout.  Quand  je  parle  de 
tous  les  nombres  entiers,  je  veux  dire  tous  les 
nombres  entiers  qu'on  a  inventés  et  tous  ceux 
qu'on  pourra  inventer  un  jour  ;  quand  je  parle  de 
tous  les  points  de  l'espace,  je  veux  dire  tous  les 
points  dont  les  coordonnées  sont  exprimables  par 
des  nombres  rationnels,  ou  par  des  nombres  algé- 
briques, ou  par  des  intégrales,  ou  de  toute  autre 
manière  que  l'on  pourra  inventer.  Et  c'est  ce 
«  Von  pourra  »  qui  est  l'infini.  Mais  on  pourra  en 
inventer  que  l'on  définira  de  bien  des  façons,  et  si 
nous  reprenons  comme  tout  à  l'heure  notre  ques- 
tion E  et  notre  classe  K,  la  question  E  se  pose  de 
nouveau  chaque  fois  qu'on  définira  un  nouvel  élé- 
ment de  M  ;  or,  parmi  ces  éléments  que  nous 
pourrons  définir,  il  y  en  aura  dont  la  définition 
dépendra  de  cette  classe  K.  De  sorte  que  le  cercle 
vicieux  n'aura  pu  être  évité. 

Voilà  pourquoi  les  axiomes  de  M.  Zermelo  ne 
sauraient  me  satisfaire.  Non  seulement  ils  ne  me 
semblent  pas  évidents,  mais  quand  l'on  me  deman- 
dera s'ils  sont  exempts   de  contradiction,  je  ne 


132  DERNIÈRES    PENSÉES 

saurai  que  répondre.  L'auteur  a  cru  éviter  le  para- 
doxe du  plus  grand  cardinal,  en  s'interdisant  toute 
spéculation  en  dehors  de  l'enceinte  d'une  Mcnge 
bien  close;  il  a  cru  éviter  le  paradoxe  de  Richard,  en 
ne  posant  que  des  questions  définit^  ce  qui,  d'après 
le  sens  qu'il  donne  à  cette  expression,  exclut  toute 
considération  sur  les  objets  qui  peuvent  être  définis 
en  un  nombre  fini  de  mots.  Mais  s'il  a  bien  fermé 
sa  bergerie,  je  ne  suis  pas  sûr  qu'il  n'y  ait  pas 
enfermé  le  loup.  Je  ne  serais  tranquille  que  s'il 
avait  démontré  qu'il  est  à  l'abri  de  la  contradiction; 
je  sais  bien  qu'il  ne  pouvait  le  faire,  puisqu'il  aurait 
fallu  s'appuyer  par  exemple  sur  le  principe  d'induc- 
tion, qu'il  ne  révoquait  pas  en  doute,  mais  qu'il  se 
proposait  de  démontrer  plus  loin.  Il  aurait  dû 
passer  outre  ;  cela  aurait  été  au  prix  d'une  faute 
l  de  logique,  jn  ai  s  du  moins  nous  en  serions  sûrs. 

§  6.  — L'EMPLOI  DE  L'INFINI 

Est-il  possible  de  raisonner  sur  des  objets  qui 
ne  peuvent  pas  être  définis  en  un  nombre  fini  de 
mots?  Est-il  possible  même  d'en  parler  en  sachant 
de  quoi  l'on  parle,  et  en  prononçant  autre  chose 
que  des  paroles  vides?  Ou  au  contraire  doit-on  les 
regarder  comme  impensables?  Quant  à  moi.  Je 
n'hésite  pas  à  répondre  que  ce  sont  de  purs 
néants. 


LA    LOGIQUE    DE    l'iNFINI  133 

Tous  les  objets  que  nous  aiironsjamais  à  envi- 
sager, ou  bien  seront  définis  en  un  nombre  fini  de 
mots,  ou  bien  ne  seront  qu^i^mparfaitement  déter- 
minés et  demeurerontjndiscernables  d^une  foule 
d'autres  objets  ;  et  nous  ne  pourrons  raisonner 
congrument  à  leur  endroit,  que  quand  nous  les 
aurons  distingués  de  ces  autres  objets  avec  lesquels 
ils  demeurent  confondus,  c'est-à-dire  quand  nous 
serons  arrivés  à  les  définir  en  un  nombre  fini  de 
mots. 

Si  nous  considérons  un  ensemble,  et  que  nous 
voulions   en  définir  les  différents  éléments,  cette 
définition  se  décomposera  naturellement  en  deux 
parties  ;  la  prernière  partie  de  la  définition,  commune    '  "  /"" 
à  tous  les  éléments  de  l'ensemble,  nous  apprendra    '"^ 
à  les  distinguer  des  éléments  qui  sont  étrangers  à 
cet  ensemble  ;  ce  sera  la  définition  de  l'ensemble  ; 
la  seconde  partie  nous  apprendra  à  distinguer  les  jC^.\ 
uns  des   autres   les  diflerents  éléments   de   l'en-       '''' 
semble. 

Chacune  de  ces  deux  parties  devra  se  composer 
d'un  nombre  fini  de  mots.  Si  on  parle  de  tous  les 
éléments  d'un  ensemble  dont  on  donne  la  défini- 
tion, on  veut  parler  de  tous  les  objets  qui  satis-  l 
font  à  la  première  partie  de  la  définition  et  qu'on 
pourra  achever  de  définir  par  telle  phrase  d'un 
nombre  fini  de  mots  que  l'on  voudra.  On  ne  vous 
donne  que  la  moitié  de  la  définition,  vous  pouvez 

12 


134  DERNIÈRES    PENSÉES 

ensuite  la  compléter,  en  choisissant  la  seconde 
moitié  comme  il  vous  plaira  ;  mais  il  faut  que  vous 
la  complétiez.  Si  j'affirme  une  proposition  au  sujet 
de  tous  les  objets  d'un  ensemble,  je  veux  dire  que 
si  un  objet  satisfait  à  la  première  partie  de  la  défi- 
nition, la  proposition  en  ce  qui  concerne  cet  objet 
restera  vraie,  quelle  que  soit  la  manière  dont  vous 
énoncerez  la  seconde  partie;  mais  si  vous  pouvez 
l'énoncer  comme  vous  voulez,  il  est  nécessaire  que 
vous  l'énonciez,  sans  quoi  l'objet  serait  impensable 
et  la  proposition  n'aurait  aucun  sens. 

Ce  n'est  pas  qu'on  ne  puisse  faire  et  qu'on  n'ait  fait 
quelques  objections  à  cette  façon  de  voir.  Les 
phrases  d'un  nombre  fini  de  mots  pourront  toujours 
être  numérotées,  puisqu'on  peut  par  exemple  les 
classer  par  ordre  alphabétique.  Si  tous  les  objets 
pensables  doivent  être  définis  par  de  semblables 
phrases,  on  pourra  aussi  leur  donner  un  numéro. 
11  n'y  aurait  donc  pas  plus  d'objets  pensables  que 
de  nombres  entiers;  et  si  l'on  considère  l'espace, 
par  exemple,  si  l'on  en  exclut  les  points  qui  ne 
peuvent  être  définis  en  un  nombre  fini  de  mots  et 
qui  sont  de  purs  néants,  il  n'y  restera  pas  plus  de 
points  qu'il  n'y  a  de  nombres  entiers.  Et  Cantor  a 
démontré  le  contraire. 

Ce  n'est  là  qu'un  trompe-l'œil  ;  représenter  les 
points  de  l'espace  par  la  phrase  qui  sert  à  les  défi- 
nir j  classer  ces  phrases  et  les  points  correspon- 


LA    LOGIQUE    DE    l'iNFINI  135 

dants  d'après  les  lettres  qui  forment  ces  phrases, 
c'est  construire  une  classification  qui  n'est  pas 
prédicative,  qui  entraîne  tous  les  inconvénients, 
tous  les  parai  ogi  s  m  es,  toutes  les  antinomies  dont 
j'ai  parlé  au  début  de  ce  chapitre.  Qu'a  voulu  dire 
Cantor  et  qu'a-t-il  réellement  démontré  ?  On  ne 
peut  trouver,  entre  les  nombres  entiers  et  les  points 
de  l'espace  définissables  en  un  nombre  fini  de 
mots,  une  loi  de  correspondance  satisfaisant  aux 
conditions  suivantes  :  1°  Cette  loi  peut  s'énoncer 
en  un  nombre  fini  de  mots.  2°  Étant  donné  un 
entier  quelconque,  on  peut  trouver  le  point  de  l'es- 
pace correspondant,  et  ce  point  sera  entièrement 
défini  sans  ambiguïté  ;  la  définition  de  ce  point 
qui  se  compose  de  deux  parties,  la  définition  de 
l'entier  et  l'énoncé  de  la  loi  de  correspondance,  se 
réduira  à  un  nombre  fini  de  mots,  puisque  notre 
entier  peut  se  définir,  et  notre  loi  s'énoncer  en  «m 
nombre  fini  de  mots.  3°  Étant  donné  un  point  Pd^. 
l'espace  que  je  suppose  défini  en  un  nombre  fini  de 
mots  [sans  m'interdire  de  faire  figurer  dans  cette 
définition  des  allusions  à  la  loi  de  correspondance 
elle-même,  ce  qui  est  essentiel  dans  la  démonstra- 
tion de  Cantor)  il  y  aura  un  entier  qui  sera  déter- 
miné sans  ambiguïté  par  l'énoncé  de  la  loi  de  cor- 
respondance et  par  la  définition  du  point  P.  4°  La  loi 
de  correspondance  doit  être  prédicative,  c'est-à-dire 
que  si  elle  fait  correspondre  un  point  P  à  un  entier. 


136 


DERNIERES    PENSEES 


'  elle  ne  devra  pas  cesser  de  faire  correspondre  ce 
point  P  à  ce  même  entier,  quand  on  aura  introduit 
I  de  nouveaux  points    de   l'espace.    Voilà    ce   que 
;  Cantor  a  démontré  et  cela  reste  toujours  vrai  ;  on 
'^    voit  quel  est  le  sens  compliqué  enfermé  dans  cette 
brève  proposition  :  le  nombre  cardinal  des  points 
de  l'espace  est  plus  grand  que  celui  des  entiers. 
,  Et  alors  que  devons-nous  conclure?  Tout  théo- 

_,y(l  rème  de  mathématiques  doit  pouvoir  être  vérifié. 
Quand  j'énonce  ce  théorème,  j'affirme  que  toutes 
les  vérifications  que  j'en  tenterai  réussiront  ;   et 
même  si  l'une  de  ces  vérifications  exige  un  travail 
qui   excéderait  les  forces  d'un  homme,  j'affirme 
I    que,   si  plusieurs   générations,  cent,  s'il  le  faut, 
jugent  à  propos  de  s'atteler  à  cette  vérification, 
elle  réussira  encore.  Le  théorème  n'a  pas  d'autre 
sens,  et  cela  est  encore  vrai  si  dans  son  énoncé  on 
parle  de  nombres  infinis  ;  mais  comme  les  vérifî- 
;   cations  ne  peuvent  porter  que  sur  des  nombres 
i   finis,  il  s'ensuit  que  tout  théorème  sur  les  nombres 
infinis  ou  surtout  sur  ce  qu'on  apj)ell^e  ensembles 
infinis,  ou  cardinaux  transfinis,  ou  ordinaux  trans- 
finis, etc.,  etc.,  ne  peut  être  qu'une  façon  abrégée 
r  d'énoncer  des  propositions  sur  les  nombres  finis, 
j,  S'il  en  est  autrement,  ce  théorème  ne  sera  pas 
j  ^       il  vérifiable,  et  s'il  n'est  pas  vérifiable,  il  n'aura  pas 
de_sçns. 

Et  il  s'ensuit  qu'il  ne  saurait  y  avoir  d'axiome 


LA    LOGIQUE    DE    l'iNFINI  137 

évident  conceriiant  les  nombres  infinis;  toute  pro- 
priété des  nombres  infinis  n'est  que  la  traduction 
d'une  propriété  des  nombres  finis  ;  c'est  cette  der- 
nière qui  pourra  être  évidente,  tandis  qu'il  fau- 
dra démontrer  la  première  en  la  comparant  à  la 
dernière  et  en  montrant  que  'a  traduction  est 
exacte. 

§.  7.  —  RÉSUMÉ 

Les  antinomies  auxquelles  certains  logiciens  ont 
été  conduits  proviennent  de  ce  qu'ils  n'ont  pas  pu 
éviter  certains  cercles  vicieux.  Cela  leur  est  arrivé 
quand  ils  considéraient  des  collections  finies,  mais 
cela  leur  est  arrivé  bien  plus  souvent  quand  ils 
avaient  la  prétention  de  traiter  des  collections  infi- 
nies. Dans  le  premier  cas,  ils  auraient  pu  éviter 
aisément  le  piège  où  ils  sont  tombés  ;  ou  plus  exac- 
tement ils  ont  eux-mêmes  tendu  le  piège  où  ils  se 
sont  amusés  à  tomber,  et  même  ils  ont  été  obligés 
de  faire  bien  attention  pour  ne  pas  tomber  à  côté 
du  piège  ;  en  un  mot,  dans  ce  cas  les  antinomies 
ne  sont  que  des  joujoux.  Bien  différentes  sont  j|  /- 
celles  qu'engendre  la  notion  do  l'infini  ;  il  arrive 
souvent  qu'on  y  tombe  sans  le  faire  exprès,  et 
même  quand  on  est  averti,  on  n'est  pas  encore 
bien  tranquille. 

Les  tentatives  qui  ont  été  faites  pour  sortir  de 

12 


138  DERNIÈRES    PENSÉES 

ces  difficultés  sont  intéressantes  à  plus  d'un  titre^ 
mais  elles  ne  sont  pas  entièrement  satisfaisantes. 
M.  Zermelo  a  voulu  construire  un  système  impec- 
cable d'axiomes  ;  mais  ces  axiomes  ne  peuvent  être 
regardés  comme  des  décrets  arbitraires,  puisqu'il 
faudrait  démontrer  que  ces  décrets  ne  sont  pas 
contradictoires,  et  qu'ayant  fait  entièrement  table 
rase  on  n'a  plus  rien  sur  quoi  l'on  puisse  appuyer 
une  semblable  démonstration.  Il  faut  donc  que  ces 
axiomes  soient  évidents  par  eux-mêmes.  Or  quel 
est  le  mécanisme  par  lequel  on  les  a  construits? 
[  on  a  pris  les  axiomes  qui  sont  vrais  des  collections 
I  finies;  on  ne  pouvait  les  étendre  tous  aux  collec- 
I  tiens  infinies,  on  n'a  fait  cette  extension  que  pour 
1  un  certain  nombre  d'entre  eux,  choisis  plus  ou 
'  moins  arbitrairement.  A  mon  sens^d^ailleurs,  ainsi 
que  je  l'ai  dit  plus  haut,  aucune  propositionjîon- 
cernant  les  collections  infinies  ne  peut  être  évi- 
dente par  intuition. 

M.  Russell  a  mieux  compris  la  nature  de  la  diffi- 
culté à  vaincre,  il  ne  l'a  cependant  pas  entièrement 
f[   vaincue,  parce  que  sa  hiérarchie  des  types  suppose 
0(  i    la  théorie  des  ordinaux^léjà^ faite. 

Quant  à  moi,  je  proposerais  de  s'en  tenir  aux 
règles  suivantes  : 

1°  Ne  jamais  envisager  que  des  objets  suscep- 
tibles d'être  définis  en  un  nombre  fini  de  mots; 
j        2°  Ne  jamais  perdre  de  vue  que  toute  proposi- 


LA    LOGIQUE    DE    L  INFINI 


131> 


tion  sur  l'infini  doit  être  la  traduction,  l'énoncé 
abrégé  de  propositions  sur  le  fini; 

3°  Éviter  les  classifications  et  les  définitions 
non  prédicatives. 

Toute's  les  recherches  dont  nous  avons  parlé  ont 
un  caractère  commun.  On  se  propose  d'enseigner 
les  mathématiques  à  un  élève  qui  ne  sait  pa& 
encore  la  difTérence  qu'il_X-a__entre_  l'infini  eUe 
fini;  on  ne  se  hâte  pas  de  lui  apprendre  en  quoi 
consiste  cette  différence;  on  commence  par  lui 
montrer  tout  ce  qu'on  peut  savoir  de  l'infini  sans 
se  préoccuper  de  cette  distinction;  puis  dans  une 
région  écartée  du  champ  qu'on  lui  a  fait  parcou- 
rir, on  lui  découvre  un  petit  coin  où  se  cachent  les 
nombres  finis. 

Cela  me  paraît  psychologiquement  faux;  ce  n'est 
pas  ainsi  que  l'esprit  humain  procède  naturelle- 
ment, et  quand  même  on  devrait  s'en  tirer  sans 
trop  de  mésaventures  antinomiques,  cela  n'en 
serait  pas  moins  une  méthode  contraire  à  toute 
saine  psychologie. 

M.  Russell  me  dira  sans  doute  qu'il  ne  s'agit  pas 
de  psychologie,  mais  de  logique  et  d'épistémo- 
lggiei_et  moi,  je  serai  conduit  à  répondre  qu'il  n'y 
a  pas  de  logique  et  d'épistémologie  indépendantes 
de  la  psychologie;  et  cette  profession  de  foi  clora 
probablement  la  discussion  parce  qu'elle  mettra 
en  évidence  une  irrémédiable  divergence  de  vues- 


CHAPITRE  V 
LES  MATHÉMATIQUES  ET  LA  LOGIQUE 


CHAPITRE  V 
LES  MATHÉMATIQUES  ET  LA  LOGIQUE 


II  y  a  quelques  années,  j'ai  eu  l'occasion  d'exposer 
certaines  idées  sur  la  logique  de  l'infini;  sur  l'em- 
ploi de  l'infini  en  Mathématiques,  sur  l'usage  qu'on 
en  fait  depuis  Cantor;  j'ai  expliqué  pourquoi  je  ne 
regardais  pas  comme  légitimes  certains  modes  de 
raisonnements  dont  divers  mathématiciens  éminents 
avaient  cru  pouvoir  se  servir*.  Je  m'attirai  naturel- 
lement de  vertes  répliques;  ces  mathématiciens  ne 
croyaient  pas  s'être  trompés,  ils  croyaient  avoir  eu 
le  droit  de  faire  ce  qu'ils  avaient  fait.  La  discussion 
s'éternisa,  non  pas  que  l'on  vît  sans  cesse  surgir  de 
nouveaux  arguments,  mais  parce  qu'on  tournait 
toujours  dans  le  même  cercle,  chacun  répétant  ce 
qu'il  venait  de  dire,  sans  paraître  avoir  entendu  ce 
que  l'adversaire  avait  dit.  A  chaque  instant,  on 
m'envoyait  une  nouvelle  démonstration  du  principe 
contesté,  pour  se  mettre,  disait-on,  à  l'abri  de  toute 
objection;  mais  cette  démonstration,  c'était  tou- 

1.  Voir  cliap,  ÏV. 


144 


DERNIERES    PENSEES 


jours  la  même,  à  peine  maquillée.  On  n'est  donc 
arrivé  à  aucune  conclusion  ;  si  je  disais  que  j'en  ai 
été  étonné,  je  donnerais  une  triste  idée  de  ma  péné- 
tration psychologiaue. 

Dans  ces  conditions,  convient-il  de  répéter  une 
fois  de  plus  les  mêmes  arguments,  auxquels  je  pour- 
rais peut-être  donner  une  forme  nouvelle,  mais 
"auxquels  je  ne  pourrais  rien  changer  dans  le  fond, 
puisqu'il  me  semble  qu'on  n'a  pas  même  essayé  de 
les  réfuter.  II  me  semble  préférable  de  rechercher 
quelle  peut  être  l'origine  de  cette  différence  de 
mentalité  qui  engendre  de  telles  divergences  de  vues. 
Je  viens  de  dire  que  ces  divergences  irréductibles 
ne  m'avaient  pas  étonné,  que  je  les  avais  prévues 
dès  la  première  heure,  mais  cela  ne  nous  dispense 
pas  d'en  chercher  l'explication;  on  peut  prévoir 
un  fait,  à  la  suite  d'expériences  répétées,  et  être 
pourtant  très  embarrassé  pour  l'expliquer. 

Cherchons  donc  à  étudier  la  psychologie  des 
deux  écoles  adverses,  à  un  point  de  vue  puremen" 
objectif,  comme  si  nous  étions  nous-mêmes  placés 
en  dehors  de  ces  écoles,  comme  si  nous  décrivions 
une  guerre  entre  deux  fourmilières;  nous  consta- 
terons d'abord  qu'il  y  a  chez  les  mathématiciens 
deux  tendances  opposées  dans  la  façon  d'envisager 

'     l'infini.  Pour  les  uns,  l'infini  dérive  du  fini,  il  y  aun 
infini  parce  qu'il  y  a  une  infinité   de  choses  finies 

\    ossibles;  pour  les  autres  l'infini  préexiste  au  fini. 


LES    BlATIlÉMAngUES    ET    LA    LOGIQUE  145 

le  fini  s'oblient  en  découpant  un  petit  morceau 
dans  l'infini. 

Un  théorème  doit  pouvoir  être  vérifié,  mais 
comme  nous  sommes  nous-mêmes  finis,  nous  ne 
pouvons  opérer  que  sur  des  objets  finis;  lors  donc 
même  que  la  notion  d'infini  joue  un  rôle  dans  l'é- 
noncé du  théorème,  il  faut  que  dans  la  vérification 
il  n'en  soit  plus  question;  sans  quoi  cette  vérifica- 
tion serait  impossible.  Je  prendrai  comme  exemples 
des  théorèmes  comme  ceux-ci  :  la  suite  des  nombres 

1 
premiers  est  illimitée.  la  série  2  — ^  est  conver- 

gente,  etc.;  chacun  d'eux  peut  se  traduire  par  des 
égalités  ou  des  inégalités  où  ne  figurent  que  des 
nombres  finis.  Ces  théorèmes  participent  de  l'infini, 
non  parce  qu'une  des  vérifications  possibles  en 
participe  elle-même,  mais  parce  que  les  vérifications 
possibles  sont  en  nombre  infini. 

En  énonçant  le  théorème,  j'affirme  que  toutes  ces 
vérifications  réussiraient;  bien  entendu,  on  ne  les 
fait  pas  toutes;  il  y  en  a  que  j'appelle  possibles 
parce  qu'elles  n'exigeraient  qu'un  temps  fini,  mais 
qui  seraient  pratiquement  impossibles  parce  qu'elles 
demanderaient  des  années  de  travail.  Il  me  suffit 
qu'on  puisse  concevoir  quelqu'un  d'assez  riche  et 
d'assez  fou  pour  la  tenter  en  payant  un  nombre  suffi 
sant  d'auxiliaires.  La  démonstration  du  théorème  a 
précisément  pour  but  de  rendre  cette  folie  inutile. 


15 


146  DERNIÈRES    PENSÉES 

Un  théorème  qui  ne  comporte  aucune  conclusion 
vérifiable  a-t-il  un  sens?  ou  plus  généralement  un 
théorème  quelconque  a-t-il  un  sens  en  dehors  des 
vérifications  qu'il  comporte?  C'est  ici  que  les  mathé- 
maticiens diiïèrent.  Ceux  de  la  première  école,  ceux 
que  j'appellerai  les  Pragmatistes  (puisqu'il  faut  bien 
leur  donner  un  nom)  répondent  non,  et  quand  on 
leur  apporte  un  théorème  sans  leur  donner  un 
moyen  de  le  vérifier,  ils  n'y  voient  que  de  la  bouil- 
lie pour  les  chats.  Ils  ne  veulent  envisager  que  des 
objets  qui  peuvent  être  définis  en  un  nombre  fini 
de  mots;  quand  dans  un  raisonnement  on  leur 
parle  d'un  objet  A  satisfaisant  à  certaines  condi- 
tions, ils  sous-entendent  un  objet  qui  satisfait  à  ces 
conditions  quels  que  soient  d'ailleurs  les  mots  dont 
on  se  servira  pour  achever  de  le  définir,  pourvu 
que  ces  mots  soient  en  nombre  fini. 

Ceux  de  l'autre  école,  que  j'appellerai,  pour  abré- 
ger, les  Cantoriens,  ne  veulent  pas  admettre  cela  ; 
un  homme,  quelque  bavard  qu'il  soit,  ne  pronon- 
cera jamais  dans  sa  vie  plus  d'un  milliard  de  mots; 
et  alors  allons-nous  exclure  de  la  Science  les  objets 
dont  la  définition  contient  un  milliard  et  un  mots? 
et  si  nous  ne  les  excluons  pas,  pourquoi  exclurions- 
nous  ceux  qui  ne  peuvent  être  définis  que  par  une 
infinité  de  mots,  puisque  la  construction  des  uns  est 
comme  celle  des  autres  au-dessus  de  la  portée  de 
l'humanité? 


LES    MATHÉMATIQUES    ET    LA    LOGIQUE  147 

Cet  argument  laisse  bien  entendu  les  Pragma- 
tistes  froids;  quelque  bavard  que  soit  un  homme, 
l'humanité  sera  lus  bavarde  encore  et  comm« 
nous  ne  savons  pas  combien  de  temps  elle  durera, 
nous  ne  pouvons  pas  limiter  d'avance  le  champ 
de  ses  investigations  ;  nous  savons  seulement  que 
ce  champ  restera  toujours  limité;  et  quand  même 
nous  pourrions  fixer  la  date  de  sa  disparition,  il  y 
a  d'autres  astres  qui  pourraient  reprendre  l'œuvre 
inachevée  sur  la  Terre;  les  Pragmatistes  n'au- 
raient d'ailleurs  pas  de  répugnance  à  imaginer  une 
humanité  beaucoup  plus  bavarde  que  la  nôtre, 
mais  conservant  encore  quelque  chose  d'humain; 
ils  se  refusent  à  raisonner  sur  l'hypothèse  de  je 
ne  sais  quelle  divinité  infiniment  bavarde  et  sus- 
ceptible de  penser  une  infinité  de  mots  en  un  temps 
fini.  Et  les  autres  pensent  au  contraire  que  les  objets 
existent,  dans  une  sorte  de  grand  magasin,  indé- 
pendamment de  toute  humanité  ou  de  toute  divinité 
qui  pourrait  en  parler  ou  y  penser;  que  dans  ce 
magasin  ntus  pouvons  faire  notre  choix,  que  sans 
doute  nous  n'avons  pas  assez  d'appétit  ou  assez 
d'argent  pour  tout  acheter;  mais  que  l'inventaire 
du  magasin  est  indépendant  des  ressources  des 
acheteurs.  Et  de  ce  malentendu  initial  résultent 
toutes  sortes   de  divergences   de  détail. 

Prenons  pour  exemple  le  théorème  de  Zermelo, 
d'après  lequel  l'espace  est  susceptible  d'être  trans- 


148  DERNIÈRES    PENSÉES 

formé  en  un  ensemble  bien  ordonné;  les  Can- 
toriens  seront  séduits  par  la  rigueur,  réelle  ou 
apparente,  de  la  démonstration;  les  Pragmatistes 
lui  répondront:  Vous  dites  que  vous  pouvez  trans- 
former l'espace  en  un  ensemble  bien  ordonné;  eh 
bien  !  transformez-le.  —  Ce  serait  trop  long.  — Alors 
montrez-nous  au  moins  que  quelqu'un  qui  aurait 
assez  de  temps  et  de  patience  pourrait  faire  la  trans- 
formation. —  Non,  nous  ne  le  pouvons  pas  parce 
que  le  nombre  des  opérations  à  faire  est  infini,  il 
est  même  plus  grand  que  Alephzéro.  —  Pouvez- 
vous  montrer  comment  on  pourrait  exprimer  en  un 
nombre  fini  de  mots  la  loi  qui  permettrait  d'ordon- 
ner l'espace?  —  Non  —  et  les  Pragmatistes  con- 
cluent que  le  théorème  est  dénué  de  sens,  ou  faux, 
ou  tout  au  moins  indémonlré. 

Les  Pragmatistes  se  placent  au  point  de  vue  de 
l'extension  et  les  Cantoriens  au  point  de  vue  de 
la  compréhension.  Quand  il  s'agit  d'une  collection 
finie,  cette  distinction  ne  peut  intéresser  que  les 
théoriciens  de  la  logique  formelle;  mais  elle  nous 
apparaît  comme  beaucoup  plus  profonde  en  ce  qui 
concerne  les  collections  infinies.  Si  on  se  place  au 
point  de  vue  de  l'extension,  une  collection  se  cons- 
titue par  l'adjonction  successive  de  nouveaux 
membres;  nous  pouvons  en  combinant  les  objets 
anciens  construire  des  objets  nouveaux,  puis  avec 
ceux-ci  des  objets  encore  plus  nouveaux,  et  si  la 


LBS    MATHÉMATIQUES    ET    LA    LOGlgUE  149 

collecfion  est  infinie,  c'est  parce  qu'il  n'y  a  pas  de 
raison  pour  s'arrêter. 

Au  point  de  vue  de  la  compréhension  au  contraire, 
nous  partons  de  la  collection  où  se  trouvent  des 
objets  préexistants,  qui  nous  apparaissent  d'abord 
comme  indistincts,  mais  nous  finissons  par  recon- 
naître quelques-uns  d'entre  eux  parce  que  nous  y 
collons  des  étiquettes  et  que  nous  les  rangeons  dans 
dcb  tiroirs  ;  mais  les  objets  sont  antérieurs  aux  éti- 
quette», et  la  collection  existerait  quand  même  il 
n'y  aurait  pas  de  conservateur  pour  la  classer. 

Pour  les  Cantoriens  la  notion  de  nombre  cardinal 
ne  comporte  pas  de  mystère.  Deux  collections  ont 
le  même  nombre  cardinal  quand  on  peut  les  ranger 
dans  les  mêmes  tiroirs  ;  rien  de  plus  facile  puisque 
les  deux  collections  préexistent,  et  qu'on  peut 
regarder  également  comme  préexistante  une  collec- 
tion de  tiroirs  indépendante  des  conservateurs 
chargés  d'y  ranger  les  objets.  Pour  les  Pragmatistes, 
il  n'en  va  pas  de  même;  la  collection  ne  préexiste 
pas,  elle  s'enrichit  chaque  jour:  de  nouveaux  objets 
s'y  adjoignent  sans  cesse  qu'on  n'aurait  pu  définir 
sans  s'appuyer  sur  la  notion  des  objets  déjà  anté- 
rieurement classés  et  sur  la  façon  dont  ils  sont  clas- 
sés. A  chaque  nouvelle  acquisition,  le  conservateur 
peut  être  forcé  de  bouleverser  ses  tiroirs  pour  trou- 
ver le  moyen  de  la  caser:  on  ne  saura  jamais  si 
deux  collections  peuvent  se  ranger  dans  les  mêmes 

13. 


150  DERMÈRES    PENSÉES 

tiroirs,  puisqu'on  peut  toujours  craindre  qu'il  soit 
nécessaire  de  les  déranger. 

Par  exemple,  les  Pragmatistes  n'admettent  que 
les  objets  qui  peuvent  être  définis  en  un  nombre 
fini  de  mots;  les  définitions  possibles,  étant  expri- 
mables par  des  phrases,  peuvent  toujours  être 
numérotées  avec  des  numéros  ordinaires  depuis 
un  jusqu'à  l'inlini.  A  ce  compte  il  n'y  aurait  qu'un 
seul  nombre  cardinal  iiif^ci  possible,  le  nombre 
Alephzéro  ;  pourquoi  dibons-nous  alors  que  la 
puissance  du  continu  n'est  pas  celle  des  nombres 
entiers?  Oui,  étant  donnés  tous  les  points  de  Tes- 
pace  que  nous  savons  définir  avec  des  mots  en 
nombre  fini,  nous  savons  imaginer  une  loi,  expri- 
mable erie-même  par  un  nombre  fini  de  mots, 
qui  les  fait  correspondre  à  la  suite  des  nombres 
entiers;  mais  considérons  maintenant  des  phrases 
où  figure  la  notion  de  cette  loi  de  correspondance; 
tout  à  l'heure  elles  n'avaient  aucun  sens  puisque 
cette  loi  n'était  pas  encore  inventée,  et  elles  ne 
pouvaient  servir  à  définir  des  points  de  l'espace; 
maintenant  elles  ont  acquis  un  sens,  elles  vont 
nous  permettre  de  définir  de  nouveaux  points  de 
l'espace;  mais  ces  nouveaux  points  ne  trouveront 
plus  de  place  dans  la  classification  adoptée,  ce  qui 
nous  contraindra  à  la  bouleverser.  Et  c'est  cela 
que  nous  voulons  dire,  d'après  les  Pragmatistes, 
quand  nous  disons  que  la  puissance  du  continu 


LES    MATHÉMATIQUES    ET    LA    LOGIQUE  151 

n'est  pas  celle  des  nombres  entiers.  Nous  voulons 
dire  qu'il  est  impossible  d'établir  entre  ces  deux 
ensembles  une  loi  de  correspondance  qui  soit  à 
l'abri  de  cette  sorte  de  bouleversement;  au  lieu 
qu'on  peut  le  faire  par  exemple  quand  il  s'agit 
d'une  droite  et  d'un  plan. 

Et  alors  les  Pragmatistes  ne  sont  pas  certains 
qu'un  ensemble  quelconque  ait,  à  proprement 
parler, un  nombre  cardinal  ;  ou  bien  qu'étant  donnés 
deux  ensembles  on  puisse  toujours  savoir  s'ils  ont 
la  même  puissance,  ou  si  l'un  a  une  puissance  plus 
grande  que  l'autre.  Ils  en  viennent  ainsi  à  douter 
de  l'existence  d'Aleph-un. 

Une  autre  source  de  divergence  vient  de  la  façon 
de  concevoir  la  définition.  11  y  a  plusieurs  sortes 
de   définitions;    la  définition  directe  q'iî   p^vt  se 
faire  soit  par  genus  proximum  et  di/ferenfiam  spe 
cificam  soit  par  construction. 

Notons  en  passant  qu'il  y  a  des  définitions 
incomplètes  en  ce  sens  qu'elles  définissent  non  pas 
un  individu,  mais  un  genre  tout  entier;  elles  sont 
légitimes  et  ce  sont  même  celles  dont  on  fait  le 
plus  fréquemment  usage;  mais  d'après  les  Prag- 
matistes, on  doit  sous-entendre  l'ensemble  des 
individus  qui  satisfont  à  la  définition  et  qu'on 
pourrait  achever  de  définir  en  un  nombre  fini  de 
mots;  pour  les  Cantoriens  cette  restriction  est  arti- 
ficielle et  dénuée  de  si'rnification. 


152 


DERNIERES    PENSEES 


S'il  n'y  avait  que  des  définitions  directes,  l'im- 
puissance de  la  logique  pure  ne  saurait  être  con- 
testée ;  on  pourrait  alors  dans  une  proposition 
quelconque  remplacer  chacun  des  termes  par  sa 
définition;  quand  on  aurait  terminé  cette  substi- 
tution, ou  bien  la  proposition  ne  se  réduirait  pas 
à  une  identité  et  alors  elle  ne  serait  pas  suscep- 
tible d'une  démonstration  purement  logique  ;  ou 
bien  elle  se  réduirait  à  une  identité  et  alors  elle  ne 
serait  qu'une  tautologie  plus  ou  moins  habilement 
déguisée. 

Mais  nous  avons  encore  une  autre  sorte  de  défi- 
nitions, les  définitions  par  postulats  ;  généralement 
nous  saurons  que  l'objet  à  définir  appartient  à  un 
genre,  mais  quand  il  s'agira  d'énoncer  la  diffé- 
rence spécifique,  on  ne  l'énoncera  pas  directement, 
mais  à  l'aide  d'un  «  postulat  »  auquel  l'objet  défini 
devra  satisfaire.  C'est  ainsi  que  les  mathématiciens 
peuvent  définir  une  quantité  x  par  une  équation 
explicite  x  =  f{y),  ou  par  une  équation  implicite 
F{x,y)  =  0. 

La  définition  par  postulat  n'a  de  valeur  que  quand 
on  a  démontré  l'existence  de  l'objet  défini;  dans 
le  langage  mathématique,  cela  veut  dire  que  le 
postulat  n'implique  pas  contradiction;  on  n'a  pas 
le  droit  de  négliger  cette  condition;  il  faut  ou  bien 
admettre  l'absence  de  contradiction  comme  une 
vérité  intuitiTGj  comme  un  axiome,  par  une  sorte 


LES    MATHÉMATIQUES    ET    LA    LOGIQUE  153 

d'acte  de  foi;  mais  alors  il  faut  se  rendre  compte 
de  ce  qu'on  fait  et  savoir  qu'on  a  allongé  la  liste 
des  axiomes  indémontrables;  ou  bien  il  faut  cons- 
truire une  démonstration  en  règle,  soit  par  l'exem- 
ple, soit  par  l'emploi  du  raisonnement  par  récur- 
rence. Ce  n'est  pas  que  cette  démonstration  soit 
moins  nécessaire  quand  il  s'agit  d'une  définition 
directe,  mais  elle  est  généralement  plus  facile. 

Certains  Pragmatistes  seront  plus  exigeants  : 
pour  qu'ils  regardent  une  définition  comme  légi- 
time, il  ne  leur  suffira  pas  qu'elle  ne  conduise  pas 
à  des  contradictions  dans  les  termes,  il  leur  faudra 
encore  qu'elle  ait  un  sens,  à  leur  point  de  vue 
particulier  que  j'ai  cherché  à  définir  plus  haut. 

Quoi  qu'il  en  soit,  la  logique  restera-t-elle  sté- 
rile, après  l'introduction  des  définitions  par  pos- 
tulats? Nous  ne  pouvons  plus,  étant  donnée  una 
proposition,  y  remplacer  un  terme  par  sa  défini- 
tion; tout  ce  que  nous  pouvons  faire,  c'est  d'élimi 
ner  ce  terme  entre  la  proposition  et  le  postulat 
qui  lui  sert  de  définition.  Si  celte  opération,  faite 
d'après  ce  qu'on  pourrait  appeler  les  règles  de 
l'élimination  logique,  ne  nous  conduit  pas  à  une 
identité,  c'est  que  la  proposition  est  indémon- 
trable par  la  logique  pure;  si  elle  conduit  à  une 
identité,  c'est  que  la  proposition  n'est  qu'une  tau- 
tologie. Nous  n'avons  rien  à  changer  à  nos  conclu- 
sions de  tout  à  l'heure. 


154  DERNIÈRES    PENSÉES 

I  Mais  il  y  a  une  troisième  sorte  de  définitions,  ce 
iqui  est  l'origine  d'un  nouveau  malentendu  entre 
les  Pragmatistes  et  les  Cantoriens.  Ce  sont  encore 
des  définitions  par  postulat,  mais  le  postulat  est 
ici  une  relation  entre  l'objet  à  définir  et  tous  les 
individus  d'un  genre  dont  l'objet  à  définir  est  sup- 
posé faire  lui-même  partie  (ou  bien  dont  sont 
supposés  faire  partie  des  êtres  qui  ne  peuvent  être 
eux-mêmes  définis  que  par  l'objet  à  définir).  C'est 
ce  qui  arrive  si  nous  posons  les  deux  postulais 
suivants  : 

X  (objet  à  définir)  a  telle  relation  avec   tous 

les  individus  du  genre  G. 
X  fait  partie  du  genre  G. 

ou  bien  les  trois  postulais  suivants  : 

X  a  telle  relation  avec  tous  les  individus  du 
genre  G. 

Y  a  telle  relation  avec  X. 

Y  fait  partie  de  G. 

Pour  les  Pragmatistes  une  pareille  définition 
impl'que  un  cercle  vicieux.  On  ne  peut  définir  X 
sans  connaître  tous  les  individus  du  genre  G,  et 
par  conséquent  sans  connaître  X  qui  est  un  de  ces 
I  individus.  Les  Cantoriens  n'admettent  pas  cela;  le 
genre  G  nous  est  donné,  par  conséquent  nous  en 
connaissons  tous  les  individus,  la  définition  a  pour 
but  seulement  de  discerner   parmi  ces    individus 


LES    MATHÉMATIQUES    ET    LA    LOGIQUE  155 

celui  qui  a  avec  tous  ses  camarades  la  relation 
énoncée.  Non,  répondent  leurs  adversaires,  lacon-1 
naissance  du  genre  ne  vous  fait  pas  connaître  tousi 
ses  individus,  elle  vous  donne  seulement  la  possi-| 
bilité  de  les  construire  tous,  ou  plutôt  d'en  cons- 
truire autant  que  vous  voudrez.  Ils  n'existeront 
qu'après  qu'ils  auront  été  construits,  c'est-à-dire 
après  qu'ils  auront  été  définis;  X  n'existe  que  par 
sa  définition  qui  n'a  de  sens  que  si  l'on  connaît 
d'avance  tous  les  individus  de  G  et  en  particulier  X. 
Il  ne  servirait  à  rien  de  dire,  ajoutent-ils,  que  ce 
n'est  pas  un  cercle  vicieux  de  définir  X  par  sa  rela- 
tion avec  X,  que  cette  relation  est  en  somme  un 
postulat  qui  peut  servir  à  définir  X  ;  car  il  faudrait 
établir  au  préalable  que  ce  postulat  n'implique 
pas  contradiction,  mais  ce  n'est  pas  d'ordinaire  ce 
qu'on  fait  dans  ce  genre  de  définitions.  On  démon- 
tre d'abord  que  quel  que  soit  le  genre  G,  dont  tous 
les  individus  sont  supposés  connus,  il  existe  un 
être  X  qui  a  avec  ce  genre  la  relation  en  question  ; 
c'est-à-dire  que  l'exislence  de  cet  être  n'entraîne 
pas  la  contradiction;  il  resterait  à  faire  voir  qu'il 
n'y  a  pas  contradiction  entre  l'existence  de  cet  être 
et  l'hypothèse  que  cet  être  fait  lui-même  partie  du 
genre. 

Le  débat  pourrait  se  poursuivre  longtemps  ; 
mais  le  point  que  je  voudrais  mettre  en  évidence, 
c'est  que  si  ce  genre  de  définitions  était  admis,  la 


156  DEKNIÏIIES    PENSÉES 

logique  ne  serait  plus  stérile,  et  la  preuve  c'est 
qu'on  a  bâti  de  la  sorte  une  foule  de  raisonnements 
destinés  à  démontrer  des  propositions  qui  n'étaient 
nullement  des  tautologies  puisqu'il  y  a  des  gens 
qui  se  demandent  si  elles  ne  sont  pas  fausses.  Et 
alors  on  admire  le  pouvoir  que  peut  avoir  un  mot. 
Voilà  un  objet  dont  on  n'aurait  rien  pu  tirer,  tant 
qu'il  n'était  pas  baptisé;  il  a  suffi  de  lui  donner 
un  nom  pour  qu'il  fît  des  merveilles.  Comment  cela 
se  fait-il?  C'est  parce  qu'en  lui  donnant  un  nom, 
nous  avons  affirmé  implicitement  que  l'objet  exis- 
tait (c'est-à-dire  était  pur  de  toute  contradiction) 
et  qu'il  était  entièrement  déterminé.  Or,  cela  nous 
n'en  savons  rien  à  ce  que  prétendent  les  Pragma- 
tistes.  Quel  est  donc  le  mécanisme  qui  rend  la 
démonstration  féconde?  c'est  bien  simple,  on  nie 
la  proposition  à  démontrer  et  on  montre  qu'on  se 
trouve  en  contradiction  avec  l'existence  de  l'objet 
X  ;  et  cela  n'est  légitime  que  si  l'on  est  certain  de 
cette  existence,  et  d'autre  part,  si  l'on  sait  que 
l'objet  est  entièrement  déterminé.  Et  en  effet  si  X 
A^  déduit  du  genre  G  par  la  définition,  que  si 
ensuite  on  complète  le  genre  G  en  y  adjoignant 
l'objet  X  et  les  autres  individus  du  même  genre 
qui  peuvent  en  dériver;  que  si  l'on  appelle  G' le 
genre  ainsi  complété  et  X'  ce  qui  se  déduirait  de 
G'  par  la  définition  de  la  même  façon  que  X  s'eet 
déduit  de  G,  il  faut  qu'on  soit  sûr  que  X'  est  iden- 


LES    MATHÉMATIQUES    ET    LA    LOGIQUE  157 

tique  à  X.  S'il  n'en  était  pas  ainsi  et  qu'en  niant  la 
proposition  à  démontrer,  on  fût  conduit  à  deux 
énoncés  contradictoires 

?i(X)  =  0,   92(X)=0 

comment  saurait-on  que  c'est  bien  le  même  X  qui 
figure  dans  l'une  et  dans  l'autre?  Si  X  figurait 
dans  l'une  et  X'  dans  l'autre,  les  deux  propositions 
s'écriraient 

rp,(X)  =  0,    <P2(X')  =  0, 

et  ne  seraient  plus  contradictoires  en  général. 

Pourquoi   donc  les   Pragmalistes  font-ils   cette 

objection?  C'est  parce   que  le  genre  G  ne  leur 

apparaît  que  comme  une  collection  susceptible  de 

s'accroître   indéfiniment,    à   mesure   qu'on   cons- 

l  truira  de  nouveaux  individus,  possédant  les  carac- 

■  tères    convenables;    c'est   ainsi   que    G    ne   peut 

i  jamais  être  posé  ne  varietur,  comme  le  font  les 

'  Cantoriens,   et  qu'on  n'est  pas  sûr  que,   par  de 

nouvelles  annexions,  il  ne  deviendra  pas  G'. 

Je  me  suis  en"orcé  d'expliquer  aussi  clairement 
et  aussi  impartialement  que  je  l'ai  pu  en  quoi 
consistent  les  divergences  entre  les  deux  écoles 
de  mathématiciens;  et  il  me  semble  que  nous  en 
apercevons  déjà  la  véritable  cause;  les  savants 
des  deux  écoles  ont  des  tendances  mentales  oppo- 
sées ;  ceux  que  j'ai  appelés  les  Pragmatistes  sont 

14 


158 


DERNIERES    PENSEES 


des  idéalistes,  les  Cantoriens  sont  des  réalistes. 

Il  y  a  une  chose  qui  nous  confîrnnera  dans  cette 
manière  de  voir.  Nous  voyons  que  les  Cantoriens 
(qu'on  me  passe  ce  vocable  commode  bien  que  je 
veuille  parler  ici  non  des  mathématiciens  qui 
suivent  la  voie  ouverte  par  Cantor,  ni  peut-être 
même  des  philosophes  qui  se  réclament  de  lui, 
mais  de  ceux  qui  ont  les  mêmes  tendances  d'une 
façon  indépendante),  que  les  Cantoriens,  dis-je, 
parlent  constamment  d'épistémologie,  c'est-à-dire 
de  la  science  des  sciences  ;  et  il  est  bien  entendu 
que  cette  épistémologie  est  tout  à  fait  indépen- 
dante de  la  psychologie;  c'est-à-dire  qu'elle  doit 
nous  apprendre  ce  que  seraient  les  sciences  s'il 
n'y  avait  pas  de  savants  ;  que  nous  devons  étudier 
les  sciences,  non  sans  doute  en  supposant  qu'il 
n'y  a  pas  de  savants,  mais  du  moins  sans  sup- 
poser qu'il  y  en  a.  Ainsi  non  seulement  la  Nature 
est  une  réalité  indépendante  du  physicien  qui 
pourrait  être  tenté  de  l'étudier,  mais  la  physique 
elle-même  est  aussi  une  réalité  qui  subsisterait 
s'il  n'y  avait  pas  de  physiciens.  C'est  bien  là  du 
réalisme. 

Et  pourquoi  les  Pragmatistes  refusent-ils  d'ad- 
mettre des  objets  qui  ne  pourraient  être  définis 
par  un  nombre  fini  de  mots?  C'est  parce  qu'ils 
considèrent  qu'un  objet  n'existe  que  quand  il  est 
pensé,   et  qu'on  ne  saurait   concevoir  un   objet 


LES    MATHÉMATIQUES    ET    LA    LOGIQUE  159 

pensé  indépendamment  d'un  sujet  pensant.  C'est 
bien  là  de  l'idéalisme.  Et  comme  un  sujet  pensant 
c'est  un  homme,  ou  quelque  chose  qui  ressemble 
à  l'homme,  que  c'est  par  conséquent  un  être  fini, 
l'infini  ne  peut  avoir  d'autre  sens  que  la  possi- 
bilité de  créer  autant  d'objets  finis  qu'on  le  veut. 

Et  alors  on  peut  faire  une  remarque  assez 
curieuse.  Les  réalistes  se  placent  d'ordinaire  au 
point  de  vue  physique;  ce  sont  les  objets  maté- 
riels, ou  les  âmes  individuelles,  ou  ce  qu'ils 
appellent  les  substances,  dont  ils  affirment  l'exis- 
tence indépendante.  Le  monde  pour  eux  existait 
avant  la  création  de  l'homme,  avant  même  celle 
des  êtres  vivants  ;  il  existerait  encore  même  s'il  n'y 
avait  pas  de  Dieu  ni  aucun  sujet  pensant.  Cela, 
c'est  le  point  de  vue  du  sens  Commun,  et  ce  n'est 
que  par  la  réflexion  qu'on  peut  être  amené  à 
l'abandonner.  Les  partisans  du  réalisme  physique 
sont  en  général  fînitistes;  dans  la  question  des 
antinomies  kantiennes,  ils  tiennent  pour  les 
thèses;  ils  croient  que  le  monde  est  limité.  Telle 
est  par  exemple  la  manière  de  voir  de  M.  Evellin. 
Au  contraire  les  idéalistes  n'ont  pas  les  mêmes 
répugnances  et  sont  tout  prêts  à  souscrire  aux 
antithèses. 

Mais  les  Cantoriens  sont  réalistes,  même  en  ce 
qui  concerne  les  entités  mathématiques  ;  ces 
entités  leur  paraissent  avoir  une  existence  indé- 


160  DERNIÈRES    PENSÉES 

pendante;  le  géomètre  ne  les  crée  pas,  il  les 
découvre.  Ces  objets  existent  alors  pour  ainsi  dire 
sans  exister,  puisqu'ils  se  réduisent  à  de  pures 
essences;  mais  comme,  par  nature,  ces  objets  sont 
en  nombre  infini,  les  partisans  du  réalisme  mathé- 
matique sont  beaucoup  plus  infînitistes  que  les 
idéalistes;  leur  infini  n'est  plus  un  devenir,  puis- 
qu'il préexiste  à  l'esprit  qui  le  découvre;  qu'ils 
l'avouent  ou  qu'ils  le  nient,  il  faut  donc  qu'ils 
croient  à  l'infini  actuel. 

On  reconnaît  là  la  théorie  des  idées  de  Platon  ;  et 
cela  peut  paraître  étrange  de  voir  Platon  classé 
parmi  les  réalistes  ;  rien  n'est  pourtant  plus 
opposé  à  l'idéalisme  contemporain  que  le  plato- 
nisme, bien  que  cette  doctrine  soit  également  très 
éloignée  du  réalisme  physique. 

Je  n'ai  jamais  connu  de  mathématicien  plus 
réaliste,  au  sens  platonicien,  qu'Hermite,  et  pour- 
tant je  dois  avouer  que  je  n'en  ai  pas  rencontré  de 
plus  réfractaire  au  Cantorisme.  Il  y  a  là  une  appa- 
rente contradiction,  d'autant  plus  qu'il  répétait 
volontiers  :  Je  suis  anticantorien  parce  que  je  suis 
réaliste.  Il  reprochait  à  Cantor  de  €réer  des  objets, 
au  lieu  de  se  contenter  de  les  découvrir.  Sans 
doute  à  cause  de  ses  convictions  religieuses  consi- 
dérait-il comme  une  sorte  d'impiété  de  vouloir 
pénétrer  de  plain-pied  dans  un  domaine  que  Dieu 
seul  peut  embrasser  et  de  ne  pas  attendre  qu'il 


LES    MATHÉMATigL'ES    ET    LA    LOGIQUE  161 

nous  en  révèle  un  à  un  les  mystères.  Il  comparait 
les  sciences  mathématiques  aux  sciences  natu- 
relles. Un  naturaliste  qui  aurait  cherché  à  deviner 
le  secret  de  Dieu,  au  lieu  de  consulter  l'expé- 
rience, lui  aurait  paru  non  seulement  présomp- 
tueux mais  irrespectueux  pour  la  majesté  divine; 
les  Cantoriens  lui  paraissaient  vouloir  agir  de 
même  en  mathématiques.  Et  c'est  pourquoi,  réa- 
liste en  théorie,  il  était  idéaliste  en  pratique.  Il  y 
a  une  réalité  à  connaître  et  elle  est  extérieure  à 
nous  et  indépendante  de  nous  ;  mais  tout  ce  que 
nous  en  pouvons  connaître  dépend  de  nous,  et  n'est 
plus  qu'un  devenir,  une  sorte  de  stratification  de 
conquêtes  successives.  Le  reste  est  réel  mais  éter- 
nellement inconnaissable. 

Le  cas  d'Hermite  est  d'ailleurs  isolé  et  je  ne 
m'y  étends  pas  davantage.  De  tout  temps,  il  y  a  eu 
en  philosophie  des  tendances  opposées  et  il  ne 
semble  pas  que  ces  tendances  soient  sur  le  point 
de  se  concilier.  C'est  sans  doute  parce  qu'il  y  a 
des  âmes  différentes  et  qu'à  ces  âmes  nous  ne 
pouvons  rien  changer.  II  n'y  a  donc  aucun  espoir 
de  voir  l'accord  s'établir  entre  les  Pragmatistes  et 
les  Cantoriens.  Les  hommes  ne  s'entendent  pas 
parce  qu'ils  ne  parlent  pas  la  même  langue  et 
qu'il  y  a  des  langues  qui  ne  s'apprennent  pas. 

Et  pourtant  en  mathématiques  ils  ont  coutume 
de  s'entendre  ;  mais  c'est  justement  grâce  à  ce  que 

14 


162  DERNIÈRES    PENSÉES 

j'ai  appelé  les  vérifications;  elles  jugent  en  der- 
nier ressort  et  devant  elles  tout  le  monde  s'in- 
cline. Mais  là  où  ces  vérifications  font  défaut,  les 
mathématiciens  ne  sont  pas  plus  avancés  que  de 
simples  philosophes.  Quand  il  s'agit  de  savoir  4 
un  théorème  peut  avoir  un  sens  sans  être  véri- 
fiable,  qui  pourra  juger  puisque  par  définition 
on  s'interdit  de  vérifier?  On  n'aurait  plus  de  res- 
source que  d'acculer  son  adversaire  à  une  contra- 
diction. Mais  l'expérience  a  été  faite  et  elle  n'a 
pas  réussi. 

On  a  signalé  beaucoup  d'antinomies,  et  le  désac- 
cord a  subsisté,  personne  n'a  été  convaincu  ; 
d'une  contradiction,  on  peut  toujours  se  tirer  par 
un  coup  de  pouce;  je  veux  dire  par  un  distinguo. 


CHAPITRE  VI 
L'HYPOTHESE  DES  QUANTA 


CHAPITRE    VI 
L'HYPOTHÈSE  DES  QUANTA 


On  peut  se  demander  si  la  Mécanique  n'est  pas 
à  la  veille  d'un  nouveau  bouleversement;  récem- 
ment s'est  réuni  à  Bruxelles  un  Congres  où  étaient 
assemblés  une  vingtaine  de  physiciens  de  diverses 
nationalités,  et,  à  chaque  instant,  on  aurait  pu  les 
entendre  parler  de  la  Mécanique  nouvelle  qu'ils 
opposaient  à  la  Mécanique  ancienne  ;  or,  qu'était-ce 
que  cette  Mécanique  ancienne?  Était-ce  celle  de 
Newton,  celle  qui  régnait  encore  sans  conteste  à  la 
fin  du  XIX'  siècle  ?  Non,  c'était  la  Mécanique  de 
Lorentz,  celle  du  principe  de  relativité,  celle  qui,  il  y 
a  cinq  ans  à  peine,  paraissait  le  comble  de  la  har- 
diesse. 

Cela  veut-il  dire  que  cette  Mécanique  de  Lorentz 
n'a  eu  qu'une  fortune  éphémère,  qu'elle  n*a  été 
qu'un  caprice  de  la  mode  et  qu'on  est  sur  le  point 
de  revenir  aux  anciens  dieux  qu'on  avait  imprudem- 
ment délaissés  ?  Pas  le  moins  du  monde,  les  con- 


^ 


166  DERNIÈRES    PENSÉES 

quêtes  d'hier  ne  sont  pas  compromises  ;  en  tous  les 
points  où  elle  s'écarte  de  celle  de  Newton,  la  Méca- 
nique de  Lorenlz  subsiste.  On  continue  à  croire 
qu'aucun  corps  mobile  ne  pourra  jamais  dépasser 
la  vitesse  de  la  lumière,  que  la  masse  d'un  corps 
n'est  pas  une  constante,  mais  qu'elle  dépend  de  sa 
vitesse  et  de  l'angle  que  fait  cette  vitesse  avec  la 
force  qui  agit  sur  lui,  qu'aucune  expérience  ne 
pourra  jamais  décider  si  un  corps  est  en  repos  ou 
en  mouvement  absolu,  soit  par  rapport  à  l'espace 
absolu,  soit  même  par  rapport  à  l'éther. 

Seulement  à  ces  hardiesses,  on  veut  en  ajouter 
d'autres,  et  beaucoup  plus  déconcertantes.  On  ne  se 
demande  plus  seulement  si  les  équations  différen- 
tielles de  la  Dynamique  doivent  être  modifiées,  mais 
si  les  lois  du  mouvement  pourront  encore  être 
exprimées  par  des  équations  différentielles.  Et  ce 
serait  là  la  révolution  la  plus  profonde  que  la  Phi- 
losophie Naturelle  ait  subie  depuis  Newton.  Le  clair 
génie  de  Newton  avait  bien  vu  (ou  cru  voir,  nous 
commençons  à  nous  le  demander)  que  l'état  d'un 
système  mobile,  ou  plus  généralement  celui  de 
l'univers,  ne  pouvait  dépendre  que  de  son  état 
immédiatement  antérieur,  que  toutes  les  variations 
dans  la  nature  doivent  se  faire  d'une  manière  con- 
tinue. Certes,  ce  n'était  pas  lui  qui  avait  inventé 
celte  idée  ;  elle  se  trouvait  dans  la  pensée  des 
anciens   et    des    scolastiques,    qui   proclamaient 


l'hypothèse  des  quanta  167 

l'adage  :  Natura  non  facit  saltus;  mais  elle  y  était 
étouffée  par  une  foule  de  mauvaises  herbes  qui 
l'empêchaient  de  se  développer  et  que  les  grands 
philosophes  du  xvii'  siècle  ont  fini  par  élaguer. 

Eh  bien,  c'est  cette  idée  fondamentale  qui  est 
aujourd'hui  en  question  ;  on  se  demande  s'il  ne  faut 
pas  introduire  dans  les  lois  naturelles  des  discon- 
tinuités, non  pas  apparentes,  mais  essentielles,  et 
nous  devons  expliquer  d'abord  comment  on  a  pu 
être  conduit  à  une  façon  de  voir  aussi  extraordi- 
naire. 

§  1.  —  THERMODYNAMIQUE  ET  PROBABILITÉ 

Reportons-nous  à  la  théorie  cinétique  des  gaz; 
les  gaz  sont  formés  de  molécules  qui  circulent  dans 
tous  les  sens  avec  de  grandes  vitesses  ;  leurs  trajec- 
toires seraient  rectilignes  si  de  temps  en  temps  elles 
ne  se  choquaient  entre  elles,  ou  si  elles  ne  heur- 
taient les  parois  du  vase.  Les  hasards  de  ces  chocs 
finissent  par  établir  une  certaine  distribution 
moyenne  des  vitesses,  soit  que  l'on  considère  leur 
direction,  soit  que  l'on  envisage  leur  grandeur; 
cette  distribution  moyenne  tend  à  se  rétablir  d'elle- 
même  dès  qu'elle  est  troublée;  de  sorte  que,  malgré 
la  complication  inextricable  des  mouvements,  l'ob- 
servateur qui  ne  peut  voir  que  des  moyennes 
n'aperçoit  que  des  lois  très  simples  qui  sont  l'effet 


168  »>EBNIÈRES    PENSÉES 

du  itu  des  probabilités  et  des  grands  nombres.  Il 
observe  l'équilibre  statistique.  C'est  ainsi  par 
exemple  que  les  vitesses  seront  également  réparties 
dans  toutes  les  directions,  car  si  elles  cessaient  un 
instant  de  l'être,  si  elles  tendaient  à  prendre  une 
direction  commune,  les  chocs  au  bout  de  très  peu 
de  temps  la  leur  auraient  fait  perdre. 

Le  calcul  conduit  à  une  autre  conséquence;  la 
force  vive  que  va  prendre  en  moyenne  chaque  molé- 
cule est  proportionnelle  au  nombre  de  ses  degrés 
de  liberté  ;  je  m'explique  ;  un  corps  peut  prendre  un 
certain  nombre  de  mouvements  très  petits,  diffé- 
rents ;  par  exemple,  un  point  matériel  peut  se  mou- 
voir suivant  les  trois  axes,  il  a  trois  degrés  de 
liberté  ;  une  sphère  peut  subir  une  translation 
parallèle  à  chacun  des  trois  axes,  ou  encore  une 
rotation  autour  de  ces  trois  axes,  elle  a  six  degrés 
de  liberté.  Or,  une  molécule  n'est  pas  un  simple 
point  matériel,  elle  est  susceptible  de  déformation, 
elle  aura  donc  plusieurs  degrés  de  liberté  ;  par 
exemple  une  molécule  d'argon  en  aura  3,  une  molé- 
cule d'oxygène  en  aura  5.  Alors,  d'après  la  loi  que 
nous  énonçons  et  que  l'on  appelle  la  loi  d'équipar- 
tition,  si  dans  l'équilibre  statistique  une  molécule 
d'argon  possède  à  une  certaine  température  la  force 
vive  3,  une  molécule  d'oxygène  devra  posséder  la 
force  vive  5  ;  en  d'autres  termes,  les  chaleurs  spéci- 
fiques moléculaires  à  volume  constant  de  l'argon  et 


l'hypothèse  des  quanta  169 

de  l'oxygène  devront  être  entre  elles  comme  3  est 
à  5. 

Et  cette  loi,  convenablement  interprétée,  n'est 
pas  seulement  vraie  des  gaz;  elle  résulte  en  effet  de 
la  forme  même  que  l'on  a  toujours  attribuée  aux 
équations  de  la  Dynamique  et  qui  est  la  forme  de 
Hamilton.  Si  les  lois  générales  de  la  Dynamique 
sont  applicables  aux  liquides  et  aux  solides  ces  corps 
doivent  obéir  à  la  loi  d'équipartition,  matatis  mu- 
tandis. 

Le  principe  de  Carnot,  ou  second  principe  de  la 
Thermodynamique,  nous  apprend  que  le  monde 
tend  vers  un  état  final  dont  il  ne  pourra  plus 
s'écarter;  il  nous  apprend  donc  que  l'équilibre  sta- 
tistique est  possible;  s'il  ne  l'était  pas,  on  pourrait 
toujours  trouver  quelque  artifice  permettant  de  réa- 
liser ce  qu'on  a  appelé  le  mouvement  perpétuel  de 
seconde  espèce,  permettant  par  exemple  de  cbautTer 
une  machine  à  vapeur  avec  de  la  glace,  en  profitani 
de  ce  que  cette  glace,  quelque  froide  qu'elle  soit, 
n'est  pourtant  pas  au  zéro  absolu  et  contient,  par 
conséquent,  une  certaine  quantité  de  chaleur.  Si 
les  lois  de  l'équilibre  statistique  n'étaient  pas  les 
mêmes  quand  on  met  en  présence  les  corps  A  et  B, 
ou  bien  les  corps  Bet  C,  ou  bien  enfin  les  corps  G 
et  A,  il  serait  aisé,  en  rapprochant  tantôt  deux  de 
ces  corps,  tantôt  deux  autres,  de  changer  sans  cesse 
les  conditions  de  cet  équilibre  ;  ces  corps  ne  cen- 
ts 


170  DERNIÈRES    PENSÉES 

naîtraient  ainsi  jamais  le  repos  définitif,  et  il  n'y 
aurait  pas  d'équilibre  statistique  véritable  ;  le  prin- 
cipe de  Carnot  serait  faux. 

Par  quelle  singulière  coïncidence  les  condi- 
tions de  cet  équilibre  sont-elles  donc  toujours  les 
mêmes,  quels  que  soient  les  corps  mis  en  pré- 
sence? les  considérations  qui  précèdent  nous  le 
font  comprendre,  c'est  parce  que  les  lois  générales 
de  la  Dynamique,  exprimées  par  les  équations 
différentielles  de  Ilamilton,  s'appliquent  à  tous  les 
corps. 

Ces  conceptions  avaient  jusqu'ici  toujours  été 
confirmées  par  l'expérience,  et  les  vérifications  sont 
aujourd'hui  assez  nombreuses  pour  qu'on  ne  puisse 
les  attribuer  au  hasard.  Il  faudra  donc,  si  de  nou- 
velles expériences  mettent  des  exceptions  en  évi-^ 
dence,  non  pas  abandonner  la  théorie,  mais  la 
modifier,  l'élargir  de  façon  à  lui  permettre  d'em- 
brasser les  faits  nouveaux. 

Ce  n'est  pas  que  certaines  objections  ne  se  soient, 
dès  le  premier  jour,  présentées  à  tous  les  esprits. 
Les  molécules,  les  atomes  eux-mêmes,  ne  sont  pas 
des  points  matériels;  s'ils  ont  des  dimensions,  est-il 
permis  de  les  assimiler  à  des  corps  absolument 
rigides;  ou  bien  quelque  simple  que  soit  la  molé- 
cule d'argon,  ce  ne  pourra  être  un  point  mathéma- 
tique, ce  sera  une  sphère  ;  pourquoi  ceLte  sphère  ne 
pourra-t-elle  pas  tourner,  et  si  elle  tourne,  cela 


l'hypothèse  des  quanta  171 

fera  6  degrés  de  liberté  au  lieu  de  3*.  A  moins 
que  l'on  ne  suppose  que  les  chocs,  capables  de 
modifier  la  translation  de  la  molécule,  sont  absolu- 
ment sans  influence  sur  sa  rotation  ;  qu'ils  ne  peuvent 
faire  subir  à  cette  molécule  la  moindre  déforma- 
tion, etc.  D'ailleurs,  chaque  raie  du  spectre  corres- 
pond à  un  degré  de  liberté.  Inutile  de  dire  que  le 
spectre  de  l'oxygène  comprend  plus  de  5  raies. 
Pourquoi  certains  degrés  de  liberté  ne  semblent-ils 
jouer  aucun  rôle;  pourquoi  sont-ils  pour  ainsi  dire 
ankylosés  tant  que  n'interviennent  pas  de  mysté- 
rieuses circonstances? 

§  2.  —  LA  LOI  DU  RAYONNEMENT 

Les  physiciens  ne  se  préoccupèrent  pas  d'abord 
de  ces  difficultés,  mais  deux  faits  nouveaux  vinrent 
changer  la  face  des  choses  ;  le  premier,  c'est  ce 
qu'on  appelle  la  loi  du  rayonnement  noir.  Un  corps 
parfaitement  noir  est  celui  dont  le  coefficient  d'ab- 
sorption est  égal  à  1  ;  un  pareil  corps  porté  à  l'in- 
candescence émet  de  la  lumière  de  toutes  les  lon- 
gueurs d'onde,  et  l'intensité  de  cette  lumière  varie 
suivant  une  certaine  loi  en  fonction  de  la  tempé- 

1.  Il  ne  servirait  à  rien  de  dire  que  le  rapport  des  chaleurs 
spécifiques  ne  serait  pas  changé  si  l'on  attribuait  6  degrés  de 
liberté  à  l'argon  et  10  à  l'oxygène.  C'est  bien  3  degrés  de 
liberté  et  non  pas  6  qu'exige  la  théorie  cinétique  des  gaz 
fondée  sur  le  théorème  du  viriel. 


172  DERNIÈRES    PENSÉES 

rature  et  de  la  longueur  d'onde .  L'observation  directe 
n'est  pas  possible,  parce  qu'il  n'y  a  pas  de  corps 
parfaitement  noirs,  mais  il  y  a  un  moyen  de  tourner 
la  difficulté  :  on  peut  enfermer  le  corps  incandescent 
dans  une  enceinte  entièrement  fermée  ;  la  lumière 
qu'il  émet  ne  peut  s'échapper  et  subit  une  série  de 
réflexions  jusqu'à  ce  qu'elle  soit  entièrement 
absorbée  ;  quand  l'état  d'équilibre  est  atteint,  la 
température  de  l'enceinte  est  devenue  uniforme  et 
l'enceinte  est  remplie  d'un  rayonnement  qui  suit 
la  loi  du  rayonnement  noir. 

Il  est  clair  que  c'est  un  cas  d'équilibre  statistique, 
les  échanges  d'énergie  s'étant  poursuivis  jusqu'à  ce 
que  chaque  partie  du  système  gagne  en  moyenne, 
dans  un  court  espace  de  temps,  exactement  ce  qu'elle 
perd.  Mais  c'est  ici  que  la  difficulté  commence.  Les 
molécules  matérielles  contenues  dans  l'enceinte  sont 
en  nombre  fini,  quoique  très  grand,  et  elles  n'ont 
qu'un  nombre  fini  de  degrés  de  liberté  ;  au  contraire, 
l'éther  en  a  une  infinité,  car  il  peut  vibrer  d'une 
infinité  de  manières  correspondant  aux  diverses 
longueurs  d'onde  avec  lesquelles  l'enceinte  est  en 
résonance.  Si  la  loi  d'équiparlition  s'appliquait, 
l'éther  devrait  donc  prendre  toute  l'éner  ne  et  ne 
rien  laisser  à  la  matière. 

On  pourrait  restreindre  la  liberté  de  l'éther  en  lui 
imposant  des  liaisons,  qui  le  rendraient  par  exemple 
incapable  de  transmettre  les  ondes  trop  courtes;  on 


l'hypothèse  des  quanta  175 

échapperait  ainsi  à  la  contradiction  sigaiilée,  mais 
on  arriverait  encore  à  une  loi,  qui  pour  n'être  plus 
absurde,  serait  encore  contredite  par  l'expi^rience  ; 
c'est  la  loi  de  Rayleigh,  d'après  laquelle  l'énergie 
rayonnée,  pour  une  longueur  donnée,  serait  pro 
porlionnelle  à  la  température  absolue  et  pour  une 
température  donnée,  en  raison  inverse  de  la  qua- 
trième puissance  de  la  longueur  d'onde. 

La  loi  véritable,  démontrée  par  l'expérience,  est  la 
loi  de  Planck  ;  le  rayonnement  est  beaucoup  moindre 
pour  les  petites  longueurs  d'onde,  ou  pour  les 
basses  températures,  que  ne  l'exige  la  loi  de  Ray- 
leigh, conforme  à  la  loi  d'équipartition. 

Le  second  fait  résulte  de  la  mesure  des  chaleurs 
spécifiques  des  corps  solides  aux  très  basses  tempé- 
ratures, dans  l'air  ou  dans  l'hydrogène  liquides. 
Ces  chaleurs  spécifiques,  loin  d'être  sensiblement 
constantes,  diminuent  rapidement  comme  pour 
s'annuler  au  zéro  absolu.  Tout  se  passe  comme  si 
ces  molécules  perdaient  des  degrés  de  liberté  en  se 
refroidissant,  comme  si  quelques-unes  de  Ie;irs 
articulations  finissaient  par  geler. 

§  3.  -  LES  QUANTA  O'ÉNERQIE 

L'explication  de  ces  phénomènes  doit  être  cher- 
chée sans  faire  table  rase  des  principes  de  la 
Thermodynamique;  il  faut  avant  tout  admettre  la 

ta. 


174  DERNIÈRES    PENSÉES 

possibilité  de  l'équilibre  statistique  sans  quoi  il 
ne  resterait  rien  du  principe  de  Carnot;  on  ne 
peut  admettre,  dans  la  Thermodynamique,  aucune 
brèche  sans  que  tout  s'écroule.  M.  Jeans  a  cherché  à 
tout  concilier  en  supposant  que  ce  que  nous  obser- 
vons n'est  pas  l'équilibre  statistique  définitif,  mais 
une  sorte  d'équilibre  provisoire.  Il  est  difficile 
d'adopter  cette  manière  devoir;  sa  théorie,  ne  pré- 
voyant rien,  n'est  pas  contredite  par  l'expérience, 
mais  elle  laisse  sans  explication  toutes  les  lois 
connues  qu'elle  se  borne  à  ne  pas  contredire  et 
qui  n'apparaissent  plus  que  comme  l'efTet  de  je  ne 
sais  quel  heureux  hasard. 

M.  Planck  a  cherché  une  autre  explication  de  la  loi 
qu'il  avait  découverte;  d'après  lui,  il  s'agit  d'un 
véritable  équilibre,  et,  s'il  n'est  pas  conforme  à  la 
loi  d'équipartition,  c'est  que  les  équations  de  Hamil- 
ton  ne  sont  pas  exactes.  Pour  arriver  à  la  loi  expéri- 
mentale, il  faut  introduire  dans  ces  équations  une 
modification  bien  surprenante.  Comment  devons- 
nous  nous  représenter  un  corps  rayonnant?  Nous 
savons  qu'un  résonateur  de  Hertz  envoie  dans  l'éther 
des  ondes  hertziennes  qui  ne  sont  autre  chose  que 
des  ondes  lumineuses;  un  corps  incandescent  sera 
donc  regardé  comme  contenant  un  très  grand  nom- 
bre de  petits  résonateurs.  Quand  le  corps  s'échauffe, 
ces  résonateurs  acquièrent  de  l'énergie,  se  mettent 
à  vibrer  et  par  conséquent  à  rayonner. 


l'hypothèse  des  quanta  175 

L'hypothèse  de  M.  Planck  consiste  à  supposer  que 
chacun  de  ces  résonateurs  ne  peut  acquérir  ou 
perdre  de  l'énergie  que  par  sauts  brusques,  de  telle 
façon  que  la  provision  d'énergie  qu'il  possède  doit 
toujours  être  un  multiple  d'une  même  quantité 
constante  appelée  quantum,  qu'elle  doit  se  composer 
d'un  nombre  entier  de  quanta.  Cette  unité  indivi- 
sible, ce  quantum  n'est  pas  le  même  pour  tous  les 
résonateurs,  il  est  en  raison  inverse  de  la  longueur 
d'onde,  de  sorte  que  les  résonateurs  à  courte 
période  ne  peuvent  avaler  de  l'énergie  que  par  gros 
morceaux  tandis  que  les  résonateurs  à  longue 
période  peuvent  l'absorber  ou  la  dégager  par  petites 
bouchées.  Qu'en  résuUe-t-il?  Il  faut  de  grands  efforts 
pour  ébranler  un  résonateur  à  courte  période,  puis- 
qu'il faut  au  moins  une  quantité  d'énergie  égale  à 
son  quantum  qui  est  grand  ;  il  y  a  donc  de  grandes 
chances  pour  que  ces  résonateurs  restent  en  repos, 
surtout  si  la  température  est  basse,  et  c'est  pour  cette 
raison  qu'il  y  aura  relativement  peu  de  lumière  à 
courte  longueur  d'onde  dans  le  rayonnement  noir. 

Cette  hypothèse  rend  bien  compte  des  faits  pourvu 
que  l'on  admette  que  la  relation  entre  l'énergie  du 
résonateur  et  son  rayonnement  soit  la  même  que 
dans  les  théories  anciennes.  Et  c'est  là  une  première 
difficulté;  pourquoi  conserver  cela  après  avoir 
tout  détruit?  Mais  il  faut  bien  conserver  quelque 
chose,  sans  quoi  on  ne   saurait  sur  quoi   bâtir. 


176  DERNIÈKES    PENSÉES 

La  diminution  des  chaleurs  spécifiques  s'explique 
de  même;  quand  la  température  s'abaisse,  un  très 
grand  nombre  de  vibrateurs  tombent  au-dessous  de 
leur  quantum,  et,  au  lieu  de  vibrer  peu,  ne  vibrent 
plus  du  tout,  de  sorte  que  l'énergie  totale  diminue 
plus  vite  que  dans  les  anciennes  théories.  Celan'est 
qu'un  aperçu  qualitatif  mais  il  ne  faut  pas  donner 
un  nombre  exagéré  de  coups  de  pouce  pour  obte- 
nir une  concordance  quantitative  suffisante. 

§  4.  —  DISCUSSION    DE  L'HYPOTHÈSE    PRÉCÉDENTE 

L'équilibre  statistique  ne  peut  s'élabîlr  que  s'il  y 
a  échange  d'énergie  entre  les  résonateurs,  sans 
quoi  chaque  résonateur  conserverait  indéfiniment 
son  énergie  initiale  qui  est  arbitraire,  et  îa  distribu- 
tion finale  n'obéirait  à  aucune  loi.  Cet  échange  ne 
pourrait  se  faire  par  rayonnement  si  les  résonaieurs 
étaient  fixes  et  enfermés  dans  une  enceinte  fixe. 
En  effet,  chaque  résonateur  ne  pourrait  émettre  ou 
absorber  que  de  la  lumière  d'une  longueur  d'onde 
déterminée,  il  ne  pourrait  donc  envoyer  d'énergie 
qu'aux  résonateurs  de  même  période. 

Il  n'en  est  plus  de  même  si  l'oi?  t^uppose  que  l'en- 
ceinte est  déformable  <^'"-  contient  des  corps  mo- 
biles. Et  en  effet  la  lumièro  en  se  réOé'^hissant  sur 
un  miroir  mobile  change  de  longueur  d'onde  en 
vertu  du  célèbre  principe  de  Doppler-Fizeau.  Et 


L HYPOTHESE    DES    QUANTA 


177 


c'est  là  un  premier  mode  d'échange  par  rayon- 
nement. 

Il  y  en  a  un  second;  les  résonateurs  peuvent  réa- 
gir mécaniquement  Tun  sur  l'autre,  soit  directe- 
ment, soit  plutôt  par  l'intermédiaire  d'atomes  mo- 
biles et  d'électrons  qui  circulent  de  l'un  à  l'autre 
et  viennent  les  choquer.  C'est  l'échange  par  chocs. 
C'est  celui  que  j'ai  étudié  récemment,  retrouvant  et 
confirmant  les  résultats  de  M.  Planck. 

Ainsi  que  je  l'ai  expliqué  plus  haut,  il  est  néces- 
saire que  tous  les  modes  d'échange  de  l'énergie  con- 
duisent aux  mêmes  conditions  d'équilibre  statis- 
tique, sans  quoi  le  principe  de  Carnot  serait  en 
défaut.  Cela  est  nécessaire  pour  rendre  compte  de 
l'expérience,  mais  encore  faut-il  qu'on  puisse  don- 
ner de  cette  surprenante  concordance  une  explica- 
tion satisfaisante,  qu'on  ne  soit  pas  forcé  de  l'attri- 
buer à  une  sorte  de  hasard  providentiel.  Dans  l'an- 
cienne Mécanique,  cette  explication  était  toute 
trouvée,  c'était  l'universalité  des  équations  de 
Hamilton  ;  allons-nous  retrouver  ici  quelque  chose 
d'analogue? 

Je  n'ai  pas  encore  terminé  l'étude  de  l'échange 
par  rayonnement,  et  je  ne  sais  pas  encore  si  l'on 
connaît  toutes  les  conditions  d'équilibre  auxquelles 
conduit  ce  mode  d'échange  ;  je  ne  serais  pas  étonné 
qu'on  en  découvrît  de  nouvelles  qui  pourraient 
nous  causer  quelques  embarras. 


178  DERNIÈRES    PENSÉES 

Pour  le  moment,  il  y  en  a  une  que  nous  ont 
révélée  les  travaux  de  M.  Wien  ;  c'est  ce  qu'on 
appelle  la  loi  de  Wien  d'après  laquelle  le  produit 
de  l'énergie  du  rayonnement  par  la  cinquième  puis- 
sance de  la  longueur  d'onde  ne  dépend  plus  que 
de  la  température  multipliée  par  la  longueur 
d'onde. 

On  voit  tout  de  suite  que,  pour  que  cette  loi  de  Wien 
soit  compatible  avec  l'équilibre  statistique  dû  à 
l'échange  par  chocs,  il  faut  que,  dans  cet  échange 
par  chocs,  l'énergie  ne  puisse  varier  que  par  quanta 
inversement  proportionnels  à  la  longueur  d'onde. 
C'est  là  une  propriété  mécanir/ue  des  résonateurs, 
qui  est  évidemment  tout  à  fait  indépendante  du 
principe  de  Doppler-Fizeau  et  on  ne  comprend  pas 
bien  par  suite  de  quelle  mystérieuse  harmonie  préé- 
tablie, ces  résonateurs  ont  été  doués  de  la  seule 
propriété  mécanique  qui  pouvait  convenir.  Si 
l'équilibre  statistique  est  invariable,  ce  n'est  plus 
pour  une  raison  unique  et  universelle,  c'est  par  le 
concours  de  circonstances  multiples  et  indépen- 
dantes. 

Dans  le  mode  d'exposition  de  M.  Planck,  celte 
dualité  des  modes  d'échange  n'apparaît  pas,  mais 
elle  n'est  que  dissimulée  et  je  croyais  nécessaire 
d'attirer  l'attention  sur  ce  point. 

Celte  difficulté  n'est  pas  la  seule;  un  résonateur 
ne  peut  céder  d'énergie  à  un  autre  que  par  mul- 


L  HYPOTHESE    DES    QUANTA 


179 


tiples  entiers  de  son  quantum;  celui-ci  ne  peut  en 
recevoir  que  par  multiples  entiers  de  son  quan- 
tum à  lui  ;  comme  ces  deux  quanta  seront  généra- 
lement incommensurables,  cela  suffît  pour  exclure 
la  possibilité  d'un  échange  direct,  mais  l'échange 
peut  se  faire  par  l'intermédiaire  des  atomes,  à 
supposer  que  l'énergie  de  ces  atomes  puisse  varier 
d'une  manière  continue. 

Ce  n'est  pas  là  le  plus  grave  ;  les  résonateurs  doi- 
vent perdre  ou  gagner  chaque  quantum  brusquement 
ou  plutôt  il  faut  qu'ils  gagnent  leur  quantum  tout 
entier  ou  qu'ils  ne  gagnent  rien.  Mais  il  leur  faut 
cependant  un  certain  temps  pour  le  gagner  ou  pour 
le  perdre;  c'est  ce  qu'exige  le  phénomène  des 
interférences.  Deux  quanta  émis  par  un  même  réso- 
nateur à  des  instants  différents  ne  sauraient  inter- 
férer entre  eux.  Les  deux  émissions  devraient  en 
effet  être  regardées  comme  deux  phénomènes  indé- 
pendants et  il  n'y  aurait  aucune  raison  pour  que 
l'intervalle  de  temps  qui  les  sépare  fût  constant. 
Cela  est  même  impossible;  cet  intervalle  doit  être 
plus  grand  si  la  lumière  est  faible  que  si  elle  est 
intense  ;  à  moins  que  l'on  ne  suppose  que  l'inter- 
valle est  constant,  que  chaque  émission  peut  con- 
sister en  plusieurs  quanta  et  que  l'intensité  dépend 
du  nombre  des  quanta  émis  à  la  fois.  Mais  cela  non 
plus  ne  peut  aller;  l'intervalle  doit  être  petit  par 
rapport  à  une  période  pour  cadrer  avec  les  obser- 


180  DERNIÈRES    PENSÉES 

valions  d'interférence;  la  valeur  du  quantum  ré- 
sulte de  la  formule  même  de  Planck;  nous  aurions 
donc  un  minimum  de  l'intensité  possible  de  la 
lumière,  et  on  a  observé  des  émissions  de  lumière 
inférieures  à  ce  minimum. 

C'est  donc  bien  chaque  quantum  qui  interfère 
avec  lui-même;  il  est  donc  nécessaire  que,  mis  une 
fois  sous  la  forme  de  vibrations  lumineuses  de 
l'éther,  il  se  divise  en  plusieurs  parties,  que  cer- 
taines parties  soient  en  retard  sur  les  autres  de 
plusieurs  longueurs  d'onde  et  par  conséquent 
qu'elles  n'aient  pas  été  émises  en  même  temps. 

11  semble  qu'il  y  ait  là  une  contradiction;  peut- 
être  n'est-elle  pas  insoluble.  Imaginons  un  système 
formé  d'un  certain  nombre  d'excitateurs  de  Hertz, 
tous  identiques  ;  chacun  d'eux  est  chargé  par  une 
source  d'électricité  et  dès  que  sa  charge  a  atteint 
une  certaine  valeur,  l'étincelle  éclate,  l'émission 
commence  et  rien  désormais  ne  peut  plus  l'arrê- 
ter, jusqu'à  ce  que  l'excitateur  soit  entièrement 
déchargé  ;  il  faut  donc  qu'il  perde  son  quantum 
tout  entier,  ou  qu'il  ne  perde  rien  (le  quantum 
c'est  ici  la  quantité  d'énergie  qui  correspond  au 
potentiel  explosif).  Mais  ce  quantum  n'est  pas  perdu 
brusquement,  chaque  émission  dure  un  certain 
temps  et  les  ondes  émises  sont  susceptibles  d'inter- 
férences régulières. 

M.  Planck  a  supposé  que  la  relation  entre  l'éner- 


l'hypothèse  des  uuanta  181 

gie  d'un  résonateur  et  son  rayonnement  était  la 
môme  que  dans  l'Electrodynamique  de  Maxwell  ; 
on  pourrait  renoncer  à  cette  hypothèse,  et  suppo- 
ser que  les  chocs  mécaniques  se  font  d'après  les 
lois  anciennes.  La  répartition  de  l'énergie  entre  les 
résonateurs  se  ferait  alors  d'après  la  loi  de  l'équi- 
partition,  mais  les  résonateurs  à  courte  période 
rayonneraient  moins  à  énergie  égale.  On  pourrait 
alors  rendre  compte  de  la  loi  du  rayonnement, 
mais  on  n'expliquerait  pas  les  anomalies  des  cha- 
leurs spécifiques  aux  basses  températures,  à  moins 
que  l'on  n'admette  que  l'échange  par  chocs  n'est 
plus  possible  pour  les  solides  très  froids,  et  que 
leurs  molécules  n'échangent  plus  de  chaleur  que 
par  rayonnement  à  petite  distance. 

On  pourrait  aller  plus  loin,  supposer  qu'il  n'y  a 
jamais  de  choc,  que  toutes  les  forces  dites  méca- 
niques sont  d'origine  électromagnétique;  qu'elles 
sont  dues  à  des  actions  à  distance,  explicables  elles- 
mêmes  par  le  rayonnement.  11  faudrait  alors  ne 
laisser  subsister  que  le  mode  d'échange  par  rayon- 
nement et  par  le  jeu  du  principe  de  Doppler- 
Fizeau  ;  peul-ètre  alors  serait-on  conduit  ainsi 
à  des  hypothèses  très  différentes  de  celle  des 
quanta. 


f6 


182 


DERNIERES    PENSEES 


§  5.  —  LES    QUANTA    D'ACTlON 


La  nouvelle  conception  est  séduisante  par  un 
certain  côté;  depuis  quelque  temps  la  tendance  est 
à  l'atomisme,  la  matière  nous  apparaît  comme  for- 
mée d'atomes  indivisibles,  l'électricité  n'est  plus 
continue,  elle  n'est  plus  divisible  à  l'infini,  elle  se 
résout  en  électrons  tous  de  même  charge,  tous 
pareils  entre  eux  ;  nous  avons  aussi  depuis  quelque 
temps  le  magnéton,  ou  atome  de  magnétisme.  A  ce 
compte,  les  quanta  nous  apparaissent  comme  des 
atomes  d'énergie.  Malheureusement  la  comparaison 
ne  se  poursuit  pas  jusqu'au  bout.  Un  atome  d'hy- 
drogène, par  exemple,  est  véritablement  invariable, 
il  conserve  toujours  la  même  masse,  quel  que  soit 
le  composé  dans  lequel  il  entre  comme  élément; 
les  électrons  conservent  de  même  leur  individualité 
à  travers  les  vicissitudes  les  plus  diverses  ;  en  est- 
il  de  même  des  soi-disant  atomes  d'énergie?  Nous 
avons  par  exemple  3  quanta  d'énergie  sur  un  réso- 
nateur dont  la  longueur  d'onde  est  3  ;  cette  énergie 
passe  sur  un  second  résonateur  dont  la  longueur 
d'onde  est  5;  elle  représente  alors  non  plus  3, 
mais  5  quanta,  puisque  le  quantum  du  nouveau 
résonateur  est  plus  petit  et  que,  dans  la  transfor- 
mation, le  nombre  des  atomes  et  la  grandeur  de 
chacun  d'eux  a  changé. 


l'hypothèse  des  quanta  183 

Voilà  pourquoi  la  théorie  n'est  pas  encore  satis- 
faisante pour  l'esprit;  il  faut  d'ailleurs  expliquer 
pourquoi  le  quantum  d'un  résonateur  est  en  raison 
inverse  de  la  longueur  d'onde,  et  c'est  ce  qui  a 
décidé  M.  Planck  à  modifier  le  mode  d'exposition 
de  ses  idées;  mais  ici,  je  suis  un  peu  embarrassé, 
je  ne  voudrais  ni  trahir  M.  Planck  en  dépassant  sa 
pensée,  en  allant  plus  loin  qu'il  n'a  voulu  aller,  ni 
ne  pas  montrer  où  il  me  semble  qu'il  nous  con- 
duit. Je  vais  donc  d'abord  traduire  son  texte  aussi 
exactement  que  possible,  tout  en  le  résumant  un 
peu.  Je  rappelle  d'abord  que  létude  de  l'équilibre 
thermodynamique  a  été  ramenée  à  une  question  de 
statistique  et  de  probabilité.  «  La  probabilité  d'une 
variable  continue  s'obtient  en  envisageant  des 
domaines  élémentaires  indépend^tots.  d'égale  pro- 
babilité... Dans  la  dynamique  classicyiie,  on  se  sert, 
pour  trouver  ces  domaines  élém^^nt-ires,  de  ce 
théorème  que  deux  états  physique?  «ont  l'un  est 
l'effet  nécessaire  de  l'autre  sont  également  proba- 
bles. Dans  un  système  physique,  si  on  représente 
par  q  une  des  coordonnées  généralisées,  par  p  le 
moment  correspondant,  d'après  le  théorème  de 
Liouville,  le  domaine  fldp  dq  considéré  à  un  instant 
quelconque  est  un  invariant  par  rapport  au  temps, 
si  g  et  p  varient  conformément  aux  équations  de 
Hamilton.  D'autre  part,  p  et  «/  peuvent,  à  un  instant 
donné,  prendre  toutes  les  valeurs  possibles,  indé- 


184  DERNIÈRES    PENSÉES 

pendamment  l'un  de  l'autre.  D'où  il  suit  que  le 
domaine  élémentaire  de  probabilité  est  infniment 
petit  de  la  grandeur  dpdq...  La  nouvelle  hypothèse 
doit  avoir  pour  but  de  restreindre  la  variabilité  de 
p  et  de  q,  de  telle  façon  que  ces  variables  ne 
varient  plus  que  par  sauts,  ou  qu'elles  soient  regar- 
dées comme  liées  en  partie  l'une  à  l'autre.  On 
arrive  ainsi  à  réduire  le  nombre  des  domaines  élé- 
mentaires de  probabilité,  de  sorte  que  l'étendue  de 
chacun  d'eux  se  trouve  augmentée.  L'hypothèse 
des  quanta  d'action  consiste  à  supposer  que  ces 
domaines,  tous  égaux  entre  eux,  ne  sont  plus  infi- 
niment petits,  mais  finis  et  que  l'on  a  pour  chacun 
d'eux 

dq  =  h 


ff^p 


h  étant  une  constante.  » 

Je  crois  nécessaire  de  compléter  cette  citation 
par  quelques  explications  ;  je  ne  puis  expliquer  ici 
ce  que  c'est  que  l'action,  les  coordonnées  générali- 
sées et  les  moments,  ni  les  diverses  intégrales  que 
M.  Planck  fait  entrer  en  ligne;  je  me  bornerai  à 
dire  que  l'élément  d'énergie  est  égal  au  produit  de 
la  fréquence  par  l'élément  d'action  ;  et,  si  le  quan- 
tum d'énergie  est  proportionnel  à  la  fréquence, 
comme  nous  l'avons  dit,  c'est  parce  que  le  quantum 
d'action  est  une  constante  universelle,  un  véritable 
atome. 


l'hypothèse  des  quanta  185 

Mais  il  faut  que  je  cherche  à  éclaircir  ce  que  c'est 
que  les  domaines  élémentaires  de  probabilité.  Ces 
domaines  sont  indivisibles  ;  c'est-à-dire  que  dès 
que  nous  savons  que  nous  sommes  dans  un  de  ces 
domaines,  tout  est  par  là  déterminé;  sans  quoi,  si 
les  événements  qui  doivent  suivre  n'étaient  pas 
par  ce  fait  entièrement  connus,  s'ils  devaient  dif- 
férer selon  que  nous  nous  trouverions  dans  telle  ou 
telle  partie  de  ce  domaine,  c'est  que  ce  domaine  ne 
serait  pas  indivisible  au  point  de  vue  de  la  proba- 
bilité puisque  la  probabilité  de  certains  événements 
futurs  ne  serait  pas  la  même  dans  ses  diverses 
parties. 

Cela  revient  à  dire  que  tous  les  états  du  système 
qui  correspondent  à  un  même  domaine  ne  peuvent 
être  discernés  entre  eux,  qu'ils  constituent  un  seul 
et  même  état,  et  nous  sommes  ainsi  conduits  à 
l'énoncé  suivant,  plus  précis  que  celui  de  M.  Planck 
et  qui  n'est  pas,  je  crois,  contraire  à  sa  pensée. 

Un  système  physique  n'est  susceptible  que  d'un 
nombre  fini  d'états  distincts;  il  saute  d'un  de  ces  états 
à  l'autre  sans  passer  par  une  série  continue  d'états 
intermédiaires. 

Supposons  pour  simplifier  que  l'état  du  système 
dépende  de  trois  paramètres  seulement,  de  sorte  que 
nous  puissions  le  représenter  géométriquement  par 
un  point  de  l'espace.  L'ensemble  des  points  repré- 
sentatifs des  divers  états  possibles  ne  sera  pas  alors 

16. 


186 


DERNIERES    PENSEES 


l'espace  tout  entier,  ou  une  région  de  cet  espace 
ainsi  qu'on  le  suppose  d'ordinaire  ;  ce  seront  un 
très  grand  nombre  de  points  isolés  parsemant  l'es- 
pace. Ces  points,  il  est  vrai,  sont  très  serrés,  ce  qui 
nous  donne  l'illusion  de  la  continuité. 

Tous  ces  états  doivent  être  regardés  comme  éga- 
lement probables.  En  effet,  si  nous  admettons  le 
déterminisme,  à  chacun  de  ces  états  doit  nécessai- 
rement succéder  un  autre  état,  exactement  aussi 
probable,  puisqu'il  est  certain  que  le  premier 
entraîne  le  second .  On  verrait  ainsi  de  proche  en 
proche  que  si  nous  partons  d'un  état  initial,  tous 
les  états  auxquels  nous  parviendrons  un  jour  ou 
l'autre  sont  tous  également  probables;  les  autres  ne 
doivent  pas  être  regardés  comme  des  états  pos- 
sibles. 

Mais  nos  points  représentatifs  isolés  ne  doivent 
pas  être  distribués  dans  l'espace  d'une  façon  quel- 
conque ;  ils  doivent  l'être  de  telle  sorte  qu'en  les 
observant  avec  nos  sens  grossiers,  nous  ayons  pu 
croire  aux  lois  communes  de  la  Dynamique  et  par 
exemple  à  celles  de  Hamilton.  Une  comparaison, 
qui  serre  la  réalité  de  beaucoup  plus  près  qu'il  ne 
paraît,  m'aidera  peut-être  à  me  faire  comprendre. 
Nous  observons  un  liquide,  et  nos  sens  nous  invi- 
tent d'abord  à  croire  que  c'est  de  la  matière  conti- 
nue; une  expérience  plus  précise  nous  montre  que 
ce  liquide  est  incompiessible,  de  telle  sorte  que  le 


l'hypothèse  des  quanta  187 

volume  d'une  portion  quelconque  de  matière 
demeure  constant.  Des  raisons  quelconques  nous 
portent  ensuite  à  penser  que  ce  liquide  est  formé 
de  molécules  très  petites  et  très  nombreuses,  mais 
discrètes;  nous  re  pourrons  plus  cependant  ima- 
giner une  distribution  de  ces  molécules  en  n'impo- 
sant aucune  entrave  à  notre  fantaisie;  il  faudra,  à 
cause  de  l'incompressibilité,  supposer  que  deux 
petits  volumes  égaux  contiennent  le  même  nombre 
de  molécules.  Pour  la  distribution  des  états  pos- 
sibles, M.  Planck  se  trouve  soumis  à  une  restriction 
analogue,  et  c'est  ce  qu'il  exprime  par  les  équations 
que  j'ai  citées  plus  haut,  et  que  je  ne  puis  expli- 
quer ici  davantage. 

On  pourrait,  il  est  vrai,  imaginer  des  hypothèses 
mixtes;  supposons  encore  que  le  système  physique 
ne  dépende  que  de  trois  paramètres  et  que  son  état 
puisse  être  représenté  par  un  point  de  l'espace. 
L'ensemble  des  points  représentatifs  des  états  pos- 
sibles pourra  n'être  ni  une  région  de  l'espace,  ni 
un  essaim  de  points  isolés;  il  pourra  se  composer 
d'un  grand  nombre  de  petites  surfaces  ou  de  petites 
courbes  séparées  les  unes  des  autres  ;  soit  par 
exemple  que  l'un  des  points  matériels  du  système 
puisse  décrire  seulement  certaines  trajectoires  ; 
mais  les  décrire  d'une  manière  continue  sauf  quand 
il  saute  d'une  trajectoire  à  l'autre  sous  l'influence 
des  points  voisins  :  cela  pourra  être  le  cas  des  réso- 


188  DERNIÈRES    PENSÉES 

Dateurs  dont  nous  avons  parlé  plus  haut;  ou  bien 
encore,  l'état  de  la  matière  pondérable  pourrait 
varier  d'une  manière  discontinue,  avec  un  nombre 
fini  d'états  possibles  seulement,  tandis  que  l'état 
de  l'éther  varierait  d'une  manière  continue.  Rien 
de  tout  cela  ne  serait  incompatible  avec  la  pensée 
de  M.  Planck. 

Mais  on  préférera  sans  doute  la  première  solu- 
tion, la  solution  franche  à  toutes  ces  hypothèses 
bâtardes;  seulement  il  faut  se  rendre  compte  des 
conséquences  que  cela  entraîne;  ce  que  nous  avons 
dit  devrait  s'appliquer  à  un  système  isolé  quel- 
conque et  même  à  l'univers.  L'univers  sauterait 
donc  brusquement  d'un  état  à  l'autre;  mais  dans 
l'intervalle  il  demeurerait  immobile,  les  divers 
instants  pendant  lesquels  il  resterait  dans  le  même 
état  ne  pourraient  plus  être  discernés  l'un  de 
l'autre;  nous  arriverions  ainsi  à  la  variation  dis- 
continue du  temps,  à  l'atome  de  temps, 

§  6.  —  LA  NOUVELLE  THÉORIE  DE  PLANCK 

Revenons  à  des  problèmes  moins  généraux  et 
plus  précis,  par  exemple  à  la  théorie  du  rayonne- 
ment. M.  Planck  a  imaginé  une  modification  à  sa 
première  théorie  et  je  voudrais  en  dire  quelques 
mots.  D'après  ses  nouvelles  idées,  l'émission  de  la 
lumière  se  ferait  brusquement  par  quanta,  mais 


l'hypothèse  des  quanta  189 

l'absorption  serait  continue.  Il  a  voulu  ainsi 
échapper  à  la  difficulté  suivante  qui  lui  a,  je  ne  sais 
pourquoi,  paru  plus  embarrassante  en  ce  qui  con- 
cerne l'absorption.  La  lumière  arrive  sur  chaque 
résonateur  d'une  façon  continue;  si  elle  ne  peu 
être  absorbée  que  quantum  par  quantum,  il  faut 
que  l'énergie  s'accumule  dans  une  sorte  d'anti- 
chambre du  résonateur,  jusqu'à  ce  qu'il  y  en  ait 
assez  pour  entrer.  Dans  la  seconde  théorie,  cette 
difficulté  disparaît,  mais  il  faut  toujours  une  salle 
d'attente  pour  l'énergie  qui  sort,  puisque  l'éther 
ne  peut  la  transmettre  que  par  fractions  infiniment 
petites. 

Dans  la  nouvelle  théorie,  les  résonateurs  conser- 
veront un  résidu  d'énergie  même  au  zéro  absolu. 
Si  nous  adoptons  la  nouvelle  manière  de  voir  de 
M.  Planck,  il  faut  alors  modifier  la  relation  entre 
l'énergie  du  corps  rayonnant  et  l'intensité  de  son 
rayonnement.  Ce  rayonnement  n'est  plus  propor- 
tionnel à  l'énergie,  mais  seulement  à  l'excès  de 
cette  énergie  sur  le  résidu  qui  subsiste  au  zéro 
absolu. 

Avouerai-je  que  je  n'ai  pas  été  entièrement 
satisfait  de  cette  nouvelle  hypothèse?  M.  Planck 
ne  parle  que  de  l'émission  et  de  l'absorption,  et  en 
parle  comme  si  le  résonateur  était  fixe;  il  n'est 
question  ni  de  l'échange  d'énergie  par  chocs,  ni 
du  principe  de  Dôppler-Fizeau  ;  dans  ces  condi- 


i90  DERNIÈRES    PENSÉES 

lions,  il  ne  peut  donc  y  avoir  de  tendance  vers  un 
état  final,  c'est  ce  que  j'ai  dit  plus  haut  ;  la  démons- 
tration par  laquelle  on  cherche  à  nous  faire  con- 
naître cet  état  final  n'est  donc  qu'un  trompe-l'œil. 
L'auteur  ne  dit  pas  si  les  échanges  par  chocs 
sont  continus  comme  l'absorption,  ou  discontinus 
comme  l'émission,  et  quand  on  veut  appliquer  la 
théorie  générale  des  échanges  par  chocs,  on  ne 
retrouve  plus  les  résultats  de  M.  Planck.  Il  con- 
vient donc  de  s'en  tenir  à  ses  premières  idées. 

§  7.  —  LES  IDÉES  DE  M.  SOMMERFELD 

M.  Sommerfeld  a  proposé  une  théorie  qu'il  veut 
rattacher  à  celle  de  M.  Planck,  bien  que  le  seul 
lien  qu'il  y  ait  entre  elles,  c'est  que  la  lettre  h 
figure  dans  les  deux  formules,  et  qu'on  a  donné  le 
même  nom  de  quantum  d'action  aux  deux  objets 
très  différents  que  cette  lettre  représente. 

Le  choc  des  électrons  ne  suivrait  pas  du  tout  les 
mêmes  lois  que  celui  des  corps  complexes  que 
nous  connaissons  et  qui  sont  accessibles  à  l'expé- 
rience. Quand  un  électron  rencontrerait  un  obs- 
tacle, il  s'arrêterait  d'autant  plus  vite  que  sa 
vitesse  serait  plus  grande  (si  cette  loi  était  appli- 
cable aux  trains  de  chemin  de  fer,  le  problème 
du  freinage  se  présenterait  sous  un  jour  nouveau). 
Et  cela  s'applique  à  la  production  des  rayons  X. 


l'bypothèse  des  quanta  191 

Les  rayons  cathodiques  sont  des  électrons  en 
mouvement;  ces  électrons  s'arrêtent  en  rencon- 
trant l'anticathode;  cet  arrêt  brusque  ébranle 
l'éther  dont  les  vibrations  produisent  les  rayons  X. 
La  théorie  de  M.  Sommerfeld  explique  pourquoi 
les  rayons  X  sont  d'autant  plus  pénétrants  et  plus 
«  durs  »  que  la  vitesse  des  rayons  cathodiques 
était  plus  grande.  Plus  cette  vitesse  est  grande,  en 
effet,  plus  l'arrêt  est  brusque,  plus,  par  consé- 
quent, la  perturbation  de  l'éther  est  intense  et  de 
courte  durée. 

§  8.  -  CONCLUSIONS 

On  voit  quel  est  l'état  de  la  question;  les 
anciennes  théories,  qui  semblaient  rendre  compte 
jusqu'ici  de  tous  les  phénomènes  connus,  se  sont 
heurtées  à  un  obstacle  inattendu.  Il  a  semblé 
qu'une  modification  s'imposait.  Une  hypothèse 
s'est  d'abord  présentée  à  l'esprit  de  M.  Planck, 
mais  tellement  étrange  qu'on  était  tenté  de  cher- 
cher tous  les  moyens  de  s'en  affranchir;  ces 
moyens,  on  les  a  vainement  cherchés  jusqu'ici.  Et 
cela  n'empêche  pas  que  la  nouvelle  théorie  sou- 
lève une  foule  de  difficultés,  dont  beaucoup  sont 
réelles  et  ne  sont  pas  de  simples  illusions  dues  à  la 
paresse  de  notre  esprit,  qui  répugne  à  changer  ses 
habitudes. 


192  DERNIÈRES    PENSÉES 

Il  est  impossible,  pour  le  moment,  de  prévoir 
quelle  sera  l'issus  finale;  trouvera-t-on  une  autre 
explication  entièrement  différente?  Ou  bien,  pu 
contraire,  les  partisans  de  la  nouvelle  théorie  ^p?- 
viendront-ils  à  écarter  les  obstacles  qui  nons 
empêchent  de  l'adopter  sans  réserve?  La  discon- 
tinuité va-t-elle  régner  sur  l'univers  physique  et 
son  triomphe  est-il  définitif?  ou  bien  reconnaîtra- 
t-on  que  cette  discontinuité  n'est  qu'apparente  et 
dissimule  une  série  de  processus  continus.  Le 
premier  qui  a  vu  un  choc  a  cru  observer  un 
phénomène  discontinu,  et  nous  savons  aujourd'hui 
qu'il  n'a  vu  que  l'effet  de  changements  de  vitesse 
très  rapides,  mais  continus.  Chercher  dès  aujour- 
d'hui à  donner  un  avis  sur  ces  questions,  ce  serait 
perdre  son  encre. 


CHAxDITRE  VII 
LES  RAPPORTS  DE  LA  MATIÈRE  ET  DE  L'ÉTHER 


8S 


CHAPITRE   VII 
LES  RAPPORTS  DE  LA  MATIÈRE  ET  DE  L tlHER  « 

Lorsque  M.  Abraham  est  venu  me  demander  de 
clore  la  série  des  conférences  organisées  par  la 
Société  française  de  Physique,  j'ai  d'abord  été  sur 
le  point  de  refuser  ;  il  me  semblait  que  chaque 
sujet  avait  été  entièrement  traité  et  que  je  ne 
pourrais  rien  ajouter  à  ce  qui  avait  été  si  bien  dit. 
Je  ne  pouvais  que  chercher  à  résumer  l'impression 
qui  semble  se  dégager  de  cet  ensemble  de  travaux, 
et  cette  impression  est  tellement  nette  que  chacun 
de  vous  a  dû  l'éprouver  tout  aussi  bien  que  moi  et 
que  je  ne  saurais  lui  donner  aucune  clarté  nou- 
velle en  m'efforçant  de  l'exprimer  par  des  phrases. 
Mais  M.  Abraham  a  insisté  avec  tant  de  bonne 
grâce  que  j'ai  fini  par  me  résigner  à  des  inconvé- 
nients inévitables  dont  le  plus  grand  est  de  redire 
ce  que  chacun  de  vous  a  depuis  longtemps  pensé 

1.  Conf(^rence  faite  à  la  Société  Française  de  Physique, 
le  11  avril  1912. 


196 


DERNIERES    PENSEES 


et  dont  le  moindre  est  de  traveiser  une  foule  de 
sujets  divers  sans  avoir  le  temps  de  m'y  arrêter. 

Une  première  réflexion  a  dû  frapper  tous  les 
auditeurs  ;  les  anciennes  hypothèses  mécanistes  et 
atomistes  ont  pris  dans  ces  derniers  temps  assez  de 
consistance  pour  cesser  presque  de  nous  appa- 
raître comme  des  hypothèses  ;  les  atomes  ne  sont 
plus  une  fiction  commode  ;  il  nous  semble  pour 
ainsi  dire  que  nous  les  voyons,  depuis  que  nous 
savons  les  compter.  Une  hypothèse  prend  du  corps 
et  gagne  en  vraisemblance  quand  elle  explique  de 
nouveaux  faits  ;  mais  cela  arrive  de  bien  des  façons  ; 
le  plus  souvent  elle  doit  s'élargir  pour  rendre 
compte  des  faits  nouveaux  ;  mais  tantôt  elle  perd 
en  précision  en  s'élargissant,  tantôt  il  est  nécessaire 
de  greffer  sur  elle  une  hypothèse  accessoire  qui  s'y 
adapte  d'une  façon  plausible,  qui  ne  jure  pas  trop 
avec  le  porte-greffe,  mais  qui  n'en  est  pas  moins 
quelque  chose  d'étranger,  d'imaginé  tout  exprès  en 
vue  du  but  à  atteindre,  qui  est  en  un  mot  une  sorte 
de  coup  de  pouce;  dans  ce  cas  on  ne  peut  pas  dire 
que  l'expérience  a  confirmé  l'hypothèse  primitive, 
mais  tout  au  plus  qu'elle  ne  Ta  pas  contredite.  Ou 
bien  encore,  il  y  a  entre  les  faits  nouveaux  et  les 
faits  anciens,  pour  lesquels  l'hypothèse  avait  été 
primitivement  conçue,  une  connexion  intime  et  de 
telle  nature  que  toute  hypothèse  qui  rend  compte 
des  uns  doit  par  cela  même  rendre  compte  des 


LES  RAPPORTS  DE  LA  MATIERE  ET  DE  L  ETIIER 


197 


autres,  de  telle  sorte  que  les  faits  vérifiés  ne  sont 
nouveaux  qu'en  apparence. 

Il  n'en  est  plus  de  même  quand  l'expérience  nous 
révèle  une  coïncidence  que  l'on  aurait  pu  prévoir 
et  qui  ne  saurait  être  due  au  hasard  et  surtout 
quand  il  s'agit  d'une  coïncidence  numérique.  Or, 
ce  sont  des  coïncidences  de  ce  genre  qui  sont 
venues  dans  ces  derniers  temps  confirmer  les  idées 
atomistes. 

La  théorie  cinétique  des  gaz  a  reçu  pour  ainsi 
dire  des  étais  inattendus.  De  nouvelles  venues  se 
sont  exactement  calquées  sur  elle;  ce  sont  d'une 
part  la  théorie  des  solutions,  et  d'autre  part  la 
théorie  électronique  des  métaux.  Les  molécules 
des  corps  dissous,  de  même  que  les  électrons  libres 
auxquels  les  métaux  doivent  leur  conductibilité 
électrique,  se  comportent  comme  les  molécules 
gazeuses  dans  les  enceintes  où  elles  sont  enfermées. 
Le  parallélisme  est  parfait  et  on  peut  le  poursuivre 
jusqu'à  des  coïncidences  numériques.  Par  là  ce 
qui  était  douteux  devient  probable  ;  chacune  de  ces 
trois  théories,  si  elle  était  isolée,  ne  nous  apparaî- 
trait que  comme  une  hypothèse  ingénieuse,  à 
laquelle  on  pourrait  substituer  d'autres  explications 
à  peu  près  aussi  vraisemblables  ;  mais,  comme  dans 
chacun  des  trois  cas  il  faudrait  une  explication 
diiïérente,  les  coïncidences  constatées  ne  pourraient 
plus  être  attribuées  qu'au  hasard,  ce  qui  est  inad- 

17 


198 


DERNIERES    PENSEES 


missible,  tandis  que  les  trois  théories  cinétiques 
rendent  ces  coïncidences  nécessaires.  Et  puis  la 
théorie  des  solutions  nous  fait  passer  tout  natu- 
rellement à  celle  du  mouvement  brownien  où  il  est 
impossible  de  regarder  l'agitation  thermique 
comme  une  fiction  de  l'esprit,  puisqu'on  la  voit 
directement  sous  le  microscope. 

Les  brillantes  déterminations  du  nombre  des 
atomes  faites  par  M.  Perrin  ont  complété  ce  triom- 
phe de  l'atomisme.  Ce  qui  entraîne  notre  convic- 
tion, ce  sont  les  multiples  concordances  entre  des 
résultats  obtenus  par  des  procédés  entièrement 
différents.  Il  n'y  a  pas  très  longtemps,  on  se  serait 
estimé  heureux  pourvu  que  les  nombres  trouvés 
eussent  le  même  nombre  de  chiffres  ;  on  n'aurait 
même  pas  exigé  que  le  premier  chiffre  significatif 
fût  le  même  ;  ce  premier  chiffre  est  aujourd'hui 
acquis  ;  et  ce  qui  est  remarquable  c'est  qu'on  s'est 
adressé  aux  propriétés  les  plus  diverses  de  l'atome. 
Dans  les  procédés  dérivant  du  mouvement  brow- 
nien, ou  dans  ceux  où  l'on  invoque  la  loi  du 
rayonnement,  ce  ne  sont  pas  les  atomes  que  l'on  a 
comptés  directement,  ce  sont  les  degrés  de  liberté  ; 
dans  celui  où  l'on  se  sert  du  bleu  du  ciel,  ce  ne 
sont  plus  les  propriétés  mécaniques  des  atomes  qui 
entrent  en  jeu,  ils  sont  regardés  comme  des  causes 
de  discontinuité  optique  ;  enfin  quand  on  so  sert 
du  radium,  ce  que  l'on  compte,  ce  sont  les  émis- 


LES  RAPPORTS  DE  LA  MATIERE  ET  DE  L  ETHER 


199 


sions  de  projectiles.  C'est  à  tel  point  que,  s'il  y 
avait  eu  des  discordances,  on  n'aurait  pas  été 
embarrassé  pour  les  expliquer,  mais  heureusement 
il  n'y  en  a  pas  eu. 

L'atome  du  chimiste  est  maintenant  une  réalité  :  - 
mais  cela  ne  veut  pas  dire  que  nous  sommes  près 
de  toucher  les  éléments  ultimes  des  choses.  Quand 
Démocrite  a  inventé  les  atomes,  il  les  considérait 
comme  des  éléments  absolument  indivisibles  et 
au  delà  desquels  il  n'y  a  plus  rien  à  chercher.  C'est 
cela  que  cela  veut  dire  en  grec  ;  et  c'est  d'ailleurs 
pour  cela  qu'il  les  avait  inventés  ;  derrière  l'atome, 
il  ne  voulait  plus  de  mystère.  L'atome  du  chimiste 
ne  lui  aurait  donc  pas  donné  satisfaction,  car  cet 
atome  n'est  nullement  indivisible,  il  n'est  pas  un 
véritable  élément,  il  n'est  pas  exempt  de  mystère  ; 
cet  atome  est  un  monde.  Démocrite  aurait  estimé 
qu'après  nous  être  donné  tant  de  mal  pour  le 
trouver,  nous  ne  sommes  pas  plus  avancés  qu'au 
début;  ces  philosophes  ne  sont  jamais  con- 
tents. 

Car,  et  c'est  là  la  seconde  réflexion  qui  s'impose 
à  nous,  chaque  nouvelle  découverte  de  la  physique 
nous  révèle  une  nouvelle  complication  de  l'atome. 
Et  d'abord  les  corps  que  l'on  croyait  simples,  et 
qui,  à  bien  des  égards,  se  comportent  tout  à  fait 
comme  des  corps  simples,  sont  susceptibles  de  se 
décomposer  en  corps  plus  simples  encore.  L'atome 


200  DERNIÈRES    PENSÉES 

se  désagrège  en  atomes  plus  petits.  Ce  qu'on  appelle 
la  radioactivité  n'est  qu'une  perpétuelle  désagré- 
gation de  l'atome.  C'est  ce  qu'on  a  appelé  quelque- 
fois la  transmutation  des  éléments,  ce  qui  n'est 
pas  tout  à  fait  exact,  puisqu'un  élément  ne  se 
transforme  pas  en  réalité  en  un  autre,  mais  se 
décompose  en  plusieurs  autres.  Les  produits  de 
celle  décomposition  sont  encore  des  atomes  chi- 
miques, analogues  à  bien  des  égards  aux  atomes 
complexes  qui  leur  ont  donné  naissance  en  se  désa- 
grégeant, de  sorte  que  le'  phénomène  pourrait 
s'exprimer  comme  les  réactions  les  plus  banales, 
par  une  équation  chimique,  susceptible  d'être 
acceptée  sans  trop  de  souffrances  par  le  chimiste 
le  plus  conservateur. 

Ce  n'est  pas  tout,  dans  l'atome  nous  trouvons 
bien  d'autres  choses  :  nous  y  trouvons  d'abord  des 
électrons  ;  chaque  atome  nous  apparaît  alors 
comme  une  sorte  de  système  solaire,  où  de  petits 
électrons  négatifs  jouant  le  rôle  de  planètes  gra- 
vitent autour  d'un  gros  électron  positif  qui  joue  le 
rôle  de  soleil  central.  C'est  l'attraction  mutuelle  de 
ces  électricités  de  nom  contraire  qui  maintient  la 
cohésion  du  système  et  qui  en  fait  un  tout  ;  c'est 
elle  qui  règle  les  périodes  des  planètes,  et  ce  sont 
ces  périodes  qui  déterminent  la  longueur  d'onde 
de  la  lumière  émise  par  l'atome  ;  c'est  à  la  self- 
induction  des  courants  de  convection  produits  par 


LES  RAPPORTS  DE  LA  MATIÈRE  ET  DE  l'ÉTIIER      201 

les  mouvements  de  ces  électrons  que  l'atome  qui 
en  est  formé  doit  son  inertie  apparente  et  que 
nous  appelons  sa  masse.  Outre  ces  électrons  cap- 
tifs, il  y  a  des  électrons  libres,  ceux  qui  obéissent 
aux  mêmes  lois  cinétiques  que  les  molécules 
gazeuses,  ceux  qui  rendent  les  métaux  conduc- 
teurs. Ceux-là  sont  comparables  aux  comètes  qui 
circulent  d'un  système  stellaire  à  l'autre  et  qui 
établissent  entre  ces  systèmes  éloignés  comme  un 
libre  échange  d'énergie. 

Mais  nous  ne  sommes  pas  au  bout  :  après  les 
électrons  ou  atomes  d'électricité,  voici  venir  les 
magnétons  ou  atomes  de  magnétisme  qui  nous 
arrivent  aujourd'hui  par  deux  voies  différentes,  par 
l'étude  des  corps  magnétiques  et  par  l'étude  du 
spectre  des  corps  simples.  Je  n'ai  pas  à  vous  rap- 
peler ici  la  belle  conférence  de  M.  Weiss  et  les  éton- 
nants rapports  de  commensurabilité  que  ces 
expériences  ont  mis  en  évidence  d'une  façon  si 
inattendue.  Là  aussi  il  y  a  des  rapports  numériques 
que  l'on  ne  saurait  attribuer  au  hasard  et  dont  il 
faut  chercher  l'explication. 

En  même  temps  il  faut  expliquer  les  lois  si 
curieuses  de  la  répartition  des  raies  dans  le 
spectre.  D'après  les  travaux  de  Balmer,  de  Runge, 
de  Kaiser,  de  Rydberg,  ces  raies  se  répartissent  en 
séries  et  dans  chaque  série  obéissent  à  des  lois 
simples.  La  première  pensée  est  de  rapprocher  ces 


202  DEBNIÈRES    PENSÉES 

lois  de  celles  des  harmoniques.  De  même  qu'une 
corde  vibrante  a  une  infinité  de  degrés  de  liberté, 
ce  qui  lui  permet  de  donner  une  infinité  de  sons 
dont  les  fréquences  sont  les  multiples  de  la  fré- 
quence fondamentale  ;  de  même  qu'un  corps  sonore 
de  forme  complexe  donne  aussi  des  harmoniques, 
dont  les  lois  sont  analogues,  quoique  beaucoup 
moins  simples,  de  même  qu'un  résonateur  de 
Hertz  est  susceptible  d'une  infinité  de  périodes  diffé- 
rentes, l'atome  ne  pourrait-il  donner,  pour  des  rai- 
sons identiques,  une  infinitéde  lumières  ditférentes? 
Vous  savez  que  celte  idée  si  simple  a  fait  faillite, 
parce  que,  d'après  les  lois  specLroscopiques,  c'est  la 
fréquence  et  nun  son  carré  dont  l'expression  est 
simple  ;  parce  que  la  fréquence  ne  devient  pas 
infinie  pour  les  harmoniques  de  rang  infiniment 
élevé.  L'idée  doit  être  modifiée  ou  elle  doit  être 
abandonnée.  Jusqu'ici  elle  a  résisté  à  toutes  les 
tentatives,  elle  a  refusé  de  s'adapter;  c'est  ce  qui  a 
conduit  M.  Ritz  à  l'abandonner.  Il  se  représente  alors 
l'atome  vibrant  comme  formé  d'un  électron  tour- 
nant et  de  plusieurs  magnétons placés  bouta  bout. 
Ce  n'est  plus  l'attraction  électrostatique  mutuelle 
des  électrons  qui  règle  les  longueurs  d'onde,  c'est 
le  champ  magnétique  créé  par  ces  magnétons. 

On  a  quelque  peine  à  accepter  cette  conception, 
qui  a  je  ne  sais  quoi  d'artificiel;  mais  il  faut  bien 
qu'on  s'y  résigne,  au  moins  provisoirement,  puis- 


LES  RAPPORTS  DE  LA  MATIERE  ET  DE  L  ETHER 


203 


que  jusqu'ici  on  n'a  rien  trouvé  d'autre  et  que 
cependant  on  a  bien  cherché.  Pourquoi  des  atomes 
d'hydrogène  peuvent-ils  donner  plusieurs  raies?  Ce 
n'est  pas  parce  que  chacun  d'eux  pourrait  donner 
toutes  les  raies  du  spectre  de  l'hydrogène,  et  qu'il 
donne  effectivement  l'une  ou  l'autre  suivant  les 
circonstances  initiales  du  mouvement  ;  c'est  parce 
qu'il  y  a  plusieurs  espèces  d'atomes  d'hydrogène, 
différant  entre  eux  par  le  nombre  des  magnétons 
qui  y  sont  alignés,  et  que  chacune  de  ces  espèces 
d'atomes  donne  une  raie  différente;  on  se  demande 
si  ces  atomes  différents  peuvent  se  transformer  les 
uns  dans  les  autres  et  comment.  Comment  un  atome 
peut-il  perdre  des  magnétons  (et  c'est  ce  qui  semble 
arriver  quand  on  passe  d'une  variété  allotropique 
du  fer  à  une  autre)?  Est-ce  que  le  magné  ton  peut 
sortir  de  l'atome  ou  bien  une  partie  des  magnétons 
peut-elle  quitter  l'alignement  pour  se  disposer 
irrégulièrement? 

Cette  disposition  des  magnétons  bout  à  bout  est 
aussi  un  trait  singulier  de  l'hypothèse  de  Ritz;  les 
idées  de  M.  Weiss  doivent  toutefois  nous  le  faire 
paraître  moins  étrange.  Il  faut  bien  que  les  magné- 
tons se  disposent  sinon  bout  à  bout,  au  moins 
parallèlement,  puisqu'ils  s'ajoutent  arithmétique- 
ment  ou  au  moins  algébriquement,  et  non  pas 
géométriquement. 

Qu'est-ce  maintenant  qu'un  magnéton?  Est-ce 


204  DERNièRES    PENSÉES 

quelque  chose  de  simple?  Non,  si  l'on  ne  veut  pas 
renoncer  à  l'hypothèse  des  courants  particulaires 
d'Ampère  ;  un  magnéton  est  alors  un  tourbillon 
d'électrons  et  voilà  notre  atome  qui  se  complique 
de  plus  en  plus. 

Toutefois  ce  qui,  mieux  que  toute  autre  chose, 
nous  fait  mesurer  la  complexité  de  l'atome,  c'est 
la  réflexion  que  faisait  M.  Debierne  à  la  fin  de  sa 
conférence.  Il  s'agit  d'expliquer  la  loi  de  la  trans- 
formation radioactive;  cette  loi  est  très  simple, 
elle  est  exponentielle  ;  mais,  si  on  réfléchit  à  sa 
forme,  on  voit  que  c'est  une  loi  statistique;  on  y 
reconnaît  la  marque  du  hasard.  Or  le  hasard  n'est 
pas  dû  ici  à  la  rencontre  fortuite  d'autres  atomes 
et  d'autres  agents  extérieurs.  C'est  à  l'intérieur 
même  de  l'atome  que  se  trouvent  les  causes  de  sa 
transformation,  je  veux  dire  la  cause  occasionnelle 
aussi  bien  que  la  cause  profonde.  Sans  cela  nous 
verrions  les  circonstances  externes,  la  tempéra- 
ture par  exemple,  exercer  une  influence  sur  le  coef- 
ficient du  temps  dans  l'exposant;  or  ce  coefficient 
est  remarquablement  constant,  et  Curie  propose  de 
s'en  servir  pour  la  mesure  du  temps  absolu. 

Le  hasard  qui  préside  à  ces  transformations  est 
donc  un  hasard  interne;  c'est-à-dire  que  l'atome 
du  corps  radioactif  est  un  monde  et  un  monde 
soumis  au  hasard  ;  mais  qu'on  y  prenne  garde,  qui 
dit  hasard,  dit  grands  nombres;  un  monde  tormé 


LES  RAPPORTS  DE  LA  MATJÈRE  ET  DE  l'ÉTHER        20L 

de  peu  d'éléments  obéira  à  des  lois  plus  ou  moins 
compliquées,  mais  qui  ne  seront  pas  des  lois  statis- 
tiques. II  faut  donc  que  l'atome  soit  un  monde 
complexe;  il  est  vrai  que  c'est  un  monde  fermé  (oc. 
tout  au  moins  presque  fermé),  il  est  à  l'abri  des 
perturbations  extérieures  que  nous  pouvons  provo- 
quer ;  puisqu'il  y  a  une  statistique  et  par  consé- 
quent une  thermodynamique  interne  de  l'atome, 
nous  pouvons  parler  de  la  température  interne  de 
cet  atome;  eh  bien  1  elle  n'a  aucune  tendance  à  se 
mettre  en  équilibre  avec  la  température  extérieure, 
comme  si  l'atome  était  enfermé  dans  une  enve- 
loppe parfaitement  adiathermane.  Et  c'est  précisé- 
ment parce  qu'il  est  fermé,  parce  que  ses  fonctions 
sont  nettement  tracées,  gardées  par  des  douaniers 
sévères,  que  l'atome  est  un  individu. 

Au  premier  abord,  cette  complexité  de  l'atome 
n'a  rien  de  choquant  pour  l'esprit  ;  il  semble  qu'elle 
ne  doive  nous  causer  aucun  embarras.  Mais  un  peu  de 
réflexion  ne  tarde  pas  à  nous  montrer  les  difficultés 
qui  nous  échappaient  d'abord.  Ce  qu'on  a  compté, 
en  comptant  les  atomes,  ce  sont  les  degrés  de 
liberté  ;  nous  avons  implicitement  supposé  que 
chaque  atome  n'en  a  que  trois;  c'est  ce  qui  nous 
rend  compte  des  chaleurs  spécifiques  observées; 
mais  chaque  complication  nouvelle  devrait  intro- 
duire un  degré  de  liberté  nouveau,  et  alors  nous 
sommes  loin  de  compte.  Cette  difficulté  n'a  pas 

18 


206 


DERNIERES    PENSEES 


échappé  aux  créateurs  de  la  théorie  de  l'équiparti- 
tion  de  l'énergie;  ils  s'étonnaient  déjà  du  nombre 
des  raies  du  spectre;  mais,  ne  trouvant  aucun 
moyen  d'en  sortir,  ils  ont  eu  la  hardiesse  de  passer 
outre. 

Ce  qui  semble  l'explication  naturelle,  c'est  juste- 
ment que  l'atome  est  un  monde  complexe,  mais  un 
monde  fermé  ;  les  perturbations  extérieures  n'ont 
aucune  répercussion  sur  ce  qui  se  passe  en  dedans 
et  ce  qui  se  passe  en  dedans  n'agit  pas  sur  le  dehors  ; 
cela  ne  saurait  être  tout  à  fait  vrai,  sans  cela  nous 
ignorerions  toujours  ce  qui  se  passe  en  dedans,  et 
l'atome  nous  apparaîtrait  comme  un  simple  point 
matériel  ;  ce  qui  est  vrai,  c'est  qu'on  ne  peut  voir 
le  dedans  que  par  une  toute  petite  fenêtre,  qu'il 
n'y  a  pas  pratiquement  d'échange  d'énergies  entre 
l'extérieur  et  l'intérieur  et  par  conséquent  pas  de 
tendance  à  l'équipartition  de  l'énergie  entre  les 
deux  mondes.  La  température  interne,  comme  je 
le  disais  tout  à  l'heure,  ne  tend  pas  à  se  mettre  en 
équilibre  avec  la  température  extérieure,  et  c'est 
pour  cela  que  la  chaleur  spécifique  est  la  même 
que  si  toute  cette  complexité  interne  n'existait  pas. 
Supposons  un  corps  complexe  formé  d'une  sphère 
creuse  dont  la  paroi  interne  serait  absolument 
imperméable  à  la  chaleur,  et  au  dedans  une  foule 
de  corps  divers;  la  chaleur  spécifique  observée  de 
ce  corps  complexe  sera  celle  de  la  sphère,  comme 


LES  RAPPORTS  DE  LA  MATIERE  ET  DE  l'ÉTHER      207 

si  tous  les  corps  qui  sont  enfermés  dedans  n'exis- 
taient pas. 

La  porte  qui  ferme  le  monde  intérieur  de  l'atome 
s'entr  ouvre  pourtant  de  temps  en  temps  ;  c'est  ce 
qui  arrive  quand,  par  l'émission  d'une  particule 
d'hélium,  l'atome  se  dégrade  et  descend  d'un  rang 
dans  la  hiérarchie  radioactive.  Que  se  passe-t-il 
alors?  En  quoi  cette  décomposition  diffère-t-elle 
des  décompositions  chimiques  ordinaires?  En  quoi 
l'atome  d'uranium,  formé  d'hélium  et  d'autre  chose, 
a-t-il  plus  de  titres  au  nom  d'atome  que  la  demi- 
molécule  de  cyanogène,  par  exemple,  qui  se  com- 
porte à  tant  d'égards  comme  celle  d'un  corps  simple, 
et  qui  est  formée  de  carbone  et  d'azote  ?  C'est  sans 
doute  que  la  chaleur  atomique  de  l'uranium  obéi- 
rait (je  ne  sais  si  elle  a  été  mesurée)  à  la  loi  de 
Dulong  et  Petit  et  qu'elle  serait  bien  celle  d'un 
atome  simple;  elle  devrait  doubler  alors  au  moment 
de  l'émission  de  la  particule  d'hélium  et  quand 
l'atome  primordial  se  décompose  en  deux  atomes 
secondaires.  Par  cette  décomposition,  l'atome 
acquerrait  de  nouveaux  degrés  de  liberté  suscep- 
tibles d'agir  sur  le  monde  extérieur,  et  ces  nou- 
veaux degrés  de  liberté  se  traduiraient  par  un 
accroissement  de  chaleur  spécifique.  Quelle  serait 
la  conséquence  de  cette  différence  entre  la  chaleur 
spécifique  totale  des  composants  et  celle  des  com- 
posés? C'est   que  la   chaleur  dégagée  par  cette 


208  DERNIÈRES    PENSÉES 

décomposition  devrait  varier  rapidement  avec  la 
température;  de  so^te  que  la  formation  des  molé- 
cules radioactives;  très  fortement  endothermique 
à  la  température  ordinaire,  deviendrait  exother- 
micjue  à  température  élevée.  On  s'expliquerait 
mieux  ainsi  comment  les  composés  radioactifs  ont 
pu  se  former,  ce  qui  ne  laissait  pas  d'être  un  peu 
mystérieux. 

Quoi  qu'il  en  soit,  cette  conception  de  ces  petits 
mondes  fermés,  ou  seulement  entr'ouverts,  ne 
suffit  pas  pour  résoudre  le  problème.  Il  faudrait 
que  l'équipartition  de  l'énergie  régnât  sans  contes- 
tation en  dehors  de  ces  mondes  fermés,  sauf  au 
moment  oîi  l'une  des  portes  s'entr'ouvrirait,  et  ce 
n'est  pas  ce  qui  arrive. 

La  chaleur  spécifique  des  corps  solides  diminue 
rapidement  quand  la  température  s'abaisse,  comme 
si  quelques-uns  de  leurs  degrés  de  liberté  s'anky- 
losaient  successivement,  se  gelaient  pour  ainsi 
dire,  ou,  si  vous  aimez  mieux,  perdaient  tout  con- 
tact avec  l'extérieur  et  se  retiraient  à  leur  tour 
derrière  je  ne  sais  quelle  enceinte,  dans  je  ne  sais 
quel  monde  fermé. 

D'autre  part,  la  loi  du  rayonnement  noir  n'est 
pas  celle  qu'exigerait  la  théorie  de  l'équipartition. 

La  loi  qui  s'adapterait  à  cette  théorie  serait  celle 
de  Rayleigh,  et  celte  loi,  qui  d'ailleurs  impliquerait 
contradiction,  puisqu'elle  conduirait  à  un  rayonne- 


LES  BAPPOBTS  PE  LA  MATIÈRE  ET  DE  l'ÉTHER     209 

ment  total  infini,  est  absolument  contredite  par 
l'expérience.  Il  y  a  dans  l'émission  des  corps  noirs 
beauf  or  p  moins  de  lu  mière  à  courte  longueur  d'onde 
que  ne  l'exigerait  l'hypothèse  de  l'equipartition. 

C'est  pour  cela  que  M.  Planck  a  imaginé- sa  théo- 
i'ie  des  Quanta,  d'après  laquelle  les  échanges 
f"énergie  entre  la  matière  ordinaire  et  les  petits 
.esonateurs  dont  les  vibrations  engendrent  la 
•Jim-ère  des  corps  incandescents,  ne  pourraient  se 
idire  que  par  sauts  brusques  ;  un  de  ces  résona- 
teurs ne  pourrait  acquérir  d'énergie  ou  en  perdre 
d'une  manière  continue;  il  ne  pourrait  acquérir  une 
fraction  de  quantum,  il  acquerrait  un  quantum  tout 
entier  ou  rien  du  tout. 

Pourquoi  alors  la  chaleur  spécifique  d'un  solide 
diminue-t-elle  à  basse  température,  pourquoi  cer- 
tains de  ses  degrés  de  liberté  semblenl-iîs  ne  pas 
jouer?  C'est  parce  que  la  provision  d'énergie  qui 
leur  est  ofl"erte  à  basse  température  n'est  pas  suffi- 
sante pour  leur  fournir  un  quantum  à  chacun;  cer- 
tains d'entre  eux  n'auraient  droit  qu'à  use  fraction 
de  quantum  ;  mais,  comme  ils  veulent  tcut  ou  rien, 
ils  n'ont  rien  et  restent  comme  ankylosés. 

De  même  dans  le  rayonnement,  certains  réso- 
nateurs, qui  ne  peuvent  avoir  le  quantum  entier, 
n'ont  rien  et  restent  immobiles;  de  sorte  qu'il  y  a 
beaucoup  moins  de  lumière  rayonnée  à  basse  tem- 
pérature qu'il  n'y  en  aurait  sans  cette  circonstance  ; 

18. 


210 


DERNIERES    PENSEES 


et  comme  le  quantum  exigé  est  d'autant  plus  grand 
que  la  longueur  d'onde  est  plus  petite,  ce  sont  sur- 
tout les  résonateurs  à  courte  longueur  d'onde  qui 
demeurent  muets,  de  sorte  que  la  proportion  de 
lumière  à  courte  longueur  d'onde  est  beaucoup 
plus  petite  que  ne  l'exigerait  la  loi  de  Rayleigh. 

Déclarer  qu'une  semblable  théorie  soulève  bien 
des  difficultés,  ce  serait  une  grande  naïveté;  quand 
on  émet  une  idée  aussi  hardie,  on  s'attend  bien  à 
rencontrer  des  difficultés,  on  sait  qu'on  bouleverse 
toutes  les  opinions  reçues  et  on  ne  s'étonne  plus 
d'aucun  obstacle,  on  s'étonnerait  au  contraire  de 
n'en  pas  trouver  devant  soi.  Aussi  ces  difficultés  ne 
semblent-elles  pas  des  objections  valables. 

J'aurai  cependant  le  courage  de  vous  en  signaler 
quelques-unes  et  je  ne  choisirai  pas  les  plus 
grosses,  les  plus  évidentes,  celles  qui  se  présentent 
à  tous  les  esprits,  et  en  effet  cela  est  bien  inutile, 
puisque  tout  le  monde  y  pense  du  premier  coup  ; 
je  veux  vous  dire  simplement  par  quelle  série 
d'états  d'âmes  j'ai  successivement  passé. 

Je  me  suis  demandé  d'abord  quelle  était  la  valeur 
des  démonstrations  proposées  ;  j'ai  vu  qu'on  éva- 
luait la  probabilité  des  diverses  répartitions  de 
l'énergie,  en  les  énumérant  simplement,  puisque, 
grâce  à  l'hypothèse  faite,  elles  étaient  en  nombre 
fini,  mais  je  ne  voyais  pas  bien  pourquoi  on  les 
regardait  comme  également  probables.  Ensuite  on 


LES  RAPPORTS  DE  LA  MATIERE  ET  DE  l'ÉTHER     211 

introduisait  les  relations  connues  entre  la  tempé- 
rature, l'entropie  et  la  probabilité;  cela  supposait 
la  possibilité  de  l'équilibre  thermodynamique, 
puisque  ces  relations  sont  démontrées  en  sup- 
posant cet  équilibre  possible.  Je  sais  bien  que 
l'expérience  nous  apprend  que  cet  équilibre  est 
réalisable,  puisqu'il  est  réalisé;  mais  cela  ne  me 
suffisait  pas,  il  fallait  montrer  que  cet  équilibre 
est  compatible  avec  l'hypothèse  faite  et  même 
qu'il  en  est  une  conséquence  nécessaire.  Je  n'avais 
pas  précisément  des  doutes,  mais  j'éprouvais  le 
besoin  de  voir  un  peu  plus  clair,  et  pour  cela  il 
fallait  pénétrer  un  peu  dans  le  détail  du  méca- 
nisme. 

Pour  qu'il  puisse  y  avoir  une  répartition  d'éner- 
gie entre  les  résonateurs  de  longueur  d'onde  dif- 
férente dont  les  oscillations  sont  la  cause  du  rayon- 
nement, il  faut  qu'ils  puissent  échanger  leur 
énergie;  sans  cela  la  distribution  initiale  subsiste- 
rait indéfiniment  et,  comme  cette  distribution  ini- 
tiale est  arbitraire,  il  ne  saurait  être  question  d'une 
loi  du  rayonnement.  Or  un  résonateur  ne  peut 
céder  à  l'éther,  et  il  n'en  peut  recevoir  que  de  la 
lumière  d'une  longueur  d'onde  parfaitement  déter- 
minée. Si  donc  les  résonateurs  ne  pouvaient  réa- 
gir les  uns  sur  les  autres  mécaniquement,  c'est-à- 
dire  sans  l'intermédiaire  de  l'élher;  si  d'autre  part 
ils  étaient  fixes  et  enfermés  dans  une  enceinte  fixe. 


212 


DERNIERES    PENSEES 


chacun  d'eux  ne  i)ourr;iit  émettre  ou  absorber  que 
de  la  lumière  d'une  couleur  déterminée,  il  ne  pour- 
rait donc  échanger  d'énergie  qu'avec  les  résona- 
teurs avec  lesquels  il  serait  en  parfaite  résonance, 
et  la  distribution  initiale  demeurerait  inaltérable. 
Mais  nous  pouvons  concevoir  deux  modes  d'échange 
qui  ne  prêtent  pas  à  cette  objection.  D'une  part,  des 
atomes,  des  électrons  libres  peuvent  circuler  d'un 
résonateur  à  l'autre,  choquer  un  résonateur,  lui 
communiquer  et  en  recevoir  de  l'énergie.  D'autre 
part,  la  lumière,  en  se  réfléchissant  sur  des  miroirs 
mobiles,  change  de  longueur  d'onde  en  vertu  du 
principe  de  Dôppler-Fizeau. 

Sommes-nous  libres  de  choisir  entre  ces  deux 
mécanismes?  Non,  il  est  certain  que  l'un  et  l'autre 
doivent  entrer  en  jeu,  et  il  est  nécessaire  que  l'un 
et  l'autre  nous  conduisent  à  un  même  résultat,  à 
une  même  loi  du  rayonnement.  Qu'arriverait-il  en 
effet  si  les  résultats  étaient  contradictoires,  si  le 
mécanisme  des  chocs  agissant  seul  tendait  à  réali- 
ser une  certaine  loi  de  rayonnement,  celle  de  Planck 
par  exemple,  tandis  que  le  mécanisme  de  Doppler- 
Fizeau  tendrait  à  en  réaliser  une  autre  ?  Eh  bien  ! 
il  arriverait  que,  ces  deux  mécanismes  devant  jouer 
l'un  et  l'autre,  mais  devenant  alterrativement  pré- 
pondérants sous  l'influence  de  circor  stances  for- 
tuites, le  monde  oscillerait  constamment  d'une  loi 
à  l'autre,  il  ne  tendrait  i)as  vers  un  état  final  stable, 


LES  RAPPORTS  DE  LA  MATIÈRE  ET  DE  l'ÉTIIER     2io 

vers  cette  mort  thermique  où  il  ne  connaîtra  plus 
le  changement;  le  second  principe  de  la  thermo- 
dynamique ne  serait  pas  vrai. 

Je  résolus  donc  d'examiner  successivement  les 
deux  processus,  et  je  commençai  par  l'action 
mécanique,  par  le  choc.  Vous  savez  pourquoi  les 
théories  anciennes  nous  conduisent  forcément  à 
la  loi  de  l'équipartition  ;  c'est  parce  qu'elles  sup- 
posent que  toutes  les  équations  de  la  mécanique 
sont  de  la  forme  de  Hamilton  et  que  par  consé- 
quent elles  admettent  l'unité  comme  un  dernier 
multiplicateur  au  sens  de  Jacobi.  On  doit  alors 
supposer  que  les  lois  du  choc  entre  un  électron 
libre  et  un  résonateur  ne  sont  pas  de  la  même 
forme  et  que  les  équations  qui  les  régissent  admet- 
tent un  dernier  multiplicateur  autre  que  l'unité. 
Il  faut  bien  qu'elles  aient  un  dernier  multiplica- 
teur, sans  quoi  le  second  principe  de  la  thermo- 
dynamique ne  serait  pas  vrai,  nous  retrouverions 
la  difficulté  de  tout  à  l'heure,  mais  il  ne  faut  pas 
que  ce  multiplicateur  soit  l'unité. 

C'est  précisément  ce  dernier  multiplicateur  qui 
mesure  la  probabilité  d'un  état  donné  du  système 
{ou  plutôt  ce  qu'on  pourrait  appeler  la  densité  de 
la  probabilité).  Dans  l'hypothèse  des  quanta,  ce 
multiplicateur  ne  peut  être  une  fonction  continue, 
puisque  la  probabilité  d'un  état  doit  être  nulle, 
toutes  les  fois  que  l'énergie  correspondante  n'est 


21^  DERNIÈRES    PENSÉES 

pas  un  multiple  du  quantum.  C'est  là  une  difficulté 
évidente,  mais  c'est  une  de  celles  auxquelles  nous 
sommes  résignés  d'avance  ;  je  ne  m'y  suis  pas 
arrêté;  j'ai  alors  poussé  le  calcul  jusqu'au  bout  et 
j'ai  retrouvé  la  loi  de  Planck,  justifiant  pleinement 
les  vues  du  physicien  allemand. 

Je  suis  alors  passé  au  mécanisme  de  Dôppler- 
Fizeau;  supposons  une  enceinte  formée  d'un  corps 
de  pompe  et  d'un  piston,  dont  les  parois  sont  par- 
faitement réfléchissantes.  Dans  cette  enceinte  est 
enfermée  une  certaine  quantité  d'énergie  lumineuse 
avec  une  répartition  quelconque  des  longueurs 
d'onde,  mais  pas  de  source  de  lumière;  l'énergie 
lumineuse  y  est  enfermée  une  fois  pour  toutes. 

Tant  que  le  piston  ne  bougera  pas,  cette  réparti- 
tion ne  pourra  varier,  car  la  lumière  conservera  sa 
longueur  d'onde  en  se  réfléchissant;  mais,  quand  on 
déplacera  le  piston,  la  répartition  variera.  Si  la 
vitesse  du  piston  est  très  petite,  le  phénomène  est 
réversible  et  l'entropie  doit  demeurer  constante; 
on  retrouve  ainsi  l'analyse  de  Wien  et  la  loi  de 
Wien,  mais  on  n'est  pas  plus  avancé,  puisque  cette 
loi  est  commune  aux  anciennes  et  aux  nouvelles 
théories.  Si  la  vitesse  du  piston  n'est  pas  très  petite, 
le  phénomène  devient  irréversible;  de  sorte  que 
l'analyse  thermodynamique  ne  nous  conduit  plus  à 
des  égalités,  mais  à  de  simples  inégalités  d'où  on 
ne  pourrait  tirer  de  conclusions. 


LES  BAPPORTS  DE  LA  MATIÈRE  ET  DE  l'ÉTÎIER     215 

11  semble  pourtant  que  l'on  pourrait  raisonner 
comme  il  suit  :  supposons  que  la  distribution  ini- 
tiale de  l'énergie  soit  celle  du  rayonnement  noir, 
c'est  évidemment  celle  qui  correspond  au  maxi- 
mum de  l'entropie;  si  on  donne  quelques  coups  de 
piston,  la  distribution  finale  devra  donc  rester  la 
même,  sans  quoi  l'entropie  aurait  diminué  ;  et  même 
quelle  que  soit  la  distribution  initiale,  après  un 
nombre  très  grand  de  coups  de  piston,  la  distribu- 
tion finale  devra  être  celle  qui  rend  l'entropie  maxi- 
mum, celle  du  rayonnement  noir.  Ce  raisonnement 
serait  sans  valeur. 

•La  distribution  a  une  tendance  à  se  rapprocher 
de  celle  du  rayonnement  noir  ;  elle  ne  peut  pas  plus 
s'en  écarter  que  la  chaleur  ne  peut  passer  d'un 
corps  froid  sur  un  corps  chaud,  c'est-à-dire  qu'elle 
no  peut  le  faire  sans  contre-partie.  Or  ici  il  y  a  une 
contre-partie  :  en  donnant  des  coups  de  piston,  on 
dépense  du  travail,  qui  se  retrouve  par  une  augmen- 
tation de  l'énergie  lumineuse  enfermée  dans  le 
corps  de  pompe,  c'est-à-dire  qui  est  transformé  en 
chaleur. 

La  même  difficulté  ne  se  retrouverait  plus  si  les 
corps  en  mouvement  sur  lesquels  se  fait  la  réflexion 
de  la  lumière  étaient  infiniment  petits  et  infiniment 
nombreux,  parce  qu'alors  leur  force  vive  ne  serait 
pas  du  travail  mécanique,  mais  de  la  chaleur;  on 
ne  pourrait  donc  compenser  la  diminution  d'entro- 


216 


DEKMERES    PENSEES 


l»ie  qui  correspond  à  un  changement  dans  la  répar- 
lilion  des  longueurs  d'onde  par  la  transformation 
de  ce  travail  en  chaleur,  et  alors  on  sera  en  droit 
de  conclure  que,  si  la  distribution  initiale  est  celle 
du  rayonnement  noir,  cette  distribution  devra  per- 
sister indéfiniment. 

Supposons  donc  une  enceinte  à  parois  fixes  et 
réfléchissantes  ;  nous  y  enfermerons  non  seulement 
de  l'énergie  lumineuse,  mais  aussi  un  gaz;  ce  sont 
les  molécules  de  ce  gaz  qui  joueront  le  rôle  de 
miroirs  mobiles.  Si  la  distribution  des  longueurs 
d'onde  est  celle  du  rayonnement  noir  correspon- 
dant à  la  température  du  gaz,  cet  état  devra  être 
stable,  c'est-à-dire  : 

1°  Que  l'action  de  la  lumière  sur  les  molécules 
ne  devra  pas  en  faire  varier  la  température  ; 

2°  Que  l'action  des  molécules  sur  la  lumière  ne 
devra  pas  troubler  la  distribution. 

M.  Einstein  a  étudié  l'action  de  la  lumière  sur 
les  molécules;  ces  molécules  subissent,  en  effet, 
quelque  chose  qui  ressemble  à  la  pression  de  radia- 
tion ;  M.  Einstein  ne  s'est  pas  toutefois  placé  tout  à 
fait  à  un  point  de  rue  aussi  simple;  il  a  assimilé 
ses  molécules  à  de  petits  résonateurs  mobiles, 
susceptibles  de  posséder  à  la  fois  de  la  force  vive 
de  translation  et  de  l'énergie  due  à  des  oscillations 
électriques.  Le  résultat  aurait  dans  tous  les  cas  été 
le  même,  il  aurait  retrouvé  la  loi  de  Rayleigh. 


LES  BAI'PORTS  DE  LA  MATiÈnE  ET  DE  l'ÉTHER     217 

Quant  à  moi,  je  ferai  l'inverse,  c'est-à-dire  que 
j'étudierai  l'action  des  molécules  sur  la  lumière. 
Les  molécules  sont  trop  petites  pour  donner  une 
réflexion  régulière;  elles  produisent  seulement  une 
diffusion.  Ce  qu'est  cette  diffusion,  quand  on  ne 
tient  pas  compte  des  mouvements  des  molécules, 
nous  le  savons,  et  par  la  théorie  et  par  l'expérience; 
c'est  elle,  en  effet,  qui  produit  le  bleu  du  ciel. 

Cette  diffusion  n'altère  pas  la  longueur  d'onde, 
mais  elle  est  d'autant  plus  intense  que  la  longueur 
d'onde  est  plus  petite. 

Il  faut  maintenant  passer  de  l'action  d'une  molé- 
cule au  repos  à  l'action  d'une  molécule  en  mouve- 
ment, afin  de  tenir  compte  de  l'agitation  thermique  ; 
cela  est  facile,  nous  n'avons  qu'à  appliquer  le  prin- 
cipe de  relativité  de  Lorentz;  il  en  résulte  que 
divers  faisceaux  de  même  longueur  d'onde  réelle, 
arrivant  sur  la  m.olécule  dans  différentes  directions, 
n'auront  pas  même  longueur  d'onde  apparente  pour 
un  observateur  qui  croirait  la  molécule  en  repos. 
La  longueur  d'onde  apparente  n'est  pas  altérée  par 
la  diffraction,  mais  il  n'en  est  pas  de  même  de  la 
longueur  d'onde  réelle. 

On  arrive  ainsi  à  une  loi  intéressante;  l'énergie 
lumineuse  réfléchie  ou  diffusée  n'est  pas  égale  à 
l'énergie  lumineuse  incidente  ;  ce  n'est  pas  l'énergie, 
c'est  le  produit  de  l'énergie  par  la  longueur  d'onde 
qui  demeure  inaltéré.  J'ai  d'abord  été  très  content» 

19 


218 


DERNIERES    PENSEES 


Il  résultait  en  effet  de  là  qu'un  quantum  incident 
donnait  un  quantum  diffusé,  puisque  le  quantum 
est  en  raison  inverse  de  la  longueur  d'onde.  Mal- 
heureusement cela  n'a  rien  donné. 

J'ai  été  conduit  par  cette  analyse  à  la  loi  de 
Rayleigh;  cela,  je  le  savais  bien  d'avance;  mais 
j'espérais  qu'en  voyant  comment  je  serais  conduit  à 
la  loi  de  Rayleigh,  j'apercevrais  plus  clairement 
quelles  modifications  il  faut  faire  subir  aux  hypo- 
thèses pour  retrouver  la  loi  de  Planck.  C'est  cet 
espoir  qui  a  été  déçu. 

Ma  première  pensée  fut  de  chercher  quelque 
chose  qui  ressemblât  à  la  théorie  des  quanta;  iî 
serait  en  effet  surprenant  que  deux  explications 
entièrement  différentes  rendissent  compte  d'une 
même  dérogation  à  la  loi  d'équipartition,  selon  le 
mécanisme  par  lequel  cette  dérogation  se  produi- 
rait. Or,  comment  la  structure  discontinue  de  l'éner- 
gie pourrait-elle  intervenir?  On  pourrait  supposer 
que  cette  discontinuité  appartient  à  l'énergie  lumi- 
neuse elle-même,  lorsqu'elle  circule  dans  l'éther 
libre,  que  par  conséquent  la  lumière  ne  tombe  pas 
sur  les  molécules  en  masse  compacte,  mais  par 
petits  bataillons  séparés;  il  est  aisé  de  voir  que 
cela  ne  changerait  rien  au  résultat. 

Ou  bien  on  pourrait  supposer  que  la  discontinuité 
se  produit  au  moment  de  la  diffusion  elle-même, 
que  la  molécule  diffusante  ne  transforme  pas  la 


LES  RAPPORTS  DE  LA  MATIÈRE  ET  DE  l'ÉTHER     219 

lumière  d'une  façon  continue,  mais  par  quanta 
successifs  ;  cela  ne  va  pas  encore  parce  que,  si  la 
lumière  à  transformer  devait  faire  antichambre, 
comme  si  on  avait  affaire  à  un  omnibus  qui  atten- 
drait d'être  plein  pour  partir,  il  en  résulterait  for- 
cément un  retard.  Or,  la  théorie  de  lord  Rayleigh 
nous  apprend  que  la  diffusion  par  les  molécules, 
lorsqu'elle  se  fait  sans  déviation  dans  la  direction 
du  rayon  incident,  produit  tout  simplement  la 
réfraction  ordinaire  ;  c'est-à-dire  que  la  lumière 
diffusée  interfère  régulièrement  avec  la  lumière 
incidente,  ce  qui  ne  serait  pas  possible  s'il  y  avait 
«ne  perte  de  phase. 

Si  nous  cherchons  sans  parti  pris  quelle  est  celle 
de  nos  prémisses  qu'il  nous  convient  d'abandonner, 
nous  ne  serons  pas  moins  embarrassés  :  on  ne  voit 
pas  comment  on  pourrait  renoncer  au  principe  de 
relativité  ;  est-ce  alors  la  loi  de  diffusion  par  les 
molécules  au  repos  qu'il  faudrait  modifier?  cela 
-est  aussi  bien  difficile;  nous  ne  pouvons  guère 
pousser  la  fantaisie  jusqu'à  croire  que  le  ciel  n'est 
pas  bleu. 

Je  resterai  sur  cet  embarras,  et  je  terminerai 
par  la  réflexion  suivante.  A  mesure  que  la  science 
progresse,  il  devient  de  plus  en  plus  difficile  de 
faire  place  à  un  fait  nouveau  qui  ne  se  case  pas 
naturellement.  Les  théories  anciennes  reposent  sur 
un  grand  nombre  de  coïncidences  numériques  qui 


^20  DERNIÈRES    PENSÉES 

ne  peuvent  être  attribuées  au  hasard;  nous  ne 
pouvons  donc  disjoindre  ce  qu'elles  ont  réuni  ; 
nous  ne  pouvons  plus  briser  les  cadres,  nous  devons 
chercher  à  les  plier  ;  et  ils  ne  s'y  prêtent  pas  tou- 
jours. La  théorie  de  l'équipartition  expliquait  tant 
de  faits  qu'elle  doit  contenir  une  part  de  vérité; 
d'autre  part,  elle  n'est  pas  vraie  tout  entière,  puis- 
qu'elle ne  les  explique  pas  tous.  On  ne  peut  ni 
l'abandonner,  ni  la  conserver  sans  modification,  et 
les  modifications  qui  semblent  s'imposer  sont  si 
étranges  qu'on  hésite  à  s'y  résigner.  Dans  l'état 
actuel  de  la  science,  nous  ne  pouvons  que  consta- 
ter ces  difficultés  sans  les  résoudre. 


CHAPITRE  VIII 


LA   MORALE    ET   LA    SCIENCE 


19. 


CHAPITRE  VllI 
LA   MORALE    ET   LA    SCIENCE 


Dans  la  dernière  moitié  du  xix*  siècle,  on  a  bien 
souvent  rêvé  de  créer  une  morale  scientinque.  On 
ne  se  contentait  pas  de  vanter  la  vertu  éducatrice 
de  la  science,  les  avantages  que  l'âme  humaine 
retire  pour  son  propre  perfectionnement  du  com- 
merce de  la  vérité  regardée  face  à  face.  On  comp- 
tait que  la  science  mettrait  les  vérités  morales 
au-dessus  de  toute  contestation,  comme  elle  a 
fait  pour  les  théorèmes  de  mathématiques  et  les 
lois  énoncées  par  les  physiciens. 

Les  religions  peuvent  avoir  une  grande  puissance 
sur  les  âmes  croyantes,  mais  tout  le  monde  n'est 
pas  croyant;  la  foi  ne  s'impose  qu'à  quelques-uns, 
la  raison  s'imposerait  à  tous.  C'est  à  la  raison  qu'il 
faut  nous  adresser,  et  je  ne  dis  pas  à  celle  du  mé- 
taphysicien dont  les  constructions  sont  brillantes, 
mais  éphémères,  comme  les  bulles  de  savon  dont 
on  s'amuse  un  instant  et  qui  crèvent.   La  science 


224  DERNIÈRES    PENSÉES 

seule  bâtit  solidement;  elle  a  bâti  l'astronomie  et  la 
physique  ;  elle  bâtit  aujourd'hui  la  biologie  ;  par  les 
mêmes  procédés  elle  bâtira  demain  la  morale.  Ses 
prescriptions  régneront  sans  partage,  personne  ne 
pourra  murmurer  contre  elles,  et  on  ne  songera 
pas  plus  à  s'insurger  contre  la  loi  morale  qu'on  ne 
songti  aujourd'hui  à  se  révolter  contre  le  théorème 
des  trois  perpendiculaires  ou  la  loi  de  la  gravi- 
tation. 

Et  d'un  autie  côté,  il  y  avait  des  gens  qui  pen- 
saient de  la  science  tout  le  mal  possible;  qui  y 
voyaient  uv  ^  é:ole  d'immoralilé.  Ce  n'est  pas  seu- 
lement qu'elle  acorde  trop  de  place  à  la  matière; 
qu'elle  nous  enlève  le  sens  du  respect,  parce  qu'on 
ne  respecte  bien  que  les  choses  qti'on  n'ose  pas 
regarder.  Mais  ses  conclusions  ne  vunt-elles  pas 
être  la  négation  de  la  morale?  Elle  va,  comme  a 
dit  je  ne  sais  plus  quel  auteur  céièbre,  éteindre 
les  lumières  du  ciel  ou,  tout  au  moins,  les  priver 
de  ce  qu'elles  ont  de  mystérieux  pour  les  réduire  à 
l'état  de  vulgaires  becs  de  gaz.  Elle  va  nous  dévoi- 
ler les  trucs  du  Créateur  qui  y  perdra  quelque 
chose  de  son  prestige;  il  n'est  pas  bon  de  laisser 
les  enfants  regarder  dans  les  coulisses;  cela  pour- 
rait leur  inspirer  des  doutes  sur  l'existence  de 
Croquemitaine.  Si  on  laisse  faire  les  savants,  il 
n'y  aura  bientôt  plus  de  morale. 

Que  devons-nous  penseï  des  espérances  des  uns 


LA    MORALE    ET    LA    SCIENCE  2^5 

et  des  craintes  des  autres?  Je  n'hésite  pas  à 
répondre  :  elles  sont  aussi  vaines  les  unes  que  les 
autres.  Il  ne  peut  pas  y  avoir  de  morale  scienti- 
fique; mais  il  ne  peut  pas  y  avoir  non  plus  de 
science  immorale.  Et  la  raison  en  est  simple;  c'est 
une  raison,  comment  dirai-je?  purement  gramma- 
ticale. 

Si  les  prémisses  d'un  syllogisme  sont  toutes  les 
deux  à  l'indicatif,  la  conclu'ïion  sera  également  à 
l'indicatif.  Pour  que  la  conclusion  pût  être  mise  à 
l'impératif,  il  faudrait  que  l'une  des  prémisses  au 
moins  fût  elle-même  à  l'impératif.  Or,  les  prin- 
cipes de  la  science,  les  postulais  de  la  géométrie 
sont  et  ne  peuvent  être  qu'à  l'indicatif;  c'est  encore 
à  ce  même  mode  que  sont  les  vérités  expérimen- 
tales, et  à  la  base  des  sciences,  il  n'y  a,  il  ne  peut 
y  avoir  rien  autre  chose.  Dès  lors,  le  dialecticien  le 
plus  subtil  peut  jongler  avec  ces  principes  comme 
il  voudra,  les  combiner,  les  échafauder  les  uns  sur 
les  autres;  tout  ce  qu'il  en  tirera  sera  à  l'indicatif. 
11  n'obtiendra  jamais  une  proposition  qui  dira  : 
fais  ceci,  ou  ne  fais  pas  cela;  c'est-à-dire  une 
proposition  qui  confirme  ou  qui  contredise  la 
morale. 

Et  c'est  là  une  difficulté  que  les  moralistes  ren- 
contrent depuis  longtemps.  Ils  s'efforcent  de  dé- 
montrer la  loi  morale;  il  faut  le  leur  pardonner 
puisque  c'est  là  leur  métier;  ils  veulent  appuyer  la 


226  DERNIÈRES    PENSÉES 

morale  sur  quelque  chose,  comme  si  elle  pouvait 
s'appuyer  sur  autre  chose  que  sur  elle-même.  La 
science  nous  montre  que  l'homme  ne  peut  que  se 
dégrader  en  vivant  de  telle  ou  telle  manière  ;  et  si 
je  me  soucie  peu  de  me  dégrader,  si  ce  que  vous 
nommez  dégradation,  je  le  baptise  progrès?  La 
métaphysique  nous  engage  à  nous  conformer  à  la 
loi  générale  de  l'être  qu'elle  prétend  avoir  décou- 
verte ;  j'aime  mieux,  pourra- t-on  lui  répondre,  obéir 
à  ma  loi  particulière;  je  ne  sais  pas  ce  qu'elle 
répliquera,  mais  je  peux  vous  assurer  qu'elle 
n'aura  pas  le  dernier  mot. 

La  morale  religieuse  sera-t-elle  plus  heureuse 
que  la  science  ou  la  métaphysique?  Obéissez  parce 
que  Dieu  l'ordonne,  et  qu'il  est  un  maître  qui  peut 
briser  toutes  les  résistances.  Est-ce  une  démons- 
tration et  ne  pourra-t-on  soutenir  qu'il  est  beau 
de  se  dresser  contre  la  toute-puissance  et  que 
dans  le  duel  entre  Jupiter  et  Prométhée,  c'est  Pro- 
méthée  torturé  qui  est  le  vrai  vainqueur?  Et  puis 
ce  n'est  pas  obéir  que  de  céder  à  la  force;  l'obéis- 
sance des  cœurs  ne  peut  être  contrainte. 

Et  nous  ne  pouvons  pas  non  plus  fonder  une 
morale  sur  l'intérêt  de  la  communauté,  sur  la 
notion  de  patrie,  sur  l'altruisme,  puisqu'il  resterait 
à  démontrer  qu'il  faut  au  besoin  se  sacrifier  à  la 
cité  dont  on  fait  partie,  ou  bien  encore  au  bonheur 
d'autrui;  et  cette  démonstration,  aucune  logique, 


LA    MORALE    ET    LA    SCIENCE  227 

aucune  science  ne  peut  nous  la  fournir.  Bien  plus, 
la  morale  de  l'intérêt  bien  entendu,  elle-même, 
celle  de  l'égoïsme  serait  impuissante,  puisque, 
après  tout,  il  n'est  pas  certain  qu'il  convienne 
d'être  égoïste  et  qu'il  y  a  des  gens  qui  ne  le  sont 
point. 

Toute  morale  dogmatique,  toute  morale  démons- 
trative est  donc  vouée  d'avance  à  un  échec  cer- 
tain; elle  est  comme  une  machine  où  il  n'y  aurait 
que  des  transmissions  de  mouvement  et  pas 
d'énergie  motrice.  Le  moteur  moral,  celui  qui  peut 
mettre  en  branle  tout  l'appareil  des  bielles  et  des 
engrenages,  ce  ne  peut  èlre  qu'un  sentiment.  On  ne 
peut  pas  nous  démontrer  que  nous  devons  avoir 
pitié  des  malheureux,  mais  qu'on  nous  mette  en 
présence  de  misères  imméritées,  spectacle  qui 
n'est,  hélas!  que  trop  fréquent,  et  nous  nous  sen- 
tirons soulevés  par  un  sentiment  de  révolte;  je  ne 
sais  quelle  énergie  se  lèvera  en  nous,  qui  n'écou- 
tera aucun  raisonnement  et  qui  nous  entraînera 
irrésistiblement  et  comme  malgré  nous. 

On  ne  peut  pas  démontrer  qu'on  doit  obéir  à  un 
Dieu,  quand  même  on  nous  prouverait  qu'il  est 
tout-puissant  et  qu'il  peut  nous  écraser;  quand 
même  on  nous  prouverait  qu'il  est  bon  et  que  nous 
lui  devons  de  la  reconnaissance;  il  y  a  des  gens 
qui  croient  que  le  droit  à  l'ingratitude  est  la  plus 
précieuse  de  toutes  les  libertés.  Mais  si  nous  aimons 


228 


DERNIERES    PENSEES 


ce  Dieu,  toute  démonstration  deviendra  inutile,  et 
l'obéissance  nous  semblera  toute  naturelle;  et  c'est 
pour  cela  que  les  religions  sont  puissantes,  tandis 
que  les  métaphysiques  ne  le  sont  pas. 

Quand  on  nous  demande  de  justifier  par  des  rai- 
sonnements notre  amour  pour  la  patrie,  nous  pou- 
vons être  très  embarrassés  ;  mais  que  nous  nous 
représentions  par  la  pensée  nos  armées  vaincues, 
la  France  envahie,  tout  notre  cœur  se  soulèvera,  les 
larmes  nous  monteront  aux  yeux  et  nous  n'écou- 
terons plus  rien.  Et  si  certaines  gens  accumulent 
aujourd'hui  tant  de  sophismes,  c'est  sans  doute 
qu'ils  n'ont  pas  assez  d'imagination,  ils  ne  peuvent 
se  représenter  tous  ces  maux,  et  si  le  malheur  ou 
quelque  punition  du  ciel  voulaient  qu'ils  les  vissent 
de  leurs  yeux,  leur  âme  se  révolterait  comme  la 
nôtre. 

La  science  ne  peut  donc  à  elle  seule  créer  une 
morale;  elle  ne  peut  pas  davantage  à  elle  seule  et 
directement,  ébranler  ou  détruire  la  morale  tradi- 
tionnelle. Mais  ne  peut-elle  exercer  une  action 
indirecte?  Ce  que  je  viens  de  dire  indique  par  quel 
mécanisme  elle  pourrait  intervenir.  Elle  peut  faire 
naître  des  sentiments  nouveaux,  non  que  des  sen- 
timents puissent  être  objets  de  démonstration; 
mais  parce  que  toute  forme  de  l'activité  humaine 
réagit  sur  l'hortime  lui-même  et  lui  fait  une  âme 
nouvelle.  Il  y  a  une  psychologie  professionnelle 


LA    MORALE    ET    LA    SCIENCE  229 

pour  chaque  métier;  les  sentiments  du  laboureur 
ne  sont  pas  ceux  du  financier,  le  savant  a  donc  lui 
aussi  sa  psychologie  particulière,  j'entends  sa 
psychologie  affective  et  il  en  rejaillit  quelque 
chose  sur  celui  qui  ne  touche  à  la  science  que  par 
occasion. 

D'un  autre  côté,  la  science  peut  mettre  en  œuvre 
les  sentiments  qui  existent  naturellement  chez 
l'homme;  pour  reprendre  notre  comparaison  de 
tout  à  l'heure,  on  aura  beau  construire  des  assem- 
blages compliqués  de  bielles  et  de  manivelles,  la 
machine  ne  marchera  pas  s'il  n'y  a  pas  de  vapeur 
dans  la  chaudière;  mais,  si  la  vapeur  est  là,  le  tra- 
vail qu'elle  fera  ne  sera  pas  toujours  pareil  à  lui- 
même;  il  dépendra  du  mécanisme  auquel  on  l'appli- 
quera. De  même  on  peut  dire  que  le  sentiment 
nous  fournit  seulement  un  mobile  général  d'action; 
il  nous  donnera  la  majeure  de  notre  syllogisme, 
qui,  comme  il  convient,  sera  à  l'impératif;  de  son 
côté  la  science  nous  fournira  la  mineure  qui  sera  à 
l'indicatif,  et  elle  en  tirera  la  conclusion  qui  pourra 
être  à  l'impératif.  Nous  allons  examiner  successi- 
vement ces  deux  points  de  vue. 

Et  d'abord  la  science  peut-elle  devenir  créatrice 
ou  inspiratrice  de  sentiments;  ce  que  la  science 
ne  peut  faire,  l'amour  de  la  science  pourra-t-il  le 
faire  ? 

La  science  nous  met  en  rapport  constant  avec 

20 


230 


DERNIERES    PENSEES 


quelque  chose  de  plus  grand  que  nous;  elle  nous 
offre  un  spectacle  toujours  renouvelé  et  toujours 
plus  vaste;  derrière  ce  qu'elle  nous  montre  de 
grand,  elle  nous  fait  deviner  quelque  chose  de  plus 
grand  encore;  ce  spectacle  est  pour  nous  une  joie, 
mais  c'est  une  joie  dans  laquelle  nous  nous  oublions 
nous-mêmes  et  c'est  par  là  qu'elle  est  moralement 
saine. 

Celui  qui  y  aura  goûté,  qui  aura  vu,  ne  fût-ce  que 
de  loin,  la  splendide  harmonie  des  lois  naturelles, 
sera  mieux  disposé  qu'un  autre  à  faire  peu  de  cas 
de  ses  petits  intérêts  égoïstes  ;  il  aura  un  idéal  qu'il 
aimera  mieux  que  lui-même,  et  c'est  là  le  seul 
terrain  sur  lequel  on  puisse  bâtir  une  morale.  Pour 
cet  idéal,  il  travaillera  sans  marchander  sa  peine 
et  sans  attendre  aucune  de  ces  grossières  récom- 
penses qui  sont  tout  pour  certains  hommes;  et 
quand  il  aura  pris  ainsi  l'habitude  du  désintéres- 
sement, cette  habitude  le  suivra  partout;  sa  vie 
entière  en  restera  comme  parfumée. 

D'autant  plus  que  la  passion  qui  l'inspire,  c'est 
l'amour  de  la  vérité  et  un  tel  amour  n'est-il  pas 
toute  une  morale?  Y  a-t-il  rien  qu'il  importe  plus 
de  combattre  que  le  merisonge,  parce  que  c'est  un 
des  vices  les  plus  fréquents  chez  l'homme  primitif 
et  l'un  des  plus  dégradants?  Eh  bien,  quand  nous 
aurons  pris  l'habitude  des  méthodes  scientifiques, 
de  leur  scrupuleuse  exactitude,  l'horreur  de  tout 


LA    MORALE    ET    LA    SCIENCE  231 

coup  de  pouce  donne  à  l'expérience,  quand  nous 
nous  serons  accoutumés  à  redouter  comme  le 
comble  du  déshonneur,  le  reproche  d'avoir  même 
innocemment  quelque  peu  truqué  nos  résultats, 
quand  cela  sera  devenu  pour  nous  un  pli  profes- 
sionnel indélébile,  une  seconde  nature,  n'allons- 
nous  pas  porter  dans  toutes  nos  actions  ce  souci 
de  la  sincérité  absolue,  au  point  de  ne  plus 
comprendre  ce  qui  pousse  d'autres  hommes  à 
mentir;  et  n'est-ce  pas  le  meilleur  moyen  d'ac- 
quérir la  plus  rare,  la  plus  difficile  de  toutes  les 
sincérités,  celle  qui  consiste  à  ne  pas  se  tromper 
soi-même? 

Dans  nos  défaillances,  la  grandeur  de  notre  idéal 
nous  soutiendra  ;  on  peut  en  préférer  un  autre,  mais, 
après  tout,  le  Dieu  du  savant  n'est-il  pas  d'autant 
plus  grand  qu'il  s'éloigne  de  plus  en  plus  de  nous? 
Il  est  vrai  qu'il  est  inflexible,  et  bien  des  âmes  le 
regretteront;  mais  du  moins  il  ne  partage  pas  nos 
petitesses  et  nos  rancunes  mesquines  comme  le  fait 
trop  souvent  le  Dieu  des  théologiens.  Cette  idée 
d'une  règle  plus  forte  que  nous,  à  laquelle  on  no 
peut  se  soustraire  et  on  doit  s'accommoder  coûte 
que  coûte,  peut  avoir  aussi  un  effet  salutaire  ;  on 
peut  tout  au  moins  le  soutenir  ;  ne  vaudrait-il  pas 
mieux  que  nos  paysans  crussent  que  la  loi  ne  peut 
jamais  plier,  au  lieu  de  croire  que  le  gouvernement 
va  la  faire  fléchir  en  leur  faveur,  pour  peu  qu'ils 


232 


DERNIERES    PENSEES 


invoquent  l'intercession  d'un  député  suflisamment 
puissant  ? 

La  science,  comme  l'a  dit  Aristote,  a  pour  objet 
le  général  ;  en  présence  d'un  fait  particulier,  elle 
voudra  connaître  la  loi  générale,  aspirera  à  une 
généralisation  de  plus  en  plus  étendue.  Il  n'y  a  là, 
semble-t-il  au  premier  abord,  qu'une  habitude 
intellectuelle;  mais  les  habitudes  intellectuelles 
ont  aussi  leur  retentissement  moral.  Si  vous  vous 
êtes  accoutumés  à  faire  peu  de  cas  du  particulier, 
de  l'accidentel,  parce  que  votre  intelligence  ne  s^y 
intéressera  plus,  vous  serez  naturellement  portés 
à  n'y  attacher  que  peu  de  prix,  à  n'y  pas  voir  un 
objet  désirable,  et  à  le  sacrifier  sans  peine.  A  force 
de  regarder  de  loin,  on  devient  presbyte  pour  ainsi 
dire,  on  ne  voit  plus  ce  qui  est  petit,  et,  ne 
le  voyant  plus,  on  n'est  pas  exposé  à  en  faire  le 
but  de  sa  vie.  Ainsi  on  se  trouvera  naturellement 
enclin  à  subordonner  les  intérêts  particuliers  aux 
intérêts  généraux,  et  c'est  bien  là  encore  une 
morale. 

Et  puis  la  science  nous  rend  un  autre  service  ; 
elle  est  une  œuvre  collective,  et  elle  ne  peut  être 
autre  chose  ;  elle  est  comme  un  monument  dont 
la  construction  demande  des  siècles  et  où  chacun 
doit  apporter  sa  pierre  ;  et  cette  pierre  lui  coûte 
parfois  toute  sa  vie.  Elle  nous  donne  donc  le  sen- 
timent de  la  coopération  nécessaire,  de  la  solidarité 


LA    MORALE    ET    LA    SCIENCE  233 

de  nos  efforts  et  de  ceux  de  nos  contemporains, 
et  même  de  ceux  de  nos  devanciers  et  de  nos  suc- 
cesseurs. On  comprend  qu'on  n'est  qu'un  soldat, 
qu'un  petit  fragment  d'un  tout.  C'est  ce  même  sen- 
timent de  la  discipline  qui  façonne  les  consciences 
militaires,  et  qui  métamorphose  à  tel  point  l'âme 
fruste  d'un  paysan  ou  l'âme  sans  scrupule  d'un 
aventurier,  qu'elle  les  rend  capables  de  tous  les 
héroïsmes  et  de  tous  les  dévouements.  Dans  des 
conditions  bien  dilTérentes,  il  peut  exercer  d'une 
façon  analogue  une  action  bienfaisante.  Nous  sen- 
tons que  nous  travaillons  pour  l'humanité,  et  l'hu- 
manité nous  en  devient  plus  chère. 

Voilà  le  pour  et  voici  le  contre.  Si  la  science  ne 
nous  apparaît  plus  comme  impuissante  sur  les 
cœurs,  comme  indifférente  en  morale,  ne  pourra- 
t-elle  pas  avoir  une  influence  nuisible  aussi  bien 
qu'une  influence  utile  ?  Et  d'abord  tonte  passion 
est  exclusive  ;  ne  va-t-elle  pas  nous  faire  perdre 
de  vue  tout  ce  qui  n'est  pas  elle  ;  l'amour  de  la 
vérité  est  sans  doute  une  grande  chose;  mais  la 
belle  affaire  si,  pour  la  poursuivre,  nous  sacrifions 
des  objets  infiniment  plus  précieux  comme  la 
bonté,  la  pitié,  l'amour  du  prochain.  A  la  nouveU.e 
d'une  catastrophe  quelconque,  d'un  tremble.ïibnt 
de  terre,  nous  oublierons  les  souffrances  des  vic- 
times pour  ne  penser  qu'à  la  direction  et  à  l'am- 
plitude des  secousses  ;  nous  y  verrons  presque  une 

20. 


234  DEUMÈnES    PENSÉES 

bonne  fortune,  s'il  a  mis  en  évidence  quelque  loi 
inconnue  de  la  sismologie. 

Voici  tout  de  suite  un  exemple  qui  s'impose  ;  les 
physiologistes  pratiquent  sans  scrupule  la  vivisec- 
tion, et  c'est  là  un  crime  qu'aux  yeux  de  bien  des 
vieilles  dames,  aucun  des  bienfaits  passés  ou  futurs 
de  la  science  ne  pourra  jamais  excuser.  A  les  en 
croire,  les  biologistes,  en  se  montrant  impi- 
toyables pour  les  animaux,  doivent  devenir  féroces 
pour  les  hommes.  Elles  se  trompent  sans  aucun 
doute  ;  j'en  ai  connu  de  très  doux. 

La  question  de  la  vivisection  mérite  de  nous 
arrêter  un  moment,  bien  qu'elle  m'entraîne  un  peu 
hors  de  mon  sujet.  Il  y  a  là  un  de  ces  conHits  de 
devoirs  que  la  vie  pratique  nous  montre  à  tout 
instant.  L'homme  ne  peut  renoncer  à  savoir  sans 
s'amoindrir  ;  et  c'est  pourquoi  les  intérêts  de  la 
science  sont  sacrés  ;  c'est  aussi  à  cause  des  maux 
qu'elle  peut  guérir  ou  prévenir  et  dont  la  masse 
est  incalculable  ;  et  d'un  autre  côté  la  souffrance 
est  impie  (je  ne  dis  pas  la  mort,  je  dis  la  souf- 
france). Bien  que  les  animaux  inférieurs  soient 
sans  doute  moins  sensibles  que  l'homme,  ils  méri- 
tent la  pitié.  Ce  ne  sera  que  par  des  cotes  mal  taillées 
qu'on  pourra  s'en  tirer  ;  le  biologiste  ne  doit 
entreprendre,  même  in  anima  vili,  que  des  expé- 
riences réellement  utiles;  il  y  a  aussi  très  souvent 
des    moyens   de  réduire  la  douleur  à  son   mini- 


LA   MORALE    ET    LA    SCIENCE  235 

mum  ;  il  doit  s'en  servir.  Mais,  à  cet  égard,  on 
doit  s'en  rapporter  à  sa  conscience  ;  toute  inter- 
vention légale  serait  inopportune  et  un  peu  ridi- 
cule ;  le  Parlement  peut  tout,  dit-on  en  Angleterre, 
excepté  changer  un  homme  en  femme  ;  il  peut  tout, 
dirai-je,  excepté  rendre  un  arrêt  compétent  en  ma- 
tière scientifique.  II  n'y  a  pas  d'autorité  qui  puisse 
édicter  des  règles  pour  décider  si  une  expérience 
est  utile. 

Mais  je  reviens  à  mon  sujet  ;  il  y  a  des  gens  qui 
disent  que  la  science  est  desséchante,  qu'elle  nous 
attache  à  la  matière,  qu'elle  tue  la  poésie,  source 
unique  de  tous  les  sentiments  généreux.  L'âme 
qu'elle  a  touchée  se  flétrit  et  devient  réfractaire  à 
tous  les  nobles  élans,  à  tous  les  attendrissements, 
à  tous  les  enthousiasmes.  Cela,  je  ne  le  crois  pas, 
et  j'ai  dit  tout  à  l'heure  le  contraire,  mais  il  y  a 
là  une  opinion  très  répandue,  et  qui  doit  avoir 
quelque  fondement,  elle  prouve  que  la  même  nour- 
riture ne  convient  pas  à  tous. 

Que  devons-nous  conclure  ?  La  science,  large- 
ment entendue,  enseignée  par  des  maîtres  qui  la 
comprennent  et  qui  l'aiment,  peut  jouer  un  rôle 
très  utile  et  très  important  dans  l'éducation  mo- 
rale. Mais  ce  serait  une  faute  de  vouloir  lui  don- 
ner un  rôle  exclusif.  Elle  peut  faire  naître  des  sen- 
timents bienfaisants,  qui  peuvent  servir  de  moteur 
moral  ;  mais  d'autres  disciplines  le  peuvent  égale- 


236  DERNIÈRES    PENSÉE8 

ment,  ce  serait  une  sottise  de  se  priver  d'aucun 
auxiliaire  ;  nous  n'avons  pas  trop  de  toutes  leurs 
forces  réunies.  Il  y  a  des  gens  qui  n'ont  pas  l'in- 
telligence des  choses  scientifiques  ;  c'est  un  fait 
d'observation  vulgaire,  qu'il  y  a  dans  toutes  les 
classes  des  élèves  qui  sont  «  forts  »  en  lettres,  et 
qui  ne  sont  pas  «  forts  »  en  sciences.  Quelle  illu- 
sion de  croire  que  si  la  science  ne  parle  pas  à  leur 
intelligence,  elle  pourra  parler  à  leur  cœur! 

J'arrive  au  second  point;  non  seulement  la 
science  comme  tout  mode  d'activité,  peut  engen- 
drer des  sentiments  nouveaux,  mais  elle  peut,  sur 
les  sentiments  anciens,  sur  ceux  qui  naissent 
spontanément  dans  le  cœur  de  l'homme,  édifier 
une  construction  nouvelle.  On  ne  peut  pas  conce- 
voir un  syllogisme  où  les  deux  prémisses  seraient 
à  l'indicatif  et  la  conclusion  à  l'impératif  ;  mais  on 
peut  en  concevoir  qui  soient  bâtis  sur  le  type 
suivant  :  Fais  ceci,  or,  quand  on  ne  fait  pas  cela, 
on  ne  peut  pas  faire  ceci,  donc  fais  cela.  Et  de 
pareils  raisonnements  ne  sont  pas  hors  de  la 
portée  de  la  science. 

Les  sentiments  sur  lesquels  la  morale  peut  s'ap 
puyer  sont  de  nature  très  diverse  \  ils  ne  se  ren- 
contrent pas  tous  au  même  degré  dans  toutes  les 
âmes.  Chez  les  unes,  ce  sont  les  uns  qui  prédo- 
minent, et  il  y  en  a  d'autres  chez  qui  ce  sont  d'au- 
tres cordes  qui  sont  toujours  prêtes  à  vibrer.  Les 


LA    MORALE    ET    LA    SCIENCE  237 

uns  seront  avant  tout  sensibles  à  la  pitié,  ils  seront 
remués  par  les  souffrances  d'autrui.  Les  autres 
subordonneront  tout  à  l'harmonie  sociale,  à  la 
prospérité  générale;  ou  bien  encore  ils  souhaite- 
ront la  grandeur  de  leur  pays.  D'autres  peut-être 
auront  un  idéal  de  beauté,  ou  bien  ils  croiront  que 
notre  premier  devoir  est  de  nous  perfectionner 
nous-mêmes,  de  chercher  à  devenir  plus  forts,  à 
nous  rendre  supérieurs  aux  choses,  indifférents 
à  la  fortune,  de  ne  pas  déchoir  à  nos  propres 
yeux. 

Toutes  ces  tendances  sont  louables,  mais  elles 
sont  différentes  ;  peut-être  sortira- t-il  de  là  un  con- 
flit. Si  la  science  nous  montre  que  ce  conflit  n'est 
pas  à  craindre,  si  elle  prouve  qu'on  ne  saurait 
atteindre  l'un  de  ces  buts  sans  viser  à  l'autre  (et 
cela  est  de  sa  compétence),  elle  aura  fait  une  œuvre 
utile,  elle  aura  apporté  aux  moralistes  une  aide 
précieuse.  Ces  troupes  qui  jusque-là  combattaient 
en  ordre  dispersé,  et  où  chaque  soldat  marchait 
vers  un  objectif  particulier,  vont  maintenant  serrer 
les  rangs,  parce  qu'on  leur  aura  démontré  que  la 
victoire  de  chacun  est  la  victoire  de  tous.  Leurs 
efforts  seront  coordonnés,  et  la  foule  inconsciente 
deviendra  une  armée  disciplinée. 

Est-ce  bien  dans  ce  sens  que  marche  la  science? 
Il  est  permis  de  l'espérer;  elle  tend  de  plus  en 
plus  à  nous  montrer  la  solidarité  des  diverses  par- 


238 


DERNIERES    PENSEES 


lies  de  l'univers,  à  nous  en  dévoiler  l'harmonie; 
est-ce  parce  que  cette  harmonie  est  réelle,  ou  parce 
qu'elle  est  un  besoin  de  notre  intelligence,  et  par 
conséquent  un  postulat  de  la  science?  c'est  une 
question  que  je  n'entreprendrai  pas  de  décider. 
/Toujours  est-il  que  la  science  va  vers  l'unité  et 
nous  fait  aller  vers  l'unité./De  même  qu'elle  coor- 
donne les  lois  particulières  et  les  rattache  à  une 
loi  plus  générale,  ne  va-t-elle  pas  réduire  aussi  à 
l'unité  le-s  aspirations  intimes  de  nos  cœurs,  en 
apparence  si  divergentes,  si  capricieuses,  si  étran- 
gères les  unes  aux  autres  ? 

Mais  si  elle  échoue  dans  cette  tâche,  quel  dan- 
ger, quelle  désillusion!  Ne  peut-elle  pas  faire 
autant  de  mal  qu'elle  aurait  pu  faire  de  bien?  Ces 
affections,  ces  sentiments  si  frêles,  si  délicats, 
vont-ils  supporter  l'analyse  ;  la  moindre  lumière 
ne  va-t-elle  pas  nous  en  révéler  la  vanité  et  n'al- 
lons-nous pas  aboutir  à  l'éternel  à  quoi-  bon?  A 
quoi  bon  la  pitié,  puisque  plus  on  fait  pour  les 
hommes,  plus  ils  deviennent  exigeants,  et  plus  ils 
sont  en  conséquence  malheureux  de  leur  sort  ; 
puisque  la  pitié  ne  peut  faire  non  seulement  que 
des  ingrats,  cela  importerait  peu,  mais  qu'elle  ne 
peut  faire  que  des  âmes  aigries?  A  quoi  bon. 
l'amour  de  la  patrie,  puisque  sa  grandeur  n'est  le 
plus  souvent  qu'une  brillante  misère;  à  quoi  bon 
chercher  à  nous  perfectionner  nous-mêmes,  puis- 


LA    MORALE    ET    LA    SCIENCE  239 

que  nous  ne  vivons  qu'un  jour?  Si,  par  malheur, 
la  science  allait  mettre  le  poids  de  son  autorité  du 
côté  de  ces  sophismes! 

Et  puis  nos  âmes  sont  un  tissu  complexe  où  les 
fils  formés  par  les  associations  de  nos  idées  se 
croisent  et  s'enchevêtrent  dans  tous  les  sens  ;  cou- 
per un  de  ces  fils,  c'est  s'exposer  à  y  amener  de 
vastes  déchirures,  que  nul  ne  saurait  prévoir.  Ce 
tissu,  ce  n'est  pas  nous  qui  l'avons  fait,  il  est  un 
legs  du  passé;  souvent  nos  aspirations  les  plus 
nobles  se  trouvent  ainsi  attachées,  sans  que  nous 
le  sacliions,  aut  préjugés  If  &  plus  surannés  et  les 
plus  rid.cules.  la  science  va  détruire  ces  préjugés; 
c'tst  sa  tâche  naturelle,  c  est  son  devoir;  les  no- 
bles tendances,  que  de  vieilles  habitudes  y  avaient 
liées,  ne  vont-elles  pas  en  souffrir?  Non,  sans 
doute,  chez  les  âmes  fortes;  mais  il  n'y  a  pas  que 
des  ârafis  fortes,  que  des  esprits  clairvoyants;  il 
y  a  aussi  des  âmes  simples  qui  risquent  de  ne  pas 
résister  à  l'épreuve. 

On  prétend  donc  que  la  science  va  être  destruc- 
trice ;  on  s'effraye  des  ruines  qu'elle  va  faire  et 
on  redoute  que,  là  où  elle  aura  passé,  les  sociétés 
ne  puissent  plus  vivre.  N'y  a-t-il  pas  dans  ces 
craintes  une  sorte  de  contradiction  interne?  Si  l'on 
démontre  scientifiquement  que  telle  ou  telle  cou- 
tume, que  l'on  regardait  comme  indispensable  à 
l'existence  même  des  sociétés  humaines,  n'avait 


240  DEnNlÈRES    PENSÉES 

pas  en  réalité  l'importance  qu'on  lui  attribuait  et  ne 
nous  faisait  illusion  que  par  son  ancienneté  véné- 
rable, si  l'on  démontre  cela,  en  admettant  que  cette 
démonstration  soit  possible,  la  vie  morale  de  l'hu- 
manité en  va-t-elle  être  ébranlée?  De  deux  choses 
/une,  ou  bien  cette  coutume  est  utile,  et  alors  une 
science  raisonnable  ne  pourra  démontrer  qu'elle 
ne  l'est  pas  ;  ou  elle  est  inutile  et  on  ne  devra  pas 
la  regretter.  Du  moment  que  nous  plaçons  à  la 
base  de  nos  syllogismes  un  de  ces  sentiments  géné- 
reux qui  engendrent  la  moralité,  c'est  encore  lui, 
et  par  conséquent,  c'est  encore  la  morale,  que  nous 
devons  retrouver  à  la  fm  de  toute  notre  chaîne  de 
raisonnements,  si  elle  a  été  conduite  conformé- 
ment aux  règles  de  la  logique  ;  ce  qui  risque  de  suc- 
comber, c'est  ce  qui  n'est  pas  essentiel,  ce  qui 
n'était  dans  notre  vie  morale  qu'un  accident  ;  la 
seule  chose  qui  importe,  ne  peut  pas  ne  pas  se 
trouver  dans  les  conclusions  puisqu'elle  est  dans 
les  prémisses. 

On  ne  doit  redouter  que  la  science  incomplète, 
celle  qui  se  trompe  ;  celle  qui  nous  leurre  de  vaines 
apparences  et  nous  engage  ainsi  à  détruire  ce  que 
nous  voudrions  bien  reconstruire  ensuite,  quand 
nous  sommes  mieux  informés  et  qu'il  est  trop  tard. 
Il  y  a  des  gens  qui  s'entichent  d'une  idée,  non 
parce  qu'elle  est  juste,  mais  parce  qu'elle  est  nou- 
velle, parce  qu'elle  est  à  la  mode  ;  ceux-là  sont  de 


LA   MORALE    ET    LA    SCIENCE  241 

terribles  destructeurs,  mais  ce  ne  sont...  j'allais 
dire  que  ce  ne  sont  pas  des  savants,  mais  je 
m'aperçois  que  beaucoup  d'entre  eux  ont  rendu 
de  grands  services  à  la  science;  ils  sont  donc  des 
savants,  seulement  ils  ne  le  sont  pas  à  cause  de 
cela,  mais  malgré  cela. 

La  vraie  science  craint  les  généralisations  hâti- 
ves, les  déductions  théoriques  ;  si  le  physicien  s'en 
défie,  bien  que  celles  auxquelles  il  a  affaire  soient 
cohérentes  et  solides,  que  doit  faire  le  moraliste, 
le  sociologue,  quand  les  soi-disant  théories  qu'il 
trouve  devant  lui  se  réduisent  à  des  comparaisons 
grossières  comme  celle  des  sociétés  avec  les  orga- 
nismes !  La  science,  au  contraire,  n'est  et  ne  peut 
être  qu'expérimentale  et  l'expérience  en  sociologie, 
c'est  l'histoire  du  passé;  c'est  la  tradition  que  l'on 
doit  critiquer  sans  doute,  mais  dont  on  ne  doit  pas 
faire  table  rase. 

D'une  science  animée  du  véritable  esprit  expéri- 
mental, la  morale  n'a  rien  à  craindre  ;  une  pareille 
science  est  respectueuse  du  passé,  elle  est  opposée 
à  ce  snobisme  scientifique,  si  facile  à  duper  parles 
nouveautés  ;  elle  n'avance  que  pas  à  pas,  mais  tou- 
jours dans  le  même  sens  et  toujours  dans  le  bon 
sens;  le  meilleur  remède  contre  une  demi-science, 
c'est  plus  de  science. 

Il  y  a  encore  une  autre  manière  de  concevoir 
les  rapports  de  la  science  et  de  la  morale;  il  n'est 

21 


242  DERNIÈRES    PENSÉES 

aucun  phénomène  qui  ne  puisse  être  objet  de 
science,  puisqu'il  n'en  est  aucun  qui  ne  puisse  être 
observé.  Les  phénomènes  moraux  n'y  échappent  pas 
plus  que  les  autres.  Le  naturaliste  étudie  les  sociétés 
des  fourmis  et  des  abeilles  et  il  les  étudie  avec  séré- 
nité ;  de  même  le  savant  cherche  à  juger  les  hommes 
comme  s'il  n'était  pas  un  homme;  à  se  mettre  à  la 
place  de  je  ne  sais  quel  lointain  habitant  de  Sirius 
pour  qui  les  villes  ne  seraient  que  des  fourmi- 
lières. C'est  son  droit,  c'est  son  métier  de  savant. 

La  science  des  mœurs  sera  d'abord  purement 
descriptive;  elle  nous  fera  connaître  les  mœurs  des 
hommes,  et  nous  dira  ce  qu'elles  sont  sans  nous 
parler  de  ce  qu'elles  devraient  être.  Elle  sera  ensuite 
comparative;  elle  nous  promènera  dans  l'espace 
pour  nous  faire  comparer  les  mœurs  des  diffé- 
rents peuples,  celles  du  sauvage  et  de  l'homme 
civilisé,  et  aussi  dans  le  temps  pour  nous  faire 
comparer  celles  d'hier  et  celles  d'aujourd'hui.  Elle 
cherchera  enfin  à  devenir  explicative,  et  c'est  là 
l'évolution  naturelle  de  toute  science. 

Les  darvvinistes  chercheront  à  nous  expliquer 
pourquoi  tous  les  peuples  connus  se  soumettent  à 
une  loi  morale,  en  nous  disant  que  la  sélection 
naturelle  a  fait  depuis  longtemps  disparaître  ceux 
qui  avaient  été  assez  maladroits  pour  chercher  à 
s'y  soustraire.  Les  psychologues  nous  expliqueront 
pourquoi  les  prescriptions  de  la  morale  ne  sont  pas 


LA    MORALE    ET    LA    SCIENCE  243 

toujours  d'accord  avec  l'intérêt  général.  Ils  nous 
diront  que  l'homme,  entraîné  par  le  tourbillon  de 
la  vie,  n'a  pas  le  temps  de  réfléchir  à  toutes  les  con- 
séquences de  ses  actes  ;  qu'il  ne  peut  obéir  qu'à  des 
préceptes  généraux  ;  que  ceux-ci  seront  d'autant 
moins  discutés  qu'ils  seront  plus  simples,  et  qu'il 
suffît,  pour  que  leur  rôle  soit  utile  et  pour  que, 
par  conséquent,  la  sélection  puisse  les  crqer,  qu'ils 
s'accordent  le  plus  souvent  avec  l'intérêt  général. 
Les  historiens  nous  expliqueront  comment  des  deux 
morales,  celle  qui  subordonne  l'individu  à  la  société 
et  celle  qui  a  pitié  de  l'individu  et  nous  propose 
pour  but  le  bonheur  d'autrui,  c'est  la  seconde  qui 
fait  d'incessants  progrès,  à  mesure  que  les  sociétés 
deviennent  plus  vastes,  plus  complexes,  et,  tout 
compte  fait,  moins  exposées  aux  catastrophes. 

Cette  science  des  mœurs  n'est  pas  une  morale; 
elle  n'en  sera  jamais  une;  elle  ne  peut  pas  plus 
remplacer  la  morale  qu'un  traité  sur  la  physiologie 
de  la  digestion  ne  peut  remplacer  un  bon  dîner.  Ce 
que  j'ai  dit  jusqu'ici  me  dispense  d'insister. 

Mais  ce  n'est  pas  de  cela  qu'il  s'agit;  elle  n'est 
pas  une  morale,  mais  peut-elle  être  utile,  peut- 
elle  être  dangereuse  pour  la  morale?  Les  uns 
diront  qu'expliquer  c'est  toujours,  dans  une  cer- 
taine mesure,  justifier,  et  cela  peut  aisément  se  sou- 
tenir; les  autres  diront  au  contraire  qu'il  n'est  pas 
sans  péril  de  nous  montrer  la  morale  diverse  sui- 


244  DERNIÈRES    PENSÉES 

vant  les  races  et  les  latitudes;  que  cela  peui  nous 
apprendre  à  discuter  ce  qui  devrait  être  accepté 
aveuglément,  nous  habituer  à  apercevoir  la  con- 
tingence où  il  importerait  que  nous  ne  vissions  que 
la  nécessité.  Et  ils  n'ont  peut-être  pas  non  plus  tout 
à  fait  tort.  Mais,  franchement,  n'est-ce  pas  là  s'exa- 
gérer l'influence  sur  les  hommes  de  théories  à 
fleur  de  peau,  d'abstractions  qui  leur  resteront  tou- 
jours extérieures  ?  Quand  des  passions,  les  unes 
généreuses,  les  autres  basses,  se  disputent  notre 
conscience,  de  quel  poids,  auprès  d'adversaires  si 
puissantes  peut  peser  la  distinction  métaphysique 
du  contingent  et  du  nécessaire? 

Je  ne  puis  pourtant  passer  sous  silence  un  point 
important,  malgré  le  peu  de  temps  qui  me  reste 
pour  le  traiter.  La  science  est  déterministe;  elle 
l'est  a  priori;  elle  postule  le  déterminisme,  parce 
que  sans  lui  elle  ne  pourrait  être.  Elle  l'est  aussi 
a  posteriori;  si  elle  a  commencé  par  le  postuler, 
comme  une  condition  indispensable  de  son  exis- 
tence, elle  le  démontre  ensuite  précisément  en  exis- 
tant, et  chacune  de  ses  conquêtes  est  une  victoire 
du  déterminisme.  Peut-être  une  conciliation  est- 
elle  possible;  peut-on  admettre  que  cette  marche 
en  avant  du  déterminisme  se  poursuivra  sans  arrêt 
et  sans  recul,  sans  connaître  d'obstacle  infranchis- 
sable et  que  cependant  l'on  n'a  pas  le  droit  de 
passer  à  la  limite,  comme  nous  disons  nous  autres 


LA    UOBALE    ET    LA    SCIENCE  245 

mathémaliciens,  et  de  conclure  au  déterminisme 
absolu  parce  qu'à  la  limite  le  déterminisme  s'éva- 
nouirait dans  une  tautologie  ou  une  contradiction? 
C'est  une  question  qu'on  étudie  depuis  des  siècles 
sans  espoir  de  la  résoudre  et  je  ne  puis  même  l'ef- 
fleurer dans  les  quelques  minutes  dont  je  dispose 
encore. 

Mais  nous  sommes  en  présence  d'un  fait;  la 
science,  à  tort  ou  à  raison,  est  déterministe;  par- 
tout où  elle  pénètre,  elle  fait  entrer  le  déterminisme. 
Tant  qu'il  ne  s'agit  que  de  physique  ou  même  de 
biologie,  cela  importe  peu;  le  domaine  de  la  cons- 
cience demeure  inviolé;  qu'arrivera-t-il  le  jour  où 
la  morale  deviendra  à  son  tour  objet  de  science? 
Elle  s'imprégnera  nécessairement  de  déterminisme 
et  ce  sera  sans  doute  sa  ruine. 

Tout  est-il  désespéré,  ou  bien  si  un  jour  la  morale 
devait  s'accommoder  du  déterminisme,  pourrait- 
elle  s'y  adapter  sans  en  mourir?  Une  révolution 
métaphysique  si  profonde  aurait  sans  doute  sur  les 
mœurs  beaucoup  moins  d'influence  qu'on  ne  pense. 
Il  est  bien  entendu  que  la  répression  pénale  n'est 
pas  en  cause;  ce  qu'on  appelait  crime  ou  châtiment, 
s'appellerait  maladie  ou  prophylaxie,  mais  la  société 
conserverait  intact  son  droit  qui  n'est  pas  celui 
de  punir,  mais  tout  simplement  celui  de  se  défen- 
dre. Ce  qui  est  plus  grave,  c'est  que  l'idée  de  mé- 
rite et  de  démérite  devrait  disparaître  ou  se  trans- 
at. 


246  DERNIÈRES    PENSÉES 

former.  Mais  on  continuerait  à  aimer  l'homme  de 
bien,  comme  on  aime  tout  ce  qui  est  beau;  on  n'au- 
rait plus  le  droit  de  haïr  l'homme  vicieux  qui  n'ins- 
pirerait plus  que  le  dégoût,  mais  cela  est-il  bien 
nécessaire?  II  suffit  qu'on  ne  cesse  pas  de  haïr  le 
vice. 

A  part  cela,  tout  irait  comme  par  le  passé;  l'ins- 
tinct est  plus  fort  que  toutes  les  métaphysiques,  et 
quand  même  on  l'aurait  démontré,  quand  même  on 
connaîtrait  le  secret  de  sa  force,  sa  puissance  n'en 
serait  pas  affaiblie.  La  gravitation  est-elle  moins 
irrésistible  depuis  Newton?  Les  forces  morales 
qui  nous  mènent  continueraient  à  nous  mener. 

Et  si  l'idée  de  liberté  est  elle-même  une  force, 
comme  le  dit  Fouillée,  cette  force  serait  à  peine 
diminuée,  si  jamais  les  savants  démontraient  qu'elle 
ne  repose  que  sur  une  illusion.  Cette  illusion  est 
trop  tenace  pour  être  dissipée  par  quelques  rai- 
sonnements. Le  déterministe  le  plus  intransigeant 
continuera  longtemps  encore,  dans  la  conversation 
de  tous  les  jours,  à  dire  je  veux  et  même  je  dois, 
et  même  à  le  penser  avec  la  partie  la  plus  puis- 
sante de  son  âme,  celle  qui  n'est  pas  consciente  et 
qui  ne  raisonne  pas.  Il  est  tout  aussi  impossible 
de  ne  pas  agir  comme  un  homme  libre  quand  on 
agit,  qu'ill'est  de  ne  pas  raisonner  comme  un  déter- 
ministe quand  on  fait  de  la  science. 

Le  fantôme  n'est  donc  pas  si  redoutable  qu'on  le 


LA    MORALE    ET    LA    SCIENCE  247 

dit,  et  il  y  a  peut-être  aussi  d'autres  raisons  de  ne 
pas  le  craindre;  on  peut  espérer  que  dans  l'absolu 
tout  se  concilierait  et  qu'à  une  intelligence  infinie, 
les  deux  altitudes,  celle  de  l'homme  qui  agit  comme 
s'il  était  libre  et  celle  de  l'homme  qui  pense 
comme  si  la  liberté  n'était  nulle  part,  sembleraient 
également  légitimes. 

Nous  nous  sommes  placés  successivement  aux 
différents  points  de  vue  d'où  l'on  peut  envisager  les 
rapports  de  la  science  et  de  la  morale;  il  faut  main- 
tenant arriver  aux  conclusions.  Il  n'y  a  pas,  et  il 
n'y  aura  jamais  de  morale  scientifique  au  sens  pro- 
pre du  mot,  mais  la  science  peut  être  d'une  façon 
indirecte  une  auxiliaire  de  la  morale;  la  science  lar- 
gement comprise  ne  peut  que  la  servir;  la  demi- 
science  est  seule  redoutable  ;  en  revanche,  la  science 
ne  peut  suffire,  parce  qu'elle  ne  voit  qu'une  partie 
de  l'homme,  ou,  si  vous  le  préférez,  elle  voit  tout, 
mais  elle  voit  tout  du  même  biais;  et  ensuite,  parce 
qu'il  faut  penser  aux  esprits  qui  ne  sont  pas  scien- 
tifiques. D'autre  part,  les  craintes,  comme  les 
espoirs  trop  vastes,  me  semblent  également  chimé- 
riques; la  morale  et  la  science,  à  mesure  qu'elles 
feront  des  progrès,  sauront  bien  s'adapter  l'une  à 
Pautre. 


CHAPITRE   IX 
L'UNION   MORALE 


CHAPITRE  IX 
L'UNION    MORALE^ 


L'Assemblée  d'aujourd'hui  réunit  des  hommes 
dont  les  idées  sont  fort  différentes  et  que  rap- 
prochent seulement  une  commune  bonne  volonté 
et  un  égal  désir  du  bien;  je  ne  doute  pas  néan- 
moins qu'ils  ne  s'entendent  facilement,  car  s'ils 
n'ont  pas  le  même  avis  sur  les  moyens,  ils  sont 
d'accord  sur  le  but  à  atteindre,  et  c'est  cela  seul 
qui  importe. 

On  a  pu  lire  récemment,  on  peut  lire  encore  sur 
les  murs  de  Paris  des  affiches  qui  annoncent  une 
conférence  contradictoire  sur  «  le  conflit  des 
Morales  ».  Ce  conflit  existe-t-il,  devrait-il  exister? 
Non.  La  morale  peut  s'appuyer  sur  une  foule  de 
raisons  ;  il  y  en  a  qui  sont  transcendantes,  ce  sont 

1.  Cette  allocution  a  été  prononcée  par  Henri  Poincaré 
à  la  séance  inaugurale  de  la  Ligue  Française  d'Éducation 
Morale,  le  26  juin  1912,  trois  semaines  avant  sa  mort.  C'est 
la  dernière  fois  qu'il  ait  parlé  en  public. 


352  OEBMÈRBS    PENSÉES 

peut-être  les  meilleures  et  à  coup  sûr  les  plus 
nobles,  mais  ce  sont  celles  dont  on  dispute;  il  y  en 
a  une  au  moins,  peut-être  un  peu  plus  terre  à 
terre,  sur  laquelle  nous  ne  pouvons  pas  ne  pas 
être  d'accord. 

La  vie  de  l'homme,  en  effet,  est  une  lutte  conti- 
nuelle; contre  lui  se  dressent  des  forces  aveugles, 
sans  doute,  mais  redoutables  qui  le  terrasseraient 
promptement,  qui  le  feraient  périr,  l'accableraient 
de  mille  misères  s'il  n'était  constamment  debout 
pour  leur  résister. 

Si  nous  jouissons  parfois  d'un  repos  relatif, 
c'est  parce  que  nos  pères  ont  beaucoup  lutté  ;  que 
notre  énergie,  que  notre  vigilance  se  relâchent  un 
instant,  et  nous  perdons  tout  le  fruit  de  leurs 
luttes,  tout  ce  qu'ils  ont  gagné  pour  nous.  L'huma- 
nité est  donc  comme  une  armée  en  guerre;  or, 
toute  armée  a  besoin  d'une  discipline,  et  il  ne 
suffit  pas  qu'elle  s'y  soumette  le  jour  du  combat; 
elle  doit  s'y  plier  dès  le  temps  de  la  paix;  sans 
cela,  sa  perte  est  certaine,  il  n'y  aura  pas  de  bra- 
voure qui  puisse  la  sauver. 

Ce  que  je  viens  de  dire  s'applique  tout  aussi 
bien  à  la  lutte  que  l'humanité  doit  soutenir  pour 
la  vie  :  la  discipline  qu'elle  doit  accepter  s'ap- 
pelle la  morale.  Le  jour  où  elle  l'oublierait,  elle 
serait  vaincue  d'avance  et  plongée  dans  un  abîme 
de  maux.  Ce  jour-là,  d'ailleurs,  elle  subirait  une 


l'union  morale  i>o3 

déchéance,  elle  se  sentirait  moins  belle  et  pour 
ainsi  dire  plus  petite.  On  devrait  s'en  affliger 
non  seulement  à  cause  des  maux  qui  suivraient, 
mais  parce  que  ce  serait  l'obscurcissement  d'une 
beauté. 

Sur  tous  ces  points,  nous  pensons  tous  de 
même,  nous  savons  tous  où  il  faut  aller;  pour- 
quoi nous  divisons-nous  lorsqu'il  s'agit  de  savoir 
par  où  l'on  doit  passer? Si  les  raisonnements  pou- 
vaient quelque  chose,  l'accord  serait  facile;  les 
mathématiciens  ne  se  disputent  jamais  quand  il 
s'agit  de  savoir  comment  on  doit  démontrer  un 
théorème,  mais  il  s'agit  ici  de  tout  autre  chose. 
Faire  de  la  morale  avec  des  raisonnements,  c'est 
perdre  sa  peine  :  en  pareille  matière,  il  n'y  a 
pas  de  raisonnement  auquel  on  ne  puisse  répli- 
quer. 

Expliquez  au  soldat  combien  de  maux  engendre 
la  défaite,  et  qu'elle  compromettra  même  sa  sécu- 
rité personnelle  :  il  pourra  toujours  répondre 
que  cette  sécurité  sera  encore  mieux  garantie  si 
ce  sont  les  autres  qui  se  battent.  Si  le  soldat  ne 
répond  pas  ainsi  c'est  qu'il  est  mû  par  je  ne  sais 
quelle  force  qui  fait  taire  tous  les  raisonnements. 
Ce  qu'il  nous  faut,  ce  sont  des  forces  comme 
celle-là.  Or,  l'âme  humaine  est  un  réservoir  iné- 
puisable de  forces,  une  source  féconde,  une  riche 
source  d'énergie  motrice;  cette  énergie  motrice, 

22 


254  bERNièRES    PENSÉES 

ce  sont  les  sentiments,  et  il  faut  que  les  mora- 
listes captent  pour  ainsi  dire  ces  forces  et  les 
dirigent  dans  le  bon  sens,  de  même  que  les  ingé- 
nieurs domptent  les  énergies  naturelles  et  les 
plient  aux  besoins  de  l'industrie. 

Mais  —  c'est  là  que  naît  la  diversité  —  pour  faire 
marcher  une  même  machine,  les  ingénieurs  peuvent 
indifféremment  faire  appel  à  la  vapeur  ou  à  la  force 
hydraulique;  de  même  les  professeurs  de  morale 
pourront  à  leur  gré  mettre  en  branle  l'une  ou 
l'autre  des  forces  psychologiques.  Chacun  d'eux 
choisira  naturellement  la  force  qu'il  sent  en  lui  ; 
quant  à  celles  qui  lui  pourraient  venir  du  dehors, 
ou  qu'il  emprunterait  au  voisin,  il  ne  les  manie- 
rait que  maladroitement;  elles  seraient  entre  ses 
mains  sans  vie  et  sans  efficacité;  il  y  renoncera,  et 
il  aura  raison.  C'est  parce  que  leurs  armes  sont 
diverses  que  leurs  méthodes  doivent  l'être  :  pour- 
quoi s'en  voudraient-ils  mutuellement? 

Et  cependant,  c'est  toujours  la  même  morale  que 
l'on  enseigne.  Que  vous  visiez  l'utilité  générale,  que 
vous  fassiez  appel  à  la  pitié  ou  au  sentiment  de  la 
dignité  humaine,  vous  aboutirez  toujours  aux 
mêmes  préceptes,  à  ceux  qu'on  ne  peut  oublier 
sans  que  les  nations  périssent,  sans  qu'en  même 
temps  les  ■  souffrances  se  multiplient  et  que 
l'homme  se  mette  à  déchoir. 

Pourquoi  donc  tous  ces  hommes  qui,  avec  des 


l'union  morale  255 

armes  différentes,  combattent  le  même  ennemi  se 
rappellent-ils  si  rarement  qu'ils  sont  des  alliés? 
Pourquoi  les  uns  se  réjouissent-ils  parfois  des 
défaites  des  autres?  Oublient-ils  que  chacune  de 
ces  défaites  est  un  triomphe  de  l'adversaire  éternel, 
une  diminution  du  patrimoine  commun?  Oh!  non, 
nous  avons  trop  besoin  de  toutes  nos  forces  pour 
avoir  le  droit  d'en  négliger  aucune;  aussi,  nous 
ne  repoussons  personne,  nous  ne  proscrivons  que 
la  haine. 

Certes  la  haine  aussi  est  une  force,  une  force 
très  puissante;  mais  nous  ne  pouvons  nous  en 
servir,  parce  qu'elle  rapetisse,  parce  qu'elle  est 
comme  une  lorgnette  dans  laquelle  on  ne  peut 
regarder  que  par  le  gros  bout;  même  de  peuple 
à  peuple  la  haine  est  néfaste,  et  ce  n'est  pas  elle 
qui  fait  les  vrais  héros.  Je  ne  sais  si,  au  delà  de 
certaines  frontières,  on  croit  trouver  avantage  à 
faire  du  patriotisme  avec  de  la  haine;  mais  cela 
est  contraire  aux  instincts  de  notre  race  et  à  ses 
traditions.  Les  armées  françaises  se  sont  toujours 
battues  pour  quelqu'un  ou  pour  quelque  chose,  et 
non  pas  contre  quelqu'un  ;  elles  ne  se  sont  pas 
moins  bien  battues  pour  cela. 

Si,  à  l'intérieur,  les  partis  oublient  les  grandes 
idées  qui  faisaient  leur  honneur  et  leur  raison 
d'être  pour  ne  se  rappeler  que  leur  haine,  si  l'un 
dit  :  «  Je  suis  anti-ceci  »,  et  que  l'autre  réponde  : 


256         •  DERNIÈRES    PENSÉES 

«  Moi,  je  suis  anti-cela  »,  immédiatement  l'ho- 
rizon se  rétrécit,  comme  si  des  nuages  s'étaient 
abattus  et  avaient  voilé  les  sommets  ;  les  moyens 
les  plus  vils  sont  employés,  on  ne  recule  ni  devant 
la  calomnie,  ni  devant  la  délation,  et  ceux  qui  s'en 
étonnent  deviennent  des  suspects.  On  voit  surgir 
des  gens  qui  semblent  n'avoir  plus  d'intelligence 
que  pour  mentir,  de  cœur  que  pour  haïr.  Et  des 
âmes  qui  ne  sont  point  vulgaires,  pour  peu 
qu'elles  s'abritent  sous  le  même  drapeau,  leur 
réservent  des  trésors  d'indulgence  et  parfois  d'ad- 
miration. Et  en  face  de  tant  de  haines  opposées, 
on  hésite  à  souhaiter  la  défaite  de  l'une,  qui  serait 
le  triomphe  des  autres. 

Voilà  tout  ce  que  peut  la  haine,  et  c'est  juste- 
ment ce  que  nous  ne  voulons  pas.  Rapprochons- 
nous  donc,  apprenons  à  nous  connaître  et,  par 
là,  à  nous  estimer,  pour  poursuivre  l'idéal  com- 
mun. Gardons-nous  d'imposer  à  tous  des  moyens 
uniformes,  cela  est  irréalisable,  et  d'ailleurs, 
cela  n'est  pas  à  désirer  :  l'uniformité,  c'est  la 
mort,  parce  que  c'est  la  porte  close  à  tout  pro- 
grès ;  et  puis,  toute  contrainte  est  stérile  et 
odieuse. 

Les  hommes  sont  divers,  il  y  en  a  qui  sont 
rebelles,  qu'un  seul  mot  peut  toucher  et  que  tout 
le  reste  laisse  indifférents  ;  je  ne  puis  savoir  si 
ce    mot    décisif  n'est   pas    celui   que   vous    allez 


l'l'nion  morale  257 

dire,  et  je  vous  interdirais  de  le  prononcer!... 
Mais  alors,  vous  voyez  le  danger  :  ces  hommes, 
qui  n'auront  pas  reçu  la  même  éducation,  sont 
appelés  à  se  heurter  dans  la  vie;  sous  ces  chocs 
répétés,  leurs  âmes  vont  s'ébranler,  se  modifier, 
peut-être  changeront-elles  de  foi  ;  qu'arrivera- 
t-il  si  les  idées  nouvelles  qu'ils  vont  adopter 
sont  celles  que  leurs  maîtres  anciens  leur 
représentaient  comme  la  négation  même  de  la 
morale?  Cette  habitude  d'esprit  se  perdra-t-elle 
en  un  jour?  En  même  temps,  leurs  nouveaux 
amis  ne  leur  apprendront  pas  seulement  à  rejeter 
ce  qu'ils  ont  adoré,  mais  à  le  mépriser  :  ils  ne 
conserveront  pas  pour  les  idées  généreuses  qui  ont 
bercé  leurs  âmes  ce  souvenir  attendri  qui  survit  à 
la  foi.  Dans  cette  ruine  générale,  leur  idéal  moral 
risque  d'être  entraîné;  trop  vieux  pour  subir  une 
éducation  nouvelle,  ils  perdront  les  fruits  de 
l'ancienne! 

Ce  danger  serait  conjuré,  ou  du  moins  atténué 
si  nous  apprenions  à  ne  parler  qu'avec  respect  de 
tous  les  efforts  sincères  que  d'autres  font  à  côté 
de  nous;  ce  respect  nous  serait  facile  si  nous 
nous  connaissions  mieux. 

Et  c'est  justement  là  l'objet  de  la  Ligue  d'Édu- 
cation Morale.  La  fête  d'aujourd'hui,  les  dis- 
cours que  vous  venez  d'entendre,  vous  prouvent 
suffisamment   qu'il  est   possible   d'avoir  une  foi 


258  DERNIÈRES    PENSÉES 

ardente  et  de  rendre  justice  à  la  foi  d'autrui, 
et  qu'en  somme,  sous  des  uniformes  différents, 
nous  ne  sommes  pour  ainsi  dire  que  les  divers 
corps  d'une  même  armée  qui  combattent  côte  à 
côte. 


PIN 


TABLE  DES  MATIÈRES 


Avertissement '1 

CiiAP.    I.  —  L'Évolution  des  Lois 3 

—  II.  —  L'Espace  et  le  Temps 33 

—  III.  —  Pourquoi  l'Espace   a  trois  dimen- 

sions   55 

_      IV.  —  La  Logique  de  l'Infini 99 

_       V.  —  Les  Mathématiques  et  la  Logique  .  141 

—  VI.  —  L'Hypothèse  des  Quanta 163 

—  VII.  —  Les  rapports  de  la  Matière  et  de 

l'Éther 193 

—  VIII.  —  La  Morale  et  la  Science 221 

—  IX.  —  L'Union  morale 249 


4507-10-16.  —  Paris.  —  Imp.  Hemmerlé  et  C". 


r-SYCHOLOGIE  ET   PHILOSOPHIE 


j      .;.   Le    Nlvelle- 
•  js. 

,irg>.  de  cours  à  la 

■  '■■~r- 

'.  Etc.,  Le  Matè- 

v-aioire  à  la  Sor- 
,  :_9'  mille). 
irnes  sur  les 
nranis  (,14'  maie). 

QHN  (Dr  G.).  La  Naissance    de    l'Intel- 
gerice  (40  figures)  >6'  mille). 
3UTR0UX    (E.),    de    l'Insiilul.   Science  et 
eliglon  (16*  mille). 

)LSON (C 1,  del'Insiiiui.  Organisme  ècono- 
lique  et  Désordre  social. 
1UET  (J.\  avoc-ai  à  la  C  d'appel.  La  Vie  du 
rolt  et  l'impuissance  des  Lois  (5*  m.). 
\UZAT  (Albtrtl,  docteur  es  lettres.  La  Phi- 
sophie  du  Langage. 
lOMARO  (D'  G.).  Le  Rêve  et  l'Action. 
VELSHAUVERS  (Georges),  professeur  à  l'Uni- 
TsitB  de  Bruxelles.  L'Inconscient. 
iIGNEBERT  (C),  chargé  de  cours  à  la  Sor- 
lone.  L'Evolution  des  Dogmes  (6*  m.). 
iCHET-SCUPLET  (P.),  directeur  de  rinslitut  de 
iycholoKie.  La  Genèse  des  Instincts. 
.NOTAUX  (Gabriel),  de  l'Académie   française. 
)  Démocratie  et  le  Travail. 
MES  (William),  de  l'Insiilul.   Philosophie 
5  l'Expérience  (8«  mille). 
MES  (William).  Le  Pragmatisme  (6*  m.). 
«ES(William).La  Volonté  de  Croire  (4'n.) 


JINET  (0'  Pierpa),  de  l'Insiilul,  professeur  au 
Collège  de  France.  Les  Névroses  (f  m.). 
LE  BON  (D'  Gustave).  Psychologie  de  l'Édu- 
cation (18'  mille). 

LE  BON  (D'  Gustave).  La  Psychologie  poli- 
tique (13'  mille). 

LE  BON  (0''  Gustave).  Les  Opinions  et  les 
Croyances  (10«  mille). 
LE  BON  (U'  Gustave;.   La  Vie  des  Vérités 
(7*  mille). 

LE  BON  (0' Gustave).  Enseignements  Psy- 
chologiques de  la  Guerre  121°  mille). 
LE  BON  ^0''  Gustave).   Premières   Consé- 
quences de  la  Guerre. 
LE  DANTEC.  Savoir! 
LE  DANTEC.  L'Athéisme  (14'  mille). 
LE  OANTEC.  Science  et  Conscience  (8'D. 
LE  DANTEC.  L'Ègoïsme  (H'  mille). 
LE  DANTEC.  La  Science  de  la  Vie  (6'  m.). 
LEGRANO  (0'  M.-A.).  La  Longévité. 
LOMBROSO.    Hypnotisme    et   Spiritisme 
(7'  mille). 

HACH  (E.).  La  Connaissance  et  l'Erreur 
(5*  mille). 

MAXWELL  (0' J.).  Le  Crime  et  la  Société 
(5*  mille). 

PICARD  (Edmond).  Le  Droit  pur  (6*  mille). 
PIERON  (H.),M'deConf«àl'Ecole  des  Hi"-Eiu- 
des.  L'Evolution  de  la  Mémoire  (4»  mil.) 
REY  (Abel),  professeur  agrégé  de  Philosophie. 
La  Philosophie  moderne  (9*  mille). 
VASCHIDE  [Q').  Le  Sommeil  et  les  Rêves 
(5'  mille). 

VILLEY  (Pierre),  professeur  agrégé  de  l'Uni- 
versité. Le  Monde  des  Aveugles. 


3°  HISTOIRE 


.EXINSKY(GrègolrB),  ancien  député  à  la  Douma. 

1  Russie  moderne  (6*  mille). 

IRIAC  (Jules  d').   La  Nationalité  fran- 

jise,  sa  formation, 

ENEL  (Vicomte  Georges  d').  Découvertes 

Histoire  sociale  (6*  mille). 

OTTOT   (Colonel).   Les  Grands   Inspirés 

3vant  la  Science.  Jeanne  d'Arc. 

-OCH   (G.),  professeur   à    la   Sorbonne.  La 

épublique  romaine. 

IRGHÈSE  (Prince  G.).  L'Italie  moderne. 

lUGHÉ-LECLERCQ  (A.),  de  l'Institut.  L'IntO- 

rance  religieuse  et  la  politique. 

lUrSSEL  (E.   Yan),   consul  général  de  Bel- 

que.  La  Vie  sociale  (6'  mille). 

IZAMIAN  (Louis),   m'    de   Conférences  à   la 

)rbonne.  L'Angleterre  moderne  (6"  m.) 

ISRRI&UT.  La  BelRique  moderne(7«  m.). 

lARRIAUT  (Henri)  et  M.-L.AMICI-GRObSI.L'Ita- 

e  en  guerre. 

;LIN  (J.),  Lt-Colonel.  Les  Transforma- 

ons  de  la  Guerre  (6'  mille). 

]LIN  (J.)  Lt-Colonel.  Les  Grandes  Batail- 

s  de  l'HistoIre.'Oe /'an(iqu/téâ>  9/3. (6'm.) 

iOISET  (A.),  membre  de  l'Institut.  Les  Dê- 

locraties  antiques  (S*  mille). 


QIEHL  (Charles),  membre  de  l'Institut.  Une 
République  patricienne.  Venise  (5°  m.  i 
GARCIA-GALOERON  (F.i.  Les  Démocraties 
latines  de  l'Amérique  (.')<'  mille). 
GENNEP.  Formationdes  Légendes (5=  m.) 
HARMAND  (J.),  ambassadeur.  Domination 
et  Colonisation. 

HILL,  ancien  ambassadeur.  L'Etat  moderne. 
LE  SON  (D'  Gustave).  La  Révolution  Fran- 
çaise et  la  Psychologie  des  Révolu- 
tions (10'  mille). 

LICHTENBERGER   (H.),  professeur  adjoint  à  la 
Sorbonne.  L'Allemagne moderne(l3'  m.). 
LUCHAIRE  (J.)  D'  de   l'Institut   do   Florence 
Les  Démocraties  italiennes. 
HEYNIER  (Gommanoant  0.),  p'  à  l'École  militaire 
de  Saint-Cyr.  L'Afrique  noire  (5'  mille). 
MICHELS  (Robert).    Prolesseur  à   l'Université 
de  Turin.  Les  Partis  Politiques. 
NAUOEAU    (Luiiovic).   Le   Japon   moderne, 
son  Evolution  (10°  mille). 
OLLIVIER  (E.),  de  l'Académie  française.  Philo- 
sophie d'une  Guerre  (1870)  (6*  mille). 
OSTWALO    (W.),    prolesseur  à  l'Université  de 
Leipzig.  Les  Grands  Hommes. 
PIRENNE  (H.),   Prof  à  rUniversif;  de  Gand. 
Les  Démocraties  des  Pays  Bas 
R02  (rirmin).  L'Energie  américaine  (7'a.) 


Bibliothèque  de  Philosophie  se 

DIRIGÉE  PAR  LE  D'  GUSTAVE 


1°  SCIENCES  PHVSIQUES  ET  NATU 


BACHELIER  (Lojis),  Docienr  es  sàences.  Le 
Jeu.  la  Chance  et  le  Hasard 
BELLET  (Daniel),  prof''  h  l'École  des  Sciences 
poliilqups.  L'Évolution  de  l'Industrie. 
8ERGET  (A.),  professeur  à  l'Insiiiut  océanogra- 
phijue.  LaVieet  lalWlortdu  Globe  (6' m.)- 
BERGET  (A.)-  Les  problèmes  de  l'Atmos- 
phère (27  ligures). 

BtRTiN  (L.-E.).  de  l'Insiitui.  La  Marine 
moderne  (66  figures)  (5'  mille). 
BIGOUROAN,  de  l'Insiiiut.  L'Astronomie 
(50  figures)  (5'  mille). 
8LARINGHEM  (L.).  Les  Transformations 
brusques  des  êtres  vivants  (49  ligures^. 
(&•  mille). 

BOINET   (D'j,  prof"-  de  Clinique  médicale.  Les 
Doctrines  médicales  (6*  mille). 
60NNIER  (Gaslon),  de  l'Insiitui.  Le   Monde 
végétal  Cl'iO  ligures)  (10*  mille). 
BONNIErt  (D'  Piorre),  Dèfentie  organique 
et  Centres  nerveux. 
BOUTY  (E.),  de  l'insiiiui.  La  Vérité  scien- 
tifique, sa  poursuite  (5*  mille). 
BRUNHES    (8.),  professeur  de   pliysiuue.  La 
Dégradation  de  l'Energie  (8*  mille). 
BURNET   (0'    Etienne),   de  l'Insliiui  Pasleur. 
Microbes  et  Toxines  (71  lig.)  (6«  mille). 
CAULLERY  (Maurice),  professeur  à  la  .-^orbonne. 
Les  Problèmes  de  la  Sexualité. 
COLSON  (Albert),    professeur   ft  l'Kcole    Poly- 
ledinique.   L'Essor  de  la  Chimie  (5*  m.) 
COMBARIEU  (J.),  chargé  de  cours  an  collège 
de  France.  La  Musique  (11°  mille). 
DASTRE  (0'  A.),  de  l'Institut,  professeur  à  la 
Sorbonne.  La  Vie  et  la  Mort  (14*  mille). 
DELAGE  (Y.),  de  l'Insiitui  et   GOLOSMITH  (i.). 
Les  Théories  de  l'Evolution  (7«  mille). 
DELAGE  (Y.),  de  l'Insiitui  el  GOLDSMITH  (M.), 
La  Parthénogenèse. 
OELBET  (P.),  piolesseiir  à  la  F»  de  Médecine 
de    l^aris.    La    Science   et   la    Réalité. 
D£PÉRET(C.),  de  llnMUut.   Lis  Transfor- 
mations du  Monde  animal  (7'  mille). 
ENRIQUES  (F.).    Les    Concepts    fonda- 
mentaux de  la    Science. 
GUIART(O').  Les  Parasites  Inoculateurs 
de  maladies  (107  ligures)  (5'  mille). 


HÉRICOURT  (0'  i.     L 

Maladie  (9'  mille). 

HERICOURT  (0'  J.).   L'Hygiène    moderne 

(12«  mille). 

HOUSSAY    (F),     professeur    à    la   Sorbonne 

Nature  et  Sciences  naturelles (7'  mille). 

JOUBIN  (0'  L.),  professeur   au  Muséum.     La 

Vie  dans  les  Océans  (4.S ligures)  (6'  mille). 

LAUNAY  (L.  de),  de  l'Insiiiut    L'Histoire  de 

la  Terre  (11«  milieu. 

LAUNAY  (L.  di),  de  l'Insiitui.  La   Conquête 

minérale  (5'  mille). 

LE  BON     (D'Gustsïe).    L'Évolution     de    la 

Matière,  avec  63  figures  (27*  mille). 

LE  BON    (D'   Gustave;.     L'Évolution    des 

Forces  ('i2  figures)  (15'  mille). 

LECLERC  DU  SABLON  <M.).  Les  Incertitudes 

de  la  Biologie  i24  figures; 

LE  DANTEC  (f.).  Les  Influences   Ane«*> 

traies  (12° mille).  V 

LE  DANTEC  (F.).  La  Lutte  universelle  (10"  ■)  j 

LE  DANTEC  (F.).  De  l'Homme  à  la  Science  | 

(8'  mille). 

«lARTEL,  directeur  do  La  Nature.  L*Évolu-  'j 

tlon   souterraine   (80  figures)  (6'  mille). 

MEUNIER  (S.),  professeur  au    Muséum.   Les  ' 

Convulsions  de  la  Terre  OSfig.JiS'm.).  , 

OSTWALD(W.).  L'Evolution  d'une  Science, 

la  Chimie  iS*  mille'i. 

PERRI£R(Edm.').memh.  de  l'Insiitui,  direct,  du  ! 

Muséum.  ATraversIe  Monde  vlvant.(5'B.), 

PICARD  (Emile),  de    l'Instiiut,  professeur  â  la  j 

Sorbonne.  La  Science  moderne  (11*  mille).  ', 

POINCARÉiH.),de  l'Institut,  prof  à  la  Sorbonne. 

La   Science  et  l'Hypothèse  (26*  mille). 

PûINCARE  (H.).  La  Valeur  de  la  Science  i 

(21'  mille). 

POINCARÉ  (H.).  Science  et  Méthode (13'B.). 

POINCARÉ(H.).  Dernières  Pensées  (lO* m.) 

POINGARÉ  (Lucien),  d"-  au  M"  de  l'Insiruction 

publique.  La  Physique  moderne  (16'  m. 

POINCARÉ  (Lucien).  L'Électricité  (11*  millp 

RENARD  (C).  L'Aéronautique   (BS  figure 

(6'  mille). 

RENARD  (C).   Le    Vol   mécanique.    Le; 

Aéroplanes  (121  figures). 

ZOLLA  (Daniel),  professeur  à  l'Ecoie   de  Gr- 

gnot.  L'Agriculture  moderne.  [ 


PSYCHOLOGIE,  PHILOSOPHIE   ET    HISTOIRE 

Voir  la  liste  des  ouvrages  parus  page  S  de  la  couverture. 


i:t')~i     -  Pari?.   —   Imp.   Hemmerlé  et  C".  —  2-17. 


La  Bibliothèque 
Université  d'Ottawa 
Echéance 


The  Library 
Universlty  of  Ottawa 
Date  Due 


25.111!)  1989 


^m'  1  DEC.  1992 


M  1  7  '80  #r 


RPR  2  51988 
MAY  24  1988 


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OCT  ]  \  1995 


DEC  1  3  1996 
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1ÏNO9  2002 


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CE  C.   C175 
.P6  1917 
CCO   PCINCARE, 
ACC#  1287051 


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